MATLAB可视化在微分方程教学中的应用

摘"要：在教育教学改革一再深入的背景下，人们开始探索“数学+计算机”的教学模式。该文在剖析微分方程现存教学模式弊端的基础上，提出微分方程可视化教学的几点建议。基于数学软件MATLAB，介绍4个微分方程可视化的具体案例，并在其后附上相应的程序及注释，以期能帮助有需要的人们更快地进入MATLAB编程的大门。

关键词：常微分方程；偏微分方程；MATLAB；可视化；数值解

中图分类号：G642"""文献标志码：A"""""文章编号：2096-000X（2025）01-0008-06

Abstract：Inthecontextofrepeateddeepeningofeducationandteachingreform，peoplebegantoexploretheteachingmodeof\"mathematics+computer\".BasedontheanalysisoftheshortcomingsoftheexistingteachingmodeofDifferentialEquations，thispaperputsforwardseveralsuggestionsforthevisualteachingofDifferentialEquations.BasedonthemathematicalsoftwareMATLAB，fourspecificcasesofdifferentialequationvisualizationareintroduced，followedbycorrespondingprogramsandcomments，inordertohelptheneedypeopleenterthedoorofMATLABprogrammingfaster.

Keywords：ordinarydifferentialequation;partialdifferentialequation;MATLAB;visualization;numericalsolution

微分方程是以建立数学模型、开展理论分析、解释客观现象进而解决实际问题为内容的一个数学分析的重要分支[1]。作为高等学校数学专业的核心课程，起着承前启后的作用，它既是数学分析和大学物理的后续课程，也是数学建模和泛函分析等课程的先修课程，主要包括常微分方程和偏微分方程两个板块。

传统的微分方程教学主要是“黑板+粉笔”的灌输式教学，拘泥于抽象的理论学习及复杂的手动计算。学生通过学习一些定义、定理、公式等来了解微分方程知识，抽象的语言和复杂的公式往往使学生望而生畏，兴趣索然，打击了学生学习的热情和信心，同时也不利于学生创新精神和实践能力的培养。若能将抽象的概念和结论借助几何图形生动直观地呈现出来，必将非常有助于学生对微分方程知识的学习和理解。

MATLAB是一款以矩阵运算为基础的的数学软件，有着强大的数值计算和可视化功能[2]。鉴于此，我们可以将MATLAB可视化融入微分方程教学中，利用MATLAB把过程和结果以可视、动态的形式展示出来，让微分方程的知识更加直观、更容易理解，让学生的学习变得更为有趣、更加高效。

我们在微分方程多年教学经验的基础上，提出微分方程可视化教学的一些建议，并结合4个具体的案例介绍了MATLAB可视化在微分方程教学中的应用，其中包含2个常微分方程和2个偏微分方程。同时，还附上了相应的程序及注释，以方便不熟悉MATLAB操作和编程的师生参考借鉴。

一"可视化教学建议

教学模式单一、以教师为中心、缺乏育人元素是目前大多数的微分方程课程所存在的问题[3]。如何在夯实学生基础知识的同时，充分发挥学生的主体性，激发学生的学习热情？下面提出三点建议以供参考。

（一）"渗透数学文化，激发学习热情

微分方程历史悠久、应用广泛，在其发展的各个阶段都有着故事，或是微分方程某个理论产生的现实背景，或是几代数学家接续的刻苦钻研，亦或是微分方程在自然科学和社会科学中应用的最新成果[4]。在课堂中有意识地给学生渗透微分方程相关的故事和文化，不仅能让学生了解知识的来龙去脉，知道为什么学、学有何用，还能激发学生的学习热情，寓教于乐。

（二）"传授理论知识，搭建知识框架

微分方程的内容具有抽象、复杂等特点[5]。教师在授课过程中，要先将微分方程的理论和方法给学生讲解透彻，使学生对微分方程的基本知识框架有个宏观的认识，在头脑中形成系统的微分方程知识体系。

（三）"发挥主观能动，探究可视化过程

在教学过程中，重视教学与信息化技术的融合，以满足新时代大学生对知识的需求，帮助学生理解和掌握知识[6]。在学生对微分方程知识有了一定的了解后，教师可将MATLAB的使用方法教给学生，让学生独立地去探究微分方程及其结果的可视化过程，直观地感悟微分方程的理论知识。对于较为复杂的方程，还可考虑采用小组合作的方式，促进学生思维之间的碰撞。

此外，教师还可以从衔接中学数学教学、改革教学评价体系等方面入手，改善微分方程教学现状，提高微分方程教学效果。

二"可视化教学应用举例

我们选取了微分方程课程中的四个具体例子来探究可视化教学，分别是伯努利微分方程、常微分方程的欧拉法、热传导方程和泊松方程。传统的微分方程教学模式拘泥于抽象的理论学习及复杂的手动计算，学生理解起来有较大的难度。基于MATLAB的可视化功能，采取“数学文化+理论分析+可视化”的教学模式，旨在搭建代数与几何之间的桥梁，让微分方程更加直观，让学生的学习更加高效，同时也希望学生能因此而更加有信心和兴趣学习微分方程。

