对2022年天津卷高考第19题的改编

1 新题呈现

改编题 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.

（1）记点O为坐标原点，若cos∠BAO=32，且长轴长为6，求椭圆的标准方程；

（2）已知|AF||AB|=3-22，求椭圆的离心率；

（3）在（2）的条件下，若直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M），且线段MN的垂直平分线经过坐标原点，△OMN的面积为23，求椭圆的标准方程.

原题 （2022年新高考天津数学高考试题第19题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，且满足|AF||AB|=32.

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M），记O为坐标原点，若|OM|=|ON|，且△OMN的面积为3，求椭圆的标准方程.

2 新题命制过程

本命题组先对全国高考卷中的圆锥曲线问题进行了全面的研究，然后重点研究了2022年天津新高考试卷中解析几何解答题第19题，发现该题与天津2021年的解析几何解答题考查的都是椭圆的切点可求问题.在分析了该题的各种解法后，感觉题目条件的转化比较简单，所以由该题的条件去思考如何转化，在多次尝试后把|BF||AB|=32改为|AF||AB|=3-22，改编后计算量增大，因此又增加了第一问.改编题对计算能力的要求比较高，这也符合高考对计算能力的要求.具体修改过程如下：

修改1 增加第一问“若cos∠BAO=32，且长轴长为6，求椭圆的标准方程”，保证大部分学生第（1）问能得分.

修改2 将“|BF||AB|=32”改为“|AF||AB|=3-22”，增加计算量.

修改3 由“若|OM|=|ON|，且△OMN的面积为3，”改为“且线段MN的垂直平分线经过原点，△OMN的面积为23”.

3 解法分析

第（1）问：由长轴长为6求出a的值，解直角三角形，由cos∠BAO的值得出a，b关系的过程中可考虑用正切函数也可考虑用正弦或余弦函数.思维导图如图1所示.

第（1）问长轴长为6求出a的值

由cos∠BAO的值得a，b的关系

由tan∠BAO=ba=13得a，b的关系

由sin∠BAO=ba2+b2=12得a，b的关系

由cos∠BAO=aa2+b2=32得a，b的关系

第（2）问：把|AF||AB|的值转为a-ca2+b2，再把b2=a2-c2代入整理，从而得到a，c的关系式，最后求出离心率e的值.

第（3）问：线参法，一设直线，联立，消元、判别式为0；二解等腰三角形（法1）或等边三角形（由斜率知等边，法2）.法3是点参法，结合导数分类讨论，求斜率、切线方程.法4是参数方程与导数结合法，避免分类讨论.

4 新题解析

4.1 第（1）问解析

因为长轴长为6，所以a=3.

法1：由cos∠BAO=32，得tan∠BAO=ba=13，则椭圆的标准方程为x29+y23=1.

法2：由cos∠BAO=32，得sin∠BAO=ba2+b2=12，则椭圆的标准方程为x29+y23=1.

法3：由cos∠BAO=aa2+b2=32，得b2=3，则椭圆的标准方程为x29+y23=1.

4.2 第（2）问解析

由|AF||AB|=3-22，得|AF||AB|=a-ca2+b23-22，整理得（46-6）a2+（9-26）c2-8ac=0，同除以a2可得（9-26）e2-8e+6（4-6）=0，又0lt;elt;1，所以e=63.

4.3 第（3）问解析

由（2）可设椭圆E：x2+3y2=a2.

解法1：线参法.

设直线l：y=kx+m，N（0，m），联立消元得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-a2=0，由Δ=0，得3m2=a2（1+3k2），则M-3km1+3k2，-m1+3k2.由|OM|=|ON|，可得m2=m2（9k2+1）（3k2+1）2，则k2=13.又由S△OMN=23，可得12|m|·|3km|1+3k2=23，则m2=8，从而a2=12，故椭圆方程为x212+y24=1.

解法2：由面积求参另解.

由解法1知k2=13，则△OMN是等边三角形，所以|MN|2=（1+k2）x2M=m2，则

S=34|MN|2=34m2=23，解得m2=8，从而a2=12，故椭圆方程为x212+y24=1.

解法3：点参法.

设M（x0，y0），x20+3y20=a2，切线的斜率为k.

当ygt;0时，由y=a2-x23，求导可得y′=-x3＼5a2-x23-12.若y0gt;0，则y′|x=x0=-x03a2-x203-12=-x03y0.

同理，当ylt;0时，k=x03a2-x203-12=-x03y0.

易知切线方程为x0x+3y0y=a2，则N0，a23y0.

由|OM|=|ON|，得-2x40+a2x20=0，所以x20=a22，y20=a26.S△OMN=23，则14x20·a49y20=12，可得a2=12，故椭圆方程为x212+y24=1.

解法4：参数方程与导数相结合.

设切线的斜率为k，M（x0，y0）.由E：x2+3y2=a2，设

x=acos t，y=a3sin t（t为参数），则y′=dydtdxdt=a3cos t-asin t=cos t-3sin t，从而k=x0a-3y0a=-x03y0，下同解法3.

5 新题考查目标

新命制的改编题重点考查了椭圆的几何性质（如长轴、焦点、离心率等）、标准方程、直线与椭圆的位置关系（切点可求题型）、距离与面积等主干知识，解法多样且灵活，同时发现2022年和2021年天津高考卷中的解析几何解答题同属于切点可求题型.其考查目标如下：

（1）知识技能目标：本题主要考查椭圆的简单几何性质，由几何性质求椭圆的标准方程，椭圆的离心率，直线和椭圆的位置关系，椭圆的参数方程，两点间的距离公式，三角形面积公式和三角函数的定义，导数的几何意义.

（2）过程方法目标：通过研究椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程.通过几何关系得到关于离心率e的一元二次方程，求离心率.通过联立直线和椭圆的方程并消元得到二次方程，利用韦达定理、两点间距离公式和面积公式求椭圆的标准方程.利用导数的几何意义求切线的方程.

（3）数学核心素养目标：能用数形结合或导数的方法来研究解析几何问题，培养数学运算、数学抽象、逻辑推理、转化与化归等数学素养.

6 新题测试

新改编题满分12分，高二4个班（物生组合与物化组合）共210名学生的测试情况是：本题平均分4.5分，高分率10.5%，低分率15.6%.

学生错因分析：

对于第（1）问，有一部分学生没有注意到长轴长为2a（写成长轴长为a）而导致失误;

对于第（2）问，很多学生的计算能力比较差，导致没法正确得到关于e的方程;

对于第（3）问，有一些学生因为第（2）问没求出来或者求错了导致错误.

7 试题链接

链接1 （2021年天津高考题第18题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为255，且|BF|=5.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程.

链接2 （山东省济宁市2022-2023学年高三上学期期末数学试题第21题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为32，且过点P-3，12.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若l1为椭圆C在点P处的切线，l2∥l1且l2与椭圆C交于A，B两点.

（ⅰ）求直线l1的方程；

（ⅱ）求△PAB面积的最大值.

8 命题体会

改编题的亮点是|AF||AB|=a-ca2+b2=3-22的转化，需要比较强的计算能力，另外，第（1）问和第（3）问都可一题多解，能锻炼学生的发散思维，特别是第（3）问体现了函数与几何的结合.本题需要改进的地方是如果第（3）问能改为定点、定值问题或探索性问题会更完美.通过参加此次活动，我们命题小组的老师普遍感觉到命制试题是比较难的事情，大家齐心协力研究、讨论，最终改编成题，感觉收获很多，以后要加强命制新题的尝试与训练.