创设问题“促”探究 引导学生“做”数学

摘要：本文中用等比情境“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引入错位相减法教学，其优势在于该情境问题处于学生的最近发展区，适合不同层次学生，并且有助于学生发现错位相减法、经历过程、感悟数学思想和发展学科核心素养.

关键词：发现;错位相减法;情境问题

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）提出：“……，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考交流，形成和发展数学学科核心素养.”“……，不同的人在数学上得到不同的发展.”[1]《中国高考评价体系》明确提出考查“学科素养和关键能力”，即“能发现问题，提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识与思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”[2].

错位相减法被直接应用于等比数列求和公式的推导及差比数列求和等问题；错位相减法的发现、推导过程，有利于培养学生的数学学科关键能力，发展逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.由于错位相减法相对隐蔽，很难引导学生比较自然地发现，导致很多教师采用告诉的方式完成该方法的教学，未能达到《课标》和高考中对学科素养、关键能力的过程性教学要求.如何设计教学才能有效、合理地引导学生自然发现并掌握错位相减法？笔者认为设计好错位相减法的引入非常关键.

1 错位相减法的引入设计

创设情境：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”（如图1）

问题1 从情境“一日之棰，日取其半，万世不竭”中能提出那些问题？

追问1：如果截取6天，截取的长度之和是多少？

追问2：你能把追问1用数学式子表示出来吗？

追问3：请用不同的方法计算“S6=12+14+18+116+132+164=？”

追问4：猜想12+14+18+……+12n=.

问题2 探究证明“12+14+18+……+12n=2n－12n”的思路，并展示交流.

思路1：观察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，…….设n是大于等于2的正整数，归纳得出12+14+……+12n=2n－12n.

思路2：一个完整的饼，每天吃掉前一天剩余的一半（如图2），经过n天，一共吃了多少？小学解决这个问题时，是把一个完整的饼看成1，然后观察n天后饼剩余的量为12n，得出12+14+……+12n=1－12n.

思路3：如果观察每天吃掉的量，则会发现第一天吃掉的量为1－12，……，第n天吃掉的量为12n－1－12n，于是n天一共吃掉的量为

12+14+18+……+12n

=1－12+12－14+14－18+……+12n－2－12n－1+12n－1－12n=1+12+14+18+……+12n－1－12+14+18+……+12n－1+12n=1－12n.

这是从几何直观出发联想到裂项相消求和法，在此基础上，请学生观察被减项1+12+14+18+……+12n－1与减项12+14+18+116+……+12n的关系，学生会发现减项是被减项的公比倍，从而可以相减消项求和，到此错位相减法呼之欲出.

2 错位相减法的引入设计分析

2.1 改进错位相减法引入设计的原因

2.1.1 国王赏麦故事引入存在的问题

传统教学中教师几乎都采用了国王赏麦的故事来引入等比数列的前n项和公式的探讨.从特殊“1+2+4+8+16+……+263=？”到一般等比数列的前n项和公式.

这个设计看似合情合理，但在实际教学中我们会发现，这个看似简单的“1+2+4+……+263=？”问题，对多数学生而言根本不知如何下手，只有少数预习过的学生能够模仿教材提供的一般等比数列求和过程来解决问题.因此，采用国王赏麦的故事引入来得出错位相减法的教学设计，容易让教学过程变成教师或教材告诉学生应该这么做，学生不能再发现、再创造.

2.1.2 教参设计的错位相减法引入的不足之处

研读教材、教参，教参给出直接在等比数列前n项的和式两边同时乘q的一种解释：“从等比数列的定义可知，ai=qai－1（i=2，3，……，n），于是，在Sn=a1+a2+……+an的两边同乘q，有qSn=qa1+qa2+……+qan=a2+a3+……+an+an+1.”[3]然后通过消去两式中的相同项，就得到了等比数列的前n项和的公式.

这种解释有一定的道理，由于等比数列相邻两项为公比倍，所以在等比数列前n项的求和等式两边同时乘公比q，得到的两个和式就构造出了n－1个相同项，这就能解释为什么要同时乘公比q，但不能引导学生自己去发现同时乘公比q.教参没有提供教师引导学生发现错位相减法的思路，这为广大教师充分发挥自己的教学智慧提供了机会.

