抛物线形状、位置与系数关系解读及应用探析

［摘 要］二次函数是初中数学学习的重难点之一，它的图象是一条抛物线。文章通过解读抛物线的形状、位置与抛物线表达式中的系数的关系，并结合具体实例，探讨了这些关系在实际应用中的体现，以提高学生解决二次函数问题的能力，提升学生的思维品质。

［关键词］二次函数；抛物线；位置；形状；应用

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）32-0030-03

二次函数是初中数学学习中的重要函数，它的图象是一条抛物线。抛物线开口的大小和方向与二次项系数密切相关，抛物线在坐标系中的位置由二次项系数及一次项系数共同决定，抛物线与[y]轴相交的位置则由常数项确定。

一、抛物线形状、位置与系数关系的解读

1.关于[a]：二次函数[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的图象是一条抛物线。当[agt;0]时，抛物线开口向上；当[alt;0]时，抛物线开口向下。[a]的绝对值大小决定了抛物线开口的大小，[a]的绝对值越大，抛物线的开口越小；[a]的绝对值越小，抛物线的开口越大。

3.关于[c]：[c]的符号决定了抛物线与[y]轴的交点位置。当[cgt;0]时，抛物线与[y]轴交于正半轴；当[c=0]时，抛物线过原点；当[clt;0]时，抛物线与[y]轴交于负半轴。

4.关于[b2-4ac]：[Δ=b2-4ac]决定了抛物线与[x]轴的交点情况。当[Δ=b2-4acgt;0]时，抛物线与[x]轴有两个交点；当[Δ=b2-4ac=0]时，抛物线与[x]轴有唯一交点；当[Δ=b2-4aclt;0]时，抛物线与[x]轴没有交点。

5.其他：对于二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]，令[x=1]；可以得到代数式[a+b+c]；令[x=-1]，可以得到代数式[a-b+c]。抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等，抛物线上纵坐标相等的点一定关于对称轴对称；如果抛物线与[x]轴有两个交点，那么这两点一定关于对称轴对称；如果抛物线上关

二、抛物线形状、位置与系数关系的应用

应用1：由某一函数的图象确定其他函数的图象。

［例1］如图1所示，一次函数[y1=x]与二次函数[y2=ax2+bx+c]的图象相交于[P]、[Q]两点，则函数[y=ax2+（b-1）x+c]的图象可能是（ ）。

分析：由一次函数[y1=x]的图象与二次函数[y2=ax2+bx+c]的图象有两个交点，得方程[ax2+（b-1）x+c=0]有两个不相等的实数根，则[y=ax2+（b-1）x+c]图象与[x]轴有两个交点，讨论其对称轴所在直线的方程判断对称轴的位置，即可进行判断。

评注：本题实际上考查了二次函数与一元二次方程的关系，通过两个函数图象交点情况得到联立的方程根的情况，而由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与[x]轴的位置关系。

应用2：判断多个函数图象在同一坐标系中的位置。

分析：采用排除法逐个作出判断，先由抛物线的位置得到系数[a]、[b]、[c]的符号，再根据[bc]的符号得到双曲线应该位于的象限，从而得到正确的选项。

评注：本题采用了排除法，由抛物线的位置确定系数的符号继而得到双曲线的位置。本题还可以先由双曲线所在的象限判断出反比例系数bc的符号，继而根据抛物线的位置验证，即判断二次函数系数中[b]、[c]与反比例函数表达式中bc的符号情况是否一致。

应用3：由函数图象得到函数的系数大小关系。

［例3］设函数[y1=（x-a1）2]，[y2=（x-a2）2]，[y3=（x-a3）2]。直线[x=b]的图象与函数[y1]，[y2]，[y3]的图象分别交于点[A（b，c1）]，[B（b，c2）]，[C（b，c3）]，（ ）。

A.若[blt;a1lt;a2lt;a3]，则[c2lt;c3lt;c1]

B.若[a1lt;blt;a2lt;a3]，则[c1lt;c2lt;c3]

C.若[a1lt;a2lt;blt;a3]，则[c3lt;c2lt;c1]

D.若[a1lt;a2lt;a3lt;b]，则[c3lt;c2lt;c1]

分析：由选项可知，[a1lt;a2lt;a3]，作出相应图象，然后分别作直线x=b，其中按[blt;a1]，[a1lt;blt;a2]，[a2lt;blt;a3]，[bgt;a3]分类讨论，通过直线x=b与二次函数图象的交点位置判断[c1]，[c2]，[c3]的大小。

