课本习题的探究两例

课本是教师教学和学生学习的重要依据，其中不少习题有值得深入研究思考的价值.

课本中的例习题具有典型性和探究性（例题的解法还具有示范性），所以对课本习题的深入研究应该是我们的自觉行动，如可以研究课本例习题的变式、可以研究它们的逆命题、也可以研究它们的推广后的结论等.本文试图通过对课本的两道习题的探究以求在夯实自身的同时能惠及学生，更期望能抛砖引玉.

探究一 按从小到大的顺序，可将23，32，π5，2π重新排列为________（可用计算工具）.

解读：本题源于高中数学人教A版教材必修一第四章《指数函数与对数函数》的第一节《指数》的课后习题第3题.本节主要内容是将整数指数幂推广到有理数指数幂、实数指数幂的运算，说明初中所学的整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂仍然成立，从而为第二节在实数范围内定义并研究指数函数奠定基础.本题主要目的是在认识了无理数指数幂的基础上，让学生通过计算器进一步感受无理数指数幂aα（agt;0且α为无理数）是一个确定的实数，故它们之间应具有确定的大小关系.

拓展延伸——不借助计算器的大小比较

幂指对数的比较大小是高考经常涉及的重点问题，也是难点问题，常见方法有作差、作商、构造函数、放缩等，但是由于题目通常涉及的知识点多，解法灵活多变，这也导致了学生往往难以把握.这里我们试图通过对本题深入探讨，以求得对学生在解此类问题时的方法有所帮助.我们感兴趣的是：如果本题不使用计算器计算，能否比较四个数的大小？

由于指数函数y=2x在R上为增函数，则23lt;2π，但32，π5的指数和底数与23和2π有相反的大小差异，故不能直接比较大小.因此，首先考虑对四个数进行估算，初步判断它们的大小.