新课程背景下高中数学拓展教学探析

［摘 要］拓展教学是一种创新的教育教学方法，它要求教师从更高的层次出发，不仅关注知识的传授，更注重能力的培养和素质的提升。高中数学新课程中设计了许多探究活动和拓广探索题，旨在对教材知识进行适当的拓展与延伸，培养学生的思维能力。文章结合高中数学的特点介绍了什么是拓展教学，以及拓展教学的目的和作用，并以“直线和圆的方程”为例，详细阐述了教师如何在拓展教学中引导学生探索求解过程，进而培养学生的探究能力。

［关键词］拓展教学；新课程；直线和圆的方程；高中数学

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）32-0010-04

拓展教学是指根据课程的教学内容和目标，整合一定范围和深度的外部相关内容的教学活动。与传统教学主要侧重于知识的传授不同，拓展教学方法对教师和学生提出了更高的要求。它旨在加深学生对教学内容的理解，培养学生的探究兴趣和意识，同时提高学生的问题解决能力，从而促进学生全面和个性化发展。

随着新课标的贯彻执行，拓展教学已成为课堂教学的重要组成部分。高中数学知识体量大，模块众多且各模块间联系紧密，学生学习任务艰巨。一些高考考点教材未直接涉及，需教师在课堂上对学生进行适当的拓展训练。教材的每一章节都设置了较多的拓展和探究题目以及活动设计，内容和类型丰富。然而，一些教师仍采用传统的教学方式，忽视了教材中的拓展和探究题目，未能实现教材编者的教学目标和意图。其实，用好这些拓展和探究题目，对教材做适当的拓展，补充相应的知识点，增加例题和解题方法，并提供适量练习，不仅可以帮助学生巩固知识，还可以提升学生的自主学习能力和解题能力。

那么，如何对教材进行适当的拓展和延伸呢？下面笔者以高中数学选择性必修一第二章“直线和圆的方程”的教学为例，谈谈个人对拓展教学的思考。

一、对拓广探索题进行适当拓展

在教学第二章第三节“直线的交点坐标与距离公式”时，部分教师对教材第80页的拓广探索题并未给予足够的重视，甚至直接跳过这部分内容，进入下一节的教学。比如第16题：“已知[λ]为任意实数，当[λ]变化时，方程[3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0]表示什么图形？图形有何特点？”编者设计这些拓广探索题的目的是让学生在学过的直线与直线相交的位置关系基础上，进一步探索如何求过交点的直线系方程。通过这样的练习，学生不仅能巩固知识，还能使其得到延伸和升华；同时，这也有助于开阔视野、拓展思维，并培养学生的自主学习能力。

在教学中，教师讲解完第70页的例1（求两条直线“[l1：3x+4y-2=0]，[l2：2x+y+2=0]”的交点坐标，并画出图形）后，可以进一步设问：过交点的直线有多少条？这些直线该怎么表示？能否用[l1]和[l2]的形式来表示这些过交点的直线？如果可以，该怎么表示？

这样的设问可以激发学生的求知欲，为他们的探究做好铺垫。课后，让学生带着这些问题去思考和讨论，并在下一节课上充分发表自己的见解，最终在教师指导下得出过两条直线交点的直线系结论：

设直线[l1：A1x+B1y+C1=0]，[l2：A2x+B2y+C2=0]，则过两直线交点的直线[l]的方程为：[A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0]。

二、对结论进行适当拓展训练

利用上述结论可以快捷地解决很多题目，大大节省计算时间，凸显了探究的实用价值。为了巩固学生的学习成果，教师可以设计一至两道题，并引入变式训练。

［题目］求证：不论[m]取什么实数，直线[（2m-1）x+（m+3）y-m-10=0]都经过一个定点，并求出这个定点。

通过这样的设计，教学不再局限于教材中的例题，既能深入教材，又能超越教材，符合学生知识生成的规律，还实现了知识的拓展和延伸，培养了学生的自主学习能力。

三、对例题进行适当拓展

再看教材第96页“圆与圆的位置关系”中的例5：

已知圆[C1：x2+y2+2x+8y-8=0]，圆[C2：x2+y2-4x-4y-2=0]，试判断圆[C1]与圆[C2]的位置关系。

本例给出了两种解法：

解法2：依据两圆圆心距与两圆半径之和及两圆半径之差的大小关系，判断出两圆的位置关系是相交。

虽然教材从代数角度和数形结合角度给出了两种不同的解法，但教学不应局限于此。在当今注重数学学科核心素养培养的背景下，教师可在原题的基础上，为学生设计一个探究与拓展环节，引导学生深入思考。如针对上述例题，教师可提出以下问题：

问题1：若两圆相交于点A和点B，你能求出弦AB的长度吗？

问题2：求过A，B两点且圆心为[（3，4）]的圆[C3]的方程。

问题3：若点[M（1，-1）]在经过A，B的圆[C4]上，求圆[C4]的方程。

问题2：在问题1的基础上，可以求出圆[C3]的半径为5，因此圆[C3]的方程为[（x-3）2+（y-4）2=25]，化为圆的一般方程得[x2+y2-6x-8y=0]。