解：如图2所示，对选项A，由图象可知，若[blt;a1lt;a2lt;a3]，当[x=b]时，[c1lt;c2lt;c3]，故选项Ａ错误；对选项B，由图象可知，若[a1lt;blt;a2lt;a3]，当[x=b]时，[c1lt;c2lt;c3]或者[c2lt;c1lt;c3]，故选项B错误；对于选项C，由图象可知，若[a1lt;a2lt;blt;a3]，当[x=b]时，[c3lt;c2lt;c1]或者[c2lt;c3lt;c1]，故选项Ｃ错误；对于选项D，由图象可知，若[a1lt;a2lt;a3lt;b]，当[x=b]时，[c3lt;c2lt;c1]，故选项Ｄ正确。故选D。

评注：由抛物线顶点式[y=a（x-h）2]可知其对称轴是直线[x=h]，顶点坐标是（[h]，0），抛物线与[x]轴有唯一交点。根据抛物线的表达式画出抛物线的草图是必备的基本功。本题运用数形结合的方法，通过画出函数图象直观得出结论，相比代数运算更简便。

应用4：由函数图象的位置确定代数式的符号。

［例4］如图3所示，二次函数[y=ax2+bx+c]的图象与[x]轴的一个交点坐标是（3，0），对称轴为直线[x=1]，下列结论①[abclt;0]；②[2a+b=0]；③[4a-2b+cgt;0]；④当[ygt;0]时，[-1lt;xlt;3]；⑤[blt;c]中，正确的个数是（ ）。

A. 2" " " " " " " B. 3" " " " " " " C. 4" " " " " " " D. 5

评注：对于单项式[abc]的符号，可以通过图象分别确定[a]、[b]、[c]的符号再判断；对于类似代数式“[4a-2b+c]”的符号判断，可以代入特殊值，然后根据图象性质判断该函数值的符号；而若要判断[a]、[b]、[c]之间的大小关系，则可以将抛物线与[x]轴的两交点坐标代入解析式通过消元得到。

应用5：由函数图象探究方程的解或不等式的解集。

［例5］图4是抛物线[y1=ax2+bx+c（a≠0）]图象的一部分，抛物线的顶点坐标[A（1，3）]，与[x]轴的一个交点[B（4，0）]，直线[y2=mx+n]（[m≠0]）与抛物线交于[A]、[B]两点，下列结论①[2a+b=0]；②[abcgt;0]；③抛物线与[x]轴的另一个交点是（-1，0）；④方程[ax2+bx+c=3]有两个相等的实数根；⑤不等式[mx+nlt;ax2+bx+c]的解集为[1lt;xlt;4]中正确的是（ ）。

A. ①②③ B. ①④⑤

C. ①③⑤ D. ①④

分析：根据抛物线的对称轴x=1可判断①；根据抛物线的开口方向、抛物线与[y]轴的交点位置、对称轴的位置可判断②；由抛物线的对称轴，与[x]轴的一个交点，得到与x轴的另一个交点可判断③；由抛物线与直线[y=3]的位置关系判断方程[ax2+bx+c=3]根的情况可判断④；观察抛物线与直线[y2]的相对位置关系可判断⑤。

评注：方程[ax2+bx+c=m]根的情况可以通过抛物线[y1=ax2+bx+c]与直线[y=m]交点情况判断：有两个交点，方程有两个不相等的实数根；有一个交点，方程有两个相等的实数根；没有交点，方程没有实数根。观察两个函数图象的位置，可以得到由两个函数表达式组成的不等式的解集，图象位于上方的函数值较大，位于下方的函数值较小，交点处函数值相等。

综上，抛物线形状、位置与系数关系可以通过数形结合的思想得到，该知识点所考查的多是由a，b，c，[Δ]的符号确定抛物线的形状、位置或由抛物线的形状、位置确定a，b，c，[Δ]等的符号。教师通过引导学生探究抛物线形状、位置与系数关系，能够有效提高学生的逻辑推理能力，并培养他们的类比、转化能力。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 郑瑞.抛物线中几何性质的赏析及应用[J].初中数学教与学，2023（19）：8-10.

[2]" 张科如.如何充分利用抛物线图象所提供的信息[J].初中数学教与学，2013（3）：7-8.