2.2 改进错位相减法引入设计的思考

2.2.1 本设计处于学生的最近发展区

学生在小学时大部分都做过分饼吃的问题：一个饼，每天吃掉前一天剩余的一半，经过6天，一共吃了多少？小学生可以把一个完整的饼看成1，然后观察6天后，饼剩余的数量为164，二者作差即得到所吃掉饼的数量的和为1－164，具有几何直观性.在初中时，学生基本做过找规律的题：观察12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，设n是大于等于2的正整数，猜测12+14+……+12n=.由此可见，求等比数列的和问题“S6=12+14+……+164=？”处于他们的最近发展区.

2.2.2 本设计适用于不同层次学生

由于“问题1”和“追问3”具有较强的开放性，不同基础的学生可以提出不同的问题，可能会选择不同的求和方法.学生可以直接通分计算；也可以采用几何直观得到1－164=6364，间接计算求解；还可以类似初中寻找规律问题，由12+14=34，12+14+18=78，12+14+18+116=1516，……，归纳猜想得结果，甚至猜出前n项求和的结果.

2.2.3 有助于学生发现错位相减法

在探究追问3的过程中，教师可以引导学生观察数据12，14，18，……，每个数据除表示每天所吃掉的量为前一天的12以外，还有没有其他意义？学生探究发现：每个数据是与每天吃前的量和吃后剩余的量相联系的，如吃前的量是12，今天吃后剩余的是14，那么今天吃了12－14.教师可进一步借助几何直观引导学生观察第1次截取的数量为1－12，第2次截取的数量为12－14，……，从而6次截取的数量的和可表示为6个差的和，即裂项相消求和方法.故S6=12+14+18+116+132+164

=1－12+12－14+14－18+18－116+116－132+132－164=1+12+14+18+116+132－12+14+18+116+132+164

=1－164=6364.

接着，教师引导学生观察求和过程中的两个式子1+12+14+18+116+132（记为①式）和12+14+18+116+132+164（记为②式），请学生观察两个式子的联系.学生能够比较容易发现②中的每一项都是①式对应项的12倍.教师通过追问12与这个数列有什么关系，可以引导学生发现12是该等比数列的公比，进一步得出本情境问题的一个新的求和思路.

根据设计的问题串的引导，学生基本能写出错位相减法的解答过程：

S6=12+14+18+116+132+164，③

由③×12，得

12S6=14+18+116+132+164+1128；④

③-④，得12S6=1－1128.

故S6=1－164=6364.

于是，学生自己发现了错位相减法.再通过探究证明的思路3，把这一解决6项和思路推广到解决任意的前n项的和，更具有一般性.

2.2.4 有助于学生经历过程，感悟思想，发展素养

从12+14=34，12+14+18=78，……，到猜测出12+14+18+……+12n的值，为计算等比数列｛an｝的前项和Sn=a1+a2+a3+……+an打下了方法和思维的基础，让学生经历由少到多，由特殊到一般；用错位相减法计算12+14+18+116+132+164和12+14+18+……+12n，让学生经历由繁到简，由无限到有限.利用问题1，引导学生从故事中发现并提出问题，提升“四能”；利用追问2，引导学生把文字语言翻译成数学符号语言，经历抽象过程，发展数学抽象核心素养.

从计算S6=12+14+……+164=？联想到吃饼，把计算S6转化为吃六天饼后剩的部分，体会转化，感悟转化与化归思想；用图形表示每天吃饼剩的部分，直观形象，非常易于理解，体验几何直观，感悟数形结合思想，发展直观想象核心素养；发现裂项之后，探究出错位相减法，构造出S6或Sn的方程，解出S6或Sn，体验用方程求解未知数，感悟方程思想.

2.2.5 本设计的反思

从问题选取上看，两种设计方式的问题情境都来源于教材，都充分尊重了教材，用教材教.从问题的设计上看，改进后的设计选择了项数不太多的等比数列问题作为基点，更贴近学生的最近发展区，让所有学生能够在问题的引领下，积极思考，探究解决问题的思路.改进后的设计不足之处是：裂项的发现对于基础较差的学生还是有一定的难度，引入中问题的解决所需时间较长.但从解决问题上看，改进后的引入设计，解决思路灵活，方便教学，课堂上能真正落实“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1]的理念.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书＼5选择性必修第二册[M].北京：人民教育出版社，2020.