上述三个问题难度适中且层层递进。利用学过的知识，学生可以自行解决这些问题。在学生分析完毕后，教师还可以进一步引导学生讨论以下问题：

问题4：问题2和问题3有什么共同点？

问题5：经过A，B两点的圆有多少个？它们的方程分别是什么？

问题6：这一类圆有什么样的特征？能否用一种统一的形式来表示？

事实上，这些问题都在引导学生探究关于经过相交弦AB两端点的圆的方程。通过层层递进的问题引导学生思考、讨论、探究，这样的设计可以拓展学生的思维，提升学生的猜想能力和探究能力，并最终顺势引出圆系方程。

已知圆的一般方程：

圆[C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0]，圆[C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0]，

则过圆[C1]和圆[C2]交点的圆的方程可表示为：

[x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0]。

首先，这个方程代表一个圆。其次，圆[C1]和圆[C2]的交点[A]，[B]满足这个方程，这是因为点[A]在圆[C1]上，所以点[A]的坐标可代入圆[C1]的方程，而点[A]也在圆[C2]上，所以点[A]的坐标也可代入圆[C2]的方程。圆[C1]的方程加上[λ]倍的圆[C2]的方程就可得到上面的圆系方程，所以点[A]在圆系方程代表的圆上。同理，点[B]也在圆系方程代表的圆上，所以圆系方程代表过圆[C1]和圆[C2]的交点的圆的方程。

如果没有[λ]，上述圆系方程就只能表示所有相交圆中的一个，而加入一个任意实数[λ]后，该方程就可以表示所有的圆。当然，只要知道了这个圆经过的相交点以外的任何一个点，就可以确定[λ]的值。

四、“数形结合”的拓展应用

“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识、理解和解决问题的思维方法，一般包括以“形”助“数”和以“数”解“形”两个方面。在“直线和圆的方程”教学中，“数形结合”无处不在，比如下面这道题：

还可以设计以下题型：

已知圆[C1：（x-2）2+（y-3）2=1]，圆[C2：（x-3）2+（y-4）2=9]，[M]，[N]分别是圆[C1，C2]上的动点，[P]为[x]轴上的动点，则[PM+PN]的最小值为（ ）。

［分析］利用圆的性质及“将军饮马”模型来计算最值即可求出答案。

［详解］如图2所示，易知[O1（2，3）]，[O2（3，4）]，两圆的半径分别为[r1=1]，[r2=3]，取点[O1]关于横轴的对称点[A]，则[A（2，-3）]，在横轴上任取一点[P]，连接[PO1，PO2]，连接[AO2]，交横轴于点P，交圆[C2]于点E（圆上靠近横轴一点），连接[PO1]交圆[C1]于

五、对题型进行拓展创新

近几年，高考数学试题越来越重视对数学基本概念及其性质、基本技能和基本方法的考查，同时更注重综合考查，要求学生能够灵活运用数学思想方法来解决问题。此外，高考数学试题一直在寻求“双基”与“创新”之间的平衡，涌现出许多新颖别致的创新题目。这些创新题目以“双基”为立足点，通过横向类比、纵向加深或陈题开放等方式进行设计。同时，这些试题背景新颖，以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，运算量不大，但思维容量大。因此，解答这类题目需要运用观察、分析、类比、归纳等方法，仅靠重复操练是无法顺利完成的。设置这些创新题目旨在训练和考查学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力。在“直线和圆的方程”教学中，教师可以尝试拓展设计一些类似的创新题型。比如下面这道题：

（多选题）如图3所示，在[8×6]的长方形区域（含边界）中有[A，B]两点，对于该区域中的点[P]，若

区域中的点[P]，其到[B]的距离不超过到[A]距离的一半，则称点[P]处于[B]的控制下，则下列说法正确的有（ ）。

A.点（4，2）处于[A]的控制下

B.若点[P]不处于[A]的控制下，则其必处于[B]的控制下

D.图中所有处于[A]的控制下的点构成的区域面积为[8+5π]

［分析］根据新定义可直接判断选项A；取特殊点可判断选项B；根据定义可求出点P所在区域，判断选项C；结合图象可求出面积，判断选项D。

制下，当点处于[O，C，D]处时，其与A的距离有最大

六、结语

拓展教学的作用在于加强学生对教学内容的深入理解，培养学生的探究兴趣和意识，引导学生掌握科学思维方法和探究方法，从而使其分析问题和解决问题的能力得到提升，促进学生全面和个性化发展。

拓展教学的目标是培养学生的批判性思维、创造性思维、问题解决能力和团队合作精神，进而提升其综合素质和未来竞争力。为了实现这一目标，教师应尽可能地提供多样化的学科和主题选择，鼓励学生积极参与并探索自己感兴趣的领域，从而激发他们的学习热情和动力。

其实，类似于上文提及的拓展与探究内容，在教材中还有很多。这里所举的例子只是极少部分，旨在抛砖引玉。教师需要在教学中合理利用教材，平时要勤于思考、善于发现和积累，精心设计拓展环节。只有这样，才能做好教学的拓展工作，引导学生积极探索，并在探索的过程中挖掘深层次的知识，培养综合能力。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 赵丽琴.把脉音乐课中的“拓展教学”[J].启迪与智慧（教育），2015（6）：68.

[2]" 朱淑英.关于如何有效组织美术课后拓展的研究[J].启迪与智慧（教育），2017（1）：31.

[3]" 付巍.“学案教学”的思考：听两节解析几何课有感[J].数学通报，2013（8）：33-36.