例谈枚举法在概率统计中的应用

枚举法，也称为穷举法、列举法，其实就是逐一列举问题所有可能的情况进行分析。这种方法通常适用于问题具有明确条件，且需要寻找唯一解的情况。通过逐个尝试所有可能的解决方案，直到找到符合条件的最优解（但符合要求的最优解情形不一定仅有一种）。在计算机的算法领域内，枚举法常常用于解决排列组合、最短路径等问题。例如，在解决所谓的八皇后问题时，可以利用穷举法（枚举法），通过尝试所有可能的棋盘布局找到满足条件的布局。不过在高考数学试卷中，枚举法更适合于处理具体情况不是特别多（绝大多数情况下不会超过20种）的情形。下面我们利用枚举法求解2024年两道高考数学试题。

例1（2024年新高考Ⅰ卷，第14题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为______。

解析：如何建立这道题的解题模型呢？我们不妨这样假设：把乙卡片上分别标有的数字2，4，6，8理解为椅子的序号，而把甲卡片上分别标有的数字1，3，5，7理解为要坐上椅子的人的编号（某种情况下四人坐定后，其中某个人的编号如果大于所坐椅子序号，则此人得1分，反之此人得0分，此时四人得分总和即为这种情况下甲的总得分），很显然，坐上椅子的不同坐法共有4！=24（种），具体枚举如表1（带圆圈的数字表示椅子编号，左侧带括号的数字表示入座的方式序号）：