（一）"常微分方程解析解的可视化

低阶特殊常微分方程及线性常微分方程可采用解析解法来求解，其解的表达式为初等函数或超越函数。常用的解析解法有分离变量法、常数变异法、积分因子法和降阶法。这些解析解法，既是常微分方程理论中很有自身特色的部分，也与实际问题密切相关，值得我们好好学习、认真体会。

案例1：求方程■=6■-xy2的通解[7]。

1）数学文化。瑞士的伯努利家族，在祖孙三代人中便产生了8位数学家，其中至少有三位出类拔萃。1654年，雅各布·伯努利出生于巴塞尔，其父亲老尼古拉·伯努利希望他学神学，遵循父亲的意愿，他于22岁取得了神学硕士学位。与此同时，雅各布还自学了他所喜爱的数学，伯努利微分方程便是其研究成果之一。而雅各布·伯努利对数学最大的贡献在于概率论的研究，他曾发表有关赌博游戏中输赢次数问题的论文，后来写成了巨著《猜度术》。1705年，雅各布·伯努利逝世。

2）理论分析。这是n=2的伯努利微分方程。令z=y-1，算得■=-y-2■。代入原方程得到线性微分方程■=-6■+x，由常数变易法求得其通解为z=■+■，其中C为任意常数。最后代回原来的变量y得到原方程的通解■-■=C。此外，方程还有解y=0。

3）可视化探究。程序Case_1.m如图1所示。

由MATLAB求解得，方程通解为y=■或y=0。如图2所示，当Clt;0时，曲线有两个间断点；当C=0时，曲线有一个间断点；当Cgt;0时，曲线无间断点，有两个极大值点和一个极小值点。所有曲线族均关于y轴对称，是偶函数。

（二）"常微分方程数值解的可视化

在实际应用中，许多微分方程无显式解，需要借助数值解法进行求解[8]。所谓常微分方程初值问题的数值解法，即将一个连续的微分方程初值问题转化为一个离散的差分方程初值问题，而后通过解差分方程获得其数值解。常微分方程问题常用的数值解法：欧拉（Euler）法和龙格-库塔（Runge-Kutta）法。

数值解得到的数值不易分析，利用MATLAB等计算机技术可将数据进行可视化，转化为便于分析处理的图形图像。尤其是大部分微分方程都不可解、不可积，若能结合抽象的数值解及其直观的图形显示，对微分方程的学习和研究都有着极大的帮助。

案例2：用向前欧拉法、向后欧拉法和改进欧拉法计算下列初值问题，并与精确解对比，步长h=0.1，

1）数学文化。欧拉于1707年出生于瑞士，一生的大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。他是一位多产的数学家，一生写了三十二部足本著作和七十多卷科学论著，其中一半的著作是在生命的最后七年，在双目完全失明的情况下产出的。欧拉是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他曾用两种方法来描述流体的运动，其一便是根据空间固定点描述流体速度场的欧拉法。

2）理论分析。易得方程的精确解为

根据向前欧拉法、向后欧拉法和改进欧拉法的递推公式，可得计算结果见表1。

3）可视化探究。程序Case_2.m如图3所示。

如图4所示，方程的特解是单调递减的曲线。从图4中可以直观地看出，当用向前或后欧拉法近似曲线时误差较大，用改进欧拉法近似曲线时误差较小，即改进欧拉法的近似效果优于向前（后）欧拉法。

（三）"抛物型方程的可视化

抛物型方程是一类重要的二阶偏微分方程，在流体力学、热力学和石油化工等方面都有着应用[9]。它的一般形式为

式中：u为未知函数，a、d、f为已知实值函数，？驻是Laplace算子。抛物型方程的求解难度与空间维数有关，未知函数u与时间t有关，纯粹的理论分析对初学者来说理解起来较为困难。这里将可视化引入教学中，让抛物型方程动起来，使学生能直观地观察到函数u随时间t的变化，激发学生的学习兴趣。

案例3：求解下面方程。

1）数学文化。傅里叶是法国的数学家和物理学家，1768年在欧赛尔出生，1840年卒于巴黎。他在数学方面的主要贡献是在研究热传播时创立的数学理论。1807年，傅里叶在论文《热的传播》中推导出了著名的热传导方程，并在探索方程的通解时发现解函数可表示为三角函数的级数形式，在此过程中，傅里叶逐渐形成了级数收敛的概念，进一步创立了在现代数学和科学技术中十分重要的傅里叶级数和傅里叶积分的系统理论。

2）理论分析。这是二维热传导方程的初边值问题。对此定解问题，首先利用分离变量法解出满足问题中的方程及边界条件的非平凡解，再考虑非平凡解的级数形式，使其满足初值条件，即可得到定解问题的函数解。在MATAB中，可利用函数parabolic求解。

