《数学通报》问题2584的探究

本文对数学通报问题2584进行探究，并给出不等式的上界估计，利用结果证明一组相等三角形、几何不等式.

命题1" 在△ABC中，三内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，外接圆、内切圆半径和半周长分别为R，r和p.试证：sinA2+sinB2+sinC2≥1+p33R①.

原证明通过角代换进行证明，笔者探究后，基于三角化简给出一种简单证明.

1.①式的简证

证明" 记Σ表示循环求和.由三角公式得（∑sinA2－1）∑cosA2=∑sinA2∑cosA2－∑cosA2

=∑sinA2cosA2+∑（sinA2cosB2+cosA2sinB2）－∑cosA2

=12∑sinA+∑sinA+B2－∑cosA2=12∑sinA+∑cosC2－∑cosA2

=12∑sinA=12∑a2R=a+b+c4R=p2R.

而∑cosA2≤332，所以∑sinA2－1=p2R∑cosA2≥p33R，

故sinA2+sinB2+sinC2≥1+p33R.

2.①式的下界加强

由上面的简证可知∑sinA2的结果与∑cosA2有关，若能加强∑cosA2，则①式可得：

命题2" 在△ABC中，有∑sinA2≥1+p6R（4R+r）②.

证明" 由均值不等式及∑cosA=1+rR，可得

∑cosA2≤3∑cos2A2=32（3+∑cosA）=32（3+1+rR）=6（1+r4R）.

所以∑sinA2－1=p2R∑cosA2≥p2R6（1+r4R）=p6R（4R+r），所以∑sinA2≥1+p6R（4R+r）.

注" 由欧拉不等式R≥2r，知p6R（4R+r）≥p6R（4R+12R）=p33R，②式强于①式.

3.①式的上界估计

对于①式，不等式上界最熟知的结论是∑sinA2≤32，于是，得如下改进.

命题3" 在△ABC中，有∑sinA2≤2+r2R③.

证明" 在△ABC中，易知sinA2=（p－b）（p－c）bc，由柯西不等式得∑sinA2=∑（p－b）（p－c）bc≤∑（p－b）（p－c）·∑1bc.又∑（p－b）（p－c）=∑［p2－（b+c）p+bc］=∑［p2－（2p－a）p+bc］

=∑（pa－p2+bc）=p∑a+∑bc－3p22（2R+2Rr）≤∑asecA2≤8R（4R+r），

∑1bc=a+b+cabc=2p4pRr=12Rr，所以∑sinA2≤r（4R+r）·12Rr=2+r2R.

注" 由Gerretsen不等式p2≥16Rr－5r2，欧拉不等式R≥2r可得p2≥272Rr，则p33R≥r2R，

所以∑sinA2≥1+r2R这样可得不等式链：

在△ABC中，有1+r2R≤1+p33R≤1+p6R（4R+r）≤∑sinA2≤2+r2R.

4.应用

利用上述结果，可证得如下三角形不等式，几何不等式.

命题4" 在△ABC中，有2（2R+2Rr）≤∑asecA2≤22R（4R+r）.

证明" 易知∑asecA2=∑2RsinAsecA2=4R∑sinA2，

由∑sinA2≤2+r2R，得∑asecA2≤4R·2+r2R=22R（4R+r），

由∑sinA2≥1+r2R，得∑asecA2≥4R（1+r2R）=2（2R+2Rr）.

命题5" 在△ABC中，有1+2Rr≤∑ab+c－a≤1+4Rr.

证明" 在△ABC中，a=2RsinA，b+c－a=2rcotA2，

所以ab+c－a=2RsinA2rcotA2=2RrsinA2，所以∑ab+c－a=2Rr∑sinA2.

由∑sinA2≤2+r2R，得∑ab+c－a≤2Rr·2+r2R=1+4Rr，

由∑sinA2≥1+r2R，得∑ab+c－a≥2Rr·（1+r2R）=1+2Rr.

推论1" 在△ABC中，设ha，hb，hc，ra，rb，rc分别为边a，b，c对应的高线长、旁切圆半径，则有1+2Rr≤∑raha≤1+4Rr.

简证" 易知ra=2Sb+c－a，ha=2Sa，则raha=ab+c－a，则该推论与命题5等价，所以结论成立.

推论2" 在△ABC中，有2（1+2Rr）≤∑sinA2sinB2sinC2≤2+8Rr.

简证" 在△ABC中，b+c－a=2R（sinB+sinC－sinA）=8RcosA2sinB2sinC2，a=2RsinA，

所以∑ab+c－a=∑2RsinA8RcosA2sinB2sinC2=∑sinA22sinB2sinC2，

由命题5得1+2Rr≤∑sinA22sinB2sinC2≤1+4Rr，

所以2（1+2Rr）≤∑sinA2sinB2sinC2≤2+8Rr.

命题6" 在△ABC中，有r2R+r2R≤∑sinA2sinB2≤12+r2R.

证明" 易知∑sin2A2=12（3－∑cosA）=12（3－R+rR）=1－r2R，

又（sinA2+sinB2+sinC2）2=∑sin2A2+2∑sinA2sinB2，

所以∑sinA2sinB2=12（sinA2+sinB2+sinC2）2－12∑sin2A2

=12（sinA2+sinB2+sinC2）2－12（1－r2R）.

由∑sinA2≤2+r2R，得∑sinA2sinB2≤12（2+r2R）2－12（1－r2R）=12+r2R，

由∑sinA2≥1+r2R，得∑sinA2sinB2≥12（1+r2R）2－12（1－r2R）=r2R+r2R.