2023年北京卷第19题解析几何题目赏析

1 题目

（2023年北京高考第19题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为53，设椭圆E的上、下顶点分别为A，C，左、右顶点分别为B，D，|AC|=4.

（Ⅰ）求椭圆E的方程;

（Ⅱ）点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-2交于点N，求证：MN∥CD.

2 分析与思维导图

本题重点考查“数学运算”，如何运算学生都知道，但能否运算正确是关键.此题并不侧重于“解析”，而在于“算准”.考查“数学运算”、注重运算的严谨性是这两年北京高考解析几何的显著特征.在具体计算上，“设点”或者“设线”并没有明显的差别，“设点”可能更容易想到.本题在本质上是“帕斯卡定理”的特殊形态.帕斯卡定理约于公元1639年为法国数学家布莱士·帕斯卡所发现，指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线，是射影几何中的一个重要定理.北京高考上述题，是定理的一种特殊的退化形式.事实上，不知道这个定理也不影响正确运算.

解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，充分体现了数形结合的数学思想，即将几何问题代数化（用坐标和方程表示几何元素），再通过一系列的代数运算，最后将代数运算的结果“翻译”为几何结论.

在具体解答过程中，一般要经历这样几个环节：首先要搞明白试题要解决的是什么样的几何问题；其次要弄清楚解决这个几何问题需要用到哪些代数条件，再把几何问题代数化（有时候这个代数化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化）；再次是分析已知的题设条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题；最后返回去解决几何问题.

因此，在具体解答第（Ⅱ）问时，首先要明确题目要解决的是什么样的几何问题，本问是一个平行的证明问题；其次，要思考是将这个几何问题直接代数化还是转化为另外一个几何问题再代数化.我们发现，MN∥CD这个几何问题可以直接代数化或者通过转化后再代数化为如下这些形式：

MN∥CDkMN=kCD（MN∥CD）yM-yNxM-xN=23|DM||DQ|=|CN||CQ|（Q为CN与DM的交点）yMyQ=xNxQ△BCD∽△CMNxN=2xM过N作CD的平行线，交BC于M′，证M′，P，D共线

再次是分析已知的题设条件之间的联系，研究并解决转化之后的代数问题.在这个过程中，我们首先要关注如何设元的问题.该题目是一个非常经典的单动点问题，我们可以设出动点坐标，将题目中的文字描述“翻译”成数学语言，再利用动点在椭圆上消元求解即可；也可设出动点所在的直线方程，联立该直线和椭圆方程求出该动点坐标，再同上即可.关注如何设元，关于动点P有如下这些表征方式：

动点P设点P（x0，y0）（x0gt;0，y0gt;0）设P（3cos θ，2sin θ）θlt;0lt;π2设点P所在直线PD：y=k（x-3）klt;-23设P所在直线PD：x=ty+3设点P所在直线AP，与PD同理通过逆向设N（n，-2）或Mm，-23m-2

有了这两个关注，即关注如何设元和如何将几何问题代数化，便可以初步形成解决该问题的基本思路，先简单呈现下面8个思路.其实两个关注通过组合可以得出更多的解法，但本质都是一样的，通过下面这8个思路及其对应的解法便足以掌握此类问题.

思路1：依据题意设椭圆上动点P（x0，y0），表示出相关直线方程，联立相关直线方程，求出点M，N的坐标，通过计算并依据曲线方程消元证明kMN=kCD，进而得证MN∥CD.

思路2：依据题意设椭圆上动点P（x0，y0），表示出相关直线方程，联立相关直线方程，求出点M，N的坐标，通过计算并依据曲线方程消元证明DMDQ=CNCQ，进而得证MN∥CD.

思路3：依据题意设直线PD的斜率k，从直线PD的点斜式方程入手，联立直线和曲线方程，利用直线PD的斜率k表示出点P的坐标，并表示出相关直线方程，再联立相关直线方程求出点M，N的坐标，通过计算证明kMN=kCD，进而得证MN∥CD.

思路4：依据题意反设直线PD的方程，接下来同思路3，只是在联立直线与直线方程时计算量略小.

思路5 几何条件转化，只要证出xN=2xM即可证出MN∥CD.

思路6：对思路1加以改进，利用椭圆参数方程设椭圆上P（3cos θ，2sin θ）0lt;θlt;π2，接下来同思路1和思路5.

思路7 可以直接设N（t，-2），并过点N作CD的平行线，交BC于点M′，如果能证明点M′，P，D三点共线，那就说明点M′就是题目中的M，那么MN∥CD得证.

思路8 设椭圆上动点P（x0，y0），利用极点极线的结论求出相关点的坐标，通过计算证明kMN=kCD，进而得证MN∥CD.

依据上述解题思路，绘制思维导图，如图1所示.

3 解答

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（Ⅰ）易求得椭圆E的方程为x29+y24=1（过程略）.