3）可视化探究。程序Case_3.m如图5所示。

热传导方程求解区域及细化后的三角网格如图6所示。这里MATLAB以动态图的形式给出t∈[0.01]之间的共20帧热传导方程解函数的图像，图7为其中的4帧解函数图。

（四）"椭圆型方程的可视化

椭圆型方程也是一类重要的二阶偏微分方程，其一般形式为

式中：u为未知函数，a、f为已知实值函数，？驻是Laplace算子。椭圆型方程有着广泛的物理背景，主要用来描述物理中的平衡稳定状态，比如振动趋于平衡、热传导趋于稳定及保守场。

案例4：求解Dirichlet问题。

式中：Ω是等腰三角形，其顶点为（-1，0），（1，0），（0，■）[10]。

1）数学文化。西莫恩·德尼·泊松是法国数学家，1781年出生于法国卢瓦雷，1840年卒于法国索镇。泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学。泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。在论文《关于球体引力》和《关于引力理论方程》中，泊松引入了著名的泊松方程。

2）理论分析。这是二维泊松方程的初值问题。用对称开拓法（镜像法）去构造它在正三角形Ω上的Green函数，从而求得在此区域上的Dirichlet问题的解。

3）可视化探究。为方便绘制求解区域，这里采用PDEToolBox的交互操作求解方程。步骤如下。

①启动PDEToolBox界面。在MATLAB命令行窗口输入，回车弹出PDEToolBox对话框。②绘制求解区域并划分。利用工具栏图形工具绘制等腰三角形，双击等腰三角形可调整顶点坐标；单击工具栏三角按钮粗略划分三角网格，继续单击双三角按钮可细分三角网格。③修改边界条件。单击Boundary-Specifyboundaryconditions，选中左栏Conditiontype中的Dirichlet并修改h=1，r=0。④确定方程类型及参数。泊松方程为特殊的椭圆型方程，选中椭圆按钮并设置a=0，f=2。⑤求解方程。单击工具栏“=”按钮，显示出方程的数值解分布，还可单击工具栏三维图标打开PlotSelection对话框，选择其他方式显示泊松方程求解结果。⑥保存为M文件。单击File-Saveas，将结果保存在C4_4_1.m的M文件中。

泊松方程求解区域及细化后的三角网格如图8所示。泊松方程求解结果如图9所示。

三"教学效果分析

在信息化时代，我们要善用科技的力量，帮助学生抽丝剥茧，由浅入深地学习并掌握微分方程的理论和方法，让计算机辅助教学发挥它应有的作用和价值。教师在教学过程中，首先对微分方程的基本概念和求解方法进行深入讲解，使学生从宏观层面把握微分方程知识间的联系及系统性；其次，充分发挥学生的主观能动性，把MATLAB的使用方法教给学生，以自主探索或小组合作的方式进行实践，讨论积极，课堂气氛活跃，教学效果显著提高。使学生经历借助MATLAB将抽象的微分方程问题具体化、可视化的过程，在数学实验中理解和解决数学问题，从而爱上数学、乐学数学，善于用数学解决实际问题。

参考文献：

[1]赵春芳.基于研究型教学的偏微分方程实例剖析[J].高教学刊，2019（26）：106-108.

[2]林挺.研究MATLAB与Mathematica在解微分方程（组）的应用比较及特解的图形解析[J].现代职业教育，2020（27）：154-155.

[3]李姝敏，郭鹏云，徐国明.常微分方程课堂教学改革的探索与实践[J].赤峰学院学报（自然科学版），2023，39（3）：88-92.

[4]周学勇.师范类专业认证背景下“常微分方程”课程教学改革探讨[J].内江科技，2022，43（11）：115-117.

[5]金玲玉，王霞.新工科背景下的偏微分方程教学改革的新思考[J].教育现代化，2019，6（A4）：71-72.

[6]李永利，孙志滨.侧重计算机仿真的数学物理方程教学探索[J].科技风，2020（25）：18-19.

[7]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[8]石彤菊.基于互联网的常微分方程数值解法的可视化设计[J].保定学院学报，2011，24（3）：72-75.

[9]廉海荣，方鑫宇，刘明柱，等.抛物型微分方程的可视化讨论[J].数学的实践与认识，2021，51（24）：304-310.

[10]朱长江，邓引斌.偏微分方程教程[M].北京：科学出版社，2005.

基金项目：国家自然科学基金面上项目“磁流体方程的能控性”（11971320）；深圳大学研究生教育改革研究项目“应用数学专业微分方程方向交叉创新人才培养模式探索与实践”（SZUGS2022JG09）；深圳大学教学改革研究项目“《常微分方程》课程思政探索与实践”（JG2022120）

第一作者简介：陶强（1982-），男，汉族，吉林长春人，博士，副教授，博士研究生导师。研究方向为微分方程教学与科研。