例析基本不等式解题教学的优化

新课标背景下的数学教学理念是以学生为中心，注重学生的主动性和探究性，强调对学生的创新思维和实践能力的培养.在数学教学过程中，教师需要关注学生的情感体验和认知理解，尊重学生的个性差异和发展需求，引导学生进行自主、合作、探究式的学习.基本不等式是不等式中重要部分.从近年高考试题分析中，发现基本不等式的考题不是单纯考察不等式知识点，而是往往与向量、三角、解析几何、函数等多角度组合并延伸.在解题教学中发现，虽然基本不等式涉及到的考察范围广，但只要能理顺思路，找到问题的关键，那么问题就会迎刃而解.本文通过实例就其解题教学优化予以研究.

1.将生活经验和数学文化融入基本不等式概念的教学

“基本不等式”是人教A版高中数学必修第一册第二章的内容，是在新教材中变化较大的内容，也是代数式教学中的一个重要概念.初中教材以“毕达哥拉斯到朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，对于任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和”这个故事，用“赵爽弦图”证明了勾股定理.公元3世纪，亚历山大时期的数学家帕普斯在其《数学汇编》中给出了“半圆模型”.基本不等式的发现过程，恰好是历史的再现过程，从阿契塔定义几何中项，到欧几里得介绍ab的几何作法，再到帕普斯发现“半圆模型”.通过创设情境发现、探索“重要不等式”，有利于发展学生的直观想象能力和数学抽象思维能力，而其中的证明，有利于发展学生数学运算素养和逻辑推理素养.此外，在解决基本不等式问题时，应注意把相关的生活经历、数学文化与问题结合起来.

2.强调基本不等式概念的生成过程

高中数学概念抽象性较强，让学生对数学概念定义、公式定理的理解存在一定障碍.教师在教学中要注重概念的生成过程，在生成过程中应利用问题链方式，引导学生来理解基本不等式的重难点，并引导学生对基本不等式的内容、条件、应用具有深刻的认识.教学中发现一些学生只是机械地记忆了基本不等式的形式和证明过程，并没有真正理解其含义和应用.一部分学生对基本不等式的理解比较肤浅，对知识的理解不透彻，未能体会基本不等式蕴含的数学思想方法、应用价值，不能灵活解决与基本不等式有关的问题，学习效果也不理想.对基本不等式的使用条件理解不到位，容易在运用基本不等式求最值时出现以下常见的错误：（1）符号不是正号，如x+1x≥2;（2）结果不是定值，如x+1x－1≥2xx－1;（3）等号取不到，如x∈（0，π2），sinx+4sinx≥4，等等.由此强调运用基本不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”必要条件.由此理解基本不等式求最值中“积定和最小”及“和定积最大”的基本原理.而且在基本不等式的教学中，有必要让学生探索基本不等式的发现过程，并了解基本不等式a+ba≥ab（agt;0，bgt;0）的证明过程，从中体会证明不等式的基本思路和方法，渗透其中的数形结合思想.

评注：本题求解的难点在于对已知表达式的巧妙转化，转化方向是满足基本不等式的条件，求解时应注意尽管对称取等求最值方便、快捷，特别是在解决客观题时更简捷，但所求结论仅限于只有一种最值的情况，否则，就容易出现错误.

通过对基本不等式的解题教学实践，我们认为新课标背景下对于基本不等式的深度教学需要对概念的理解、性质的掌握、技巧的训练以及实际问题的解决等方面进行优化.在教学中教师要恰当引导学生将基本不等式的知识和其他所学知识结合起来，从题中得出已知条件，对题干进行深入分析，并通过反复的训练，总结出各种问题的解决方法.同时，对一些典型的实例、易错的问题进行深入的研究和思考，由此并总结出解题的规律，提高和发展学生的解题能力和数学素养.