（Ⅱ）这里只给出解法2和解法5，其余解法可以扫码查看.

解法2：点参数法二.

设P（x0，y0），则x209+y204=1（x0gt;0，y0gt;0）.

易求得直线PD：y=y0x0-3（x-3），直线BC：y=-23x-2.

联立y=y0x0-3（x-3），y=-23x-2，解得

M3（3y0-2x0+6）3y0+2x0-6，-12y03y0+2x0-6.

易求得直线AP：y=y0-2x0x+2，令y=-2，得N-4x0y0-2，-2.

如图2，设CN∩DM=Q，

对于直线PD：y=y0x0-3＼5（x-3），

令y=-2，得

Q3y0-2x0+6y0，-2.

于是，可得|DM||DQ|=yMyQ=-12y03y0+2x0-6-2=6y03y0+2x0-6.

又可以得到|CN||CQ|=xNxQ=-4x0y0-23y0-2x0+6y0=4x0y0（2-y0）（3y0-2x0+6）=12x0y0-9y20+6x0y0-12x0+36=12x0y04x20-36+6x0y0-12x0+36=6y02x0+3y0-6，

所以|DM||DQ|=|CN||CQ|，故MN∥CD.

解法5：几何条件转化.

如图3，过点M作MQ⊥CN于点Q.

若MN∥CD，又BD∥CN，则△BCD∽△CMN.

由于CO⊥BD，且O为BD的中点，因此Q应为CN的中点.又xC=0.所以只需证

xN=2xM.

由解法1，知xM=3（3y0-2x0+6）3y0+2x0-6，xN=-4x0y0-2，因此

即证6（3y0-2x0+6）3y0+2x0-6=-4x0y0-2，即证

4x20+9y20=36，而x209+y204=1显然成立.

故MN∥CD.

该解法在具体计算上与解法1最优化计算后的处理相同.我们可以看出，几何问题的转化与代数问题的转化，看似是两个平行的系统，一个是几何系统深挖，一个是代数系统深挖，其实二者是齐步并进的.要么在几何条件深挖上下功夫，要么在代数运算中多观察、多优化，没有白费的功夫，带着觉察关注到在几何性质和代数运算中的每一个发现，都会找到优化问题的解决方式.

4 背景试题研究（溯源与推广）

试题溯源 此题的背景是六边形帕斯卡定理退化为五边形的应用：

将点C处的切线记为CC，设AB与CD在无穷远处的交点为S，将五边形写成标准帕斯卡定理的六点排序形式，则有CCDPABCCC∩PA=MCD∩AB=SDP∩BC=NM，N，S三点共线，又AB∥CD，所以MN∥CD∥AB.

把背景理清楚以后，就可以得到这道题的一般情况：直线AC，BD过原点O，P为椭圆上任意点，椭圆在点C的切线与AP交于点N，直线PD与直线BC交于点M，则MN∥CD∥AB.

本题是高等几何中帕斯卡定理的特殊形式：圆锥曲线内接六边形（含退化的六边形），其三组对边的交点共线.

试题推广 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的上、下顶点分别为A，C，左、右顶点分别为B，D，点P在椭圆E的第一象限上运动，直线PD与直线BC交于点M，直线AP与直线y=-b交于点N，求证：MN∥CD.

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证明过程略，可扫码查看.

5 链接（练习）

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，P为椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e=32，短轴长为2.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）若直线AD与BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：MN恒过定点，并求出该点坐标.

解：（Ⅰ）易求得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）如图4，其中A（-2，0），B2，B1（2，0），P，D2，D1（0，1）六点在椭圆C上，构成椭圆内接六边形，记AB2∩D2P=N，AD1∩B1P=M，B2B1∩D1D2=Q，依据帕斯卡定理知M，N，Q三点共线.

如图5，当点B2无限趋近于定点B1时，直线AB2趋近于x轴，直线B2B1趋近于过点B1的切线;当点D2无限趋近于D1时，直线D2D1趋近于过点D1的切线.而分别过点B1和点D1的两条切线相交于点Q（2，1），故直线MN过定点Q（2，1）.

几何好懂不好算，代数好算不好懂，而坐标法把二者很好地结合起来了.但是在平面直角坐标系中，点的坐标是由几何作图得到的，因而将各种几何性质翻译成坐标运算，需要求助于几何定理，这里就体现了数形结合的数学思想方法，这就是解析几何这门学科的精髓.高考数学北京卷中的解析几何试题考查解析几何的本质特点，要求学生把灵活的几何问题转化为代数问题来计算，利用形象生动的几何模型帮助理解，关注对运算对象的观察，使精辟的数学思想“随风潜入夜”，让强大的数学方法“润物细无声”，使得貌似困难的问题迎刃而解，让学生体会“数学学科的神韵”.