探究一道三斜率之积为定值的模拟题

鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年5月模拟第13题，是一道双曲线中已知三斜率之积为定值，求双曲线离心率的填空题，本文首先探究试题的解法，然后推广到一般双曲线的情形，进而类比到椭圆和抛物线，得到有关结论.

1.试题及解法

题目斜率为1的直线与双曲线E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，△ABC的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为k1，k2，k3，若k1k2k3=－27，则双曲线E的离心率为""" .

解法1" 设Ax1，y1，B（x2，y2），Cx3，y3，因为O（0，0），所以由三角形重心坐标公式，得P（x1+x33，y1+y33），Q（x2+x33，y2+y33）.又因为AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心R为斜边AB的中点，所以R（x1+x22，y1+y22）.所以k1=kOP=y1+y3x1+x3，k2=kOQ=y2+y3x2+x3，k3=kOR=y1+y2x1+x2，所以根据k1k2k3=－27，得y1+y3x1+x3·y2+y3x2+x3·y1+y2x1+x2=－27.因为直线AB的斜率为1，所以kAB=y2－y1x2－x1=1（x2≠x1）.根据题意，可得x12a2－y12b2=1，x22a2－y22b2=1，两式相减得x22－x12a2－y22－y12b2=0，即（x2－x1）（x2+x1）a2－y2－y1y2+y1b2=0，所以y2－y1x2－x1·y2+y1x2+x1=b2a2，所以kAB·k3=b2a2，即k3=b2a2·1kAB，同理k1=b2a2·1kAC，k2=b2a2·1kBC，所以k1k2k3=b2a23·1kAB·1kAC·1kBC.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，又kAB=1，所以1kAB·1kAC·1kBC=1kAB·1kAC·kBC=－1，所以k1k2k3=－b2a23.根据已知k1k2k3=－27，所以－b2a23=－27，所以b2a2=3，所以e=ca=" c2a2=" a2+b2a2=" 1+b2a2=" 1+3=2.故双曲线E的离心率为2.

评注" 本解法设出A，B，C三点的坐标，利用坐标表示出k1，k2，k3，然后应用三角形重心坐标等公式，再应用点差法，最后结合题设条件“设而不求”，整体消去坐标，得到k1k2k3关于a，b的关系式求解.

解法2" 设弦AC，BC的中点分别为M，N，由于△OAC的重心分别为P，且P在中线OM上，所以k1=kOP=kOM，同理k2=kOQ=kON.根据中点弦结论可知kAC·kOM=kBC·kON=b2a2，即kAC·k1=kBC·k2=b2a2，所以kAC·kBC·k1k2=b2a22. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，所以k1k2=－b2a22.又因为AC⊥BC，所以Rt△ABC的外心R为斜边AB的中点，所以根据中点弦结论可知1kAB·kOR=1kAB·k3=b2a2. 因为直线AB的斜率为1，即kAB=1，所以k3=b2a2.所以k1k2k3=－b2a23.根据已知k1k2k3=－27，所以－b2a23=－27，所以b2a2=3，所以e=ca=" c2a2=" a2+b2a2=" 1+b2a2=" 1+3=2." 故双曲线E的离心率为2.

评注" 本解法直接利用双曲线中点弦的“二级结论”（见下面3 二级结论中的结论2）得到k1k2k3关于a，b的关系式求解.

2.性质及结论

在解法2中直接应用了双曲线中点弦的二级结论，方便快捷.实际上，有心圆锥曲线，即椭圆和双曲线中点弦均具有类似结论.

结论1" 已知A，B是椭圆E：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0上的两点，M是弦AB的中点，O为原点，若kAB、kOM存在，则kAB·kOM=－b2a2.

结论2" 已知A，B是双曲线E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0上的两点，M是弦AB的中点，O为原点，若kAB、kOM存在，则kAB·kOM=b2a2.

证明" 以椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）为例来证明.

图1

如图1，Ax1，y1，B（x2，y2）是E上的两点，M（x1+x22，y1+y22）是弦AB的中点.

由于A，B都是E上的点，所以x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减，可得（x1+x2）（x1－x2）a2+（y1+y2）（y1－y2）b2=0，（y1+y2）（y1－y2）b2=－（x1+x2）（x1－x2）a2，即y1－y2x1－x2=－b2（x1+x2）a2（y1+y2）.于是kAB·kOM=y1－y2x1－x2·y0+y12x0+x12=－b2（x1+x2）a2（y1+y2）·y0+y1x0+x1=－b2a2.

3.推广及类比

根据解法2，还可将试题的结论推广为以下的结论.

结论3" 斜率为k（k≠0）的直线与双曲线E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，若O为坐标原点，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，记直线OP，OQ的斜率为k1，k2，双曲线E的离心率为e，则k1k2=－（e2－1）2.

简证" 由试题解法2可知k1k2=－b2a22=－c2－a2a22=－c2a2－12=－（e2－1）2.

结论4" 斜率为k（k≠0）的直线与双曲线E：x2a2－y2b2=1agt;0，bgt;0交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，若O为坐标原点，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，△ABC的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为k1，k2，k3，双曲线E的离心率为e，则k1k2k3=－（e2－1）3k.

简证" 由试题解法2可知1kAB·kOR=1k·k3=b2a2，所以k3=b2a2·k，所以k1k2k3=－b2a22·b2a2·k=－b2a23·k=－（e2－1）3k.

双曲线与椭圆同为有心圆锥曲线，有着许多类似的性质，若将结论3和结论4类比到椭圆，可以得到以下的结论.

结论5" 斜率为k（k≠0）的直线与椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，若O为坐标原点，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，记直线OP，OQ的斜率为k1，k2，椭圆E的离心率为e，则k1k2=－（e2－1）2.

证明" 设弦AC，BC的中点分别为M，N，由于△OAC的重心分别为P，且P在中线OM上，所以k1=kOP=kOM，同理k2=kOQ=kON.根据中点弦结论可知kAC·kOM=kBC·kON=－b2a2，即kAC·k1=kBC·k2=－b2a2，所以kAC·kBC·k1k2=b2a22. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC=－1，所以k1k2=－b2a22.由试题解法2可知k1k2=－b2a22=－a2－c2a22=－1－c2a22=－（1－e2）2.

结论4" 斜率为kk≠0的直线与椭圆E：x2a2+y2b2=1agt;bgt;0交于两点A，B，点C是E上的一点，满足AC⊥BC，若O为坐标原点，△OAC，△OBC的重心分别为P，Q，△ABC的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率为k1，k2，k3，双曲线E的离心率为e，则k1k2k3=（1－e2）3k.

简证" 由试题解法2可知1kAB·kOR=1k·k3=－b2a2，所以k3=－b2a2·k，所以k1k2k3=－b2a22·（－b2a2）·k=b2a23·k=（1－e2）3k.