运用托勒密定理，巧解几何题

摘要：中考数学中常常会遇到在四点共圆的条件下求解线段长度或某些线段长度关系的问题或逆问题，托勒密定理是解决此类问题的一个简单适用的工具.本文中通过解题方法的对比，说明运用托勒密定理可以帮助学生打开新思路，高效解题.

关键词：托勒密定理；中考数学；几何证明

1 定理内容及证明

托勒密定理："圆内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.

已知圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC.

证明：如图1，在线段BD上取一点E，使得∠1=∠2.

又∠ADE=∠ACB，因此易得

△ADE∽△ACB，所以ADAC=EDBC，即

AD·BC=ED·AC.

如图2，又因为∠DAC=∠EAB，∠ABD=∠ACD，易得△ADC∽△AEB，所以ABAC=BECD，即

AB·CD=BE·AC.②

由①+②，可得AB·CD+AD·BC=BE·AC+ED·AC，即

AC·BD=AB·CD+AD·BC.

广义托勒密定理："对于任意凸四边形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

证明：如图3，取一点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易得△ABE∽△ACD，所以ABAC=BECD，可得

AB·CD=BE·AC.③

又因为ABAC=AEAD，即ABAE=ACAD，且∠BAC=∠EAD，所以△ABC∽△AED.所以BCED=ACAD，可得

AD·BC=ED·AC.④

由③+④，可得AB·CD+AD·BC=BE·AC+ED·AC≥AC·BD.

故AC·BD≤AB·CD+AD·BC.

2 定理应用

在近几年的中考中，关于圆的压轴题越来越复杂，有时学生难以找到思路，而掌握一定的数学模型可以帮助学生快速找到解题方法.

例1""（2017临沂中考改编）如图4，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

分析：遇到探究线段长度关系的题目，通常可以先想办法将线段放在同一条线段上或者同一三角形内观察.

法1：（常规法）由条件知△ABD为等边三角形，所以将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，如图5.

易证，△ACE为等边三角形，所以BC+CD=DE+CD=CE=AC.

法2：（运用托勒密定理）由已知∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，可以推出△ABD为等边三角形，且A，B，C，D四点共圆，如图6.

由托勒密定理，得AC·BD=AB·CD+AD·BC.又因为AB=AD=BD，所以易得AC=CD+BC.

评注：此题蕴含了托勒密模型，可以看成是托勒密模型的一个特殊变形，当AB=AD=BD时，即△ABD为等边三角形时，AC=CD+BC.这可以当作托勒密定理的拓展进行记忆，当遇到此模型与更加复杂的条件结合时，可以提取出此模型主体，便于在练习中加速思考出解题办法.

例2""（2022云南中考）如图7，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O.P是⊙O的劣弧BC上的任意一点.连接PA，PC，PD，延长BC至点E，使BD2=BC·BE.

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若四边形ABCD是正方形，连接AC.当P与C重合时，或当P与B重合时，把PA+PCPD转化为正方形ABCD有关线段长的比值，可得PA+PCPD=2.当P既不与C重合也不与B重合时，PA+PCPD=2是否成立？请证明你的结论.

解析：（1）DE与⊙O相切.

因为BD2=BC·BE，所以BDBC=BEBD.容易证得△CBD∽△DBE，所以∠DCB=∠BDE=90°.

又BD为⊙O的直径，所以DE与⊙O相切.

（2）法1：（常规法）如图8，过点D作DM⊥DP，延长PC交DM于点M.由∠MDC+∠CDP=∠ADP+∠CDP=90°，易得∠MDC=∠ADP.又因为∠MDP=90°，∠DPM=45°，所以△MDP为等腰直角三角形，则可得MD=DP.由此可得，△CMD≌△APD，所以PA+PC=MC+PC=MP=2PD，即PA+PCPD=2.

法2：（运用托勒密定理）根据托勒密定理，可得

AC·PD=PA·CD+AD·PC.

又AC=2AD=2CD，所以PA·CD+AD·PC=（PA+PC）·AD=AC·PD=2AD·PD，可得PA+PCPD=2.

评注：本题是以正方形、等腰直角三角形和圆为背景，以圆内接四边形为载体的几何定值问题，试题梯度合适，解法多样，综合考查了初中几何部分核心知识[1].通过对比一般的旋转方法和托勒密定理法可以发现，运用托勒密定理不用作辅助线便能得到答案，若是在选择题中，可通过托勒密定理快速算出结果，省时高效.

例3""如图9，在四边形ABCD中，BC=CD且∠BCD=90°，AB=4，AD=3，求对角线AC的最大值.

解法1：（常规法）如图10，通过旋转构造，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△EDC，[JP+1]易证△ACE为等腰直角三角形，所以AC=22AE，AE取最大值时便可知AC的最大值.因为A，D，E三点共线时AE可取最大值为7，所以AC的最大值为722.

解法2：（运用托勒密定理）由广义托勒密定理，可得AC·BD≤AB·CD+AD·BC，所以AC≤AB·CD+AD·BCBD=4CD+3BCBD.又因为CD=BC=22BD，所以AC≤722.当AC取最大值72/2时，A，B，C，D四点共圆.

评注：托勒密定理便于记忆、内容简洁且形式优美，有助于处理圆的内接凸四边形的线段长度、边长这类问题.因此，在面对有托勒密模型的选择填空题时，优先使用托勒密定理更加省时方便，做题更加高效.

通过上述例子我们可以发现，若在关于线段长度的问题中，能在题目中找到符合托勒密定理使用条件的凸四边形，特别是在选择题与填空题中，可以巧用此定理节省考试时间.我们可以通过熟练运用此定理，为解几何问题提供一种快速有效的思路.在教学中，教师平时多帮助学生积累优化的解题策略，有利于培养学生的发散思维能力，也有利于提高学生对模型的分析和应用能力，更有利于重塑学生的知识建构能力，从而提高学生的数学素养[2].

托勒密定理不仅是几何学中的一项基本定理，而且在解决复杂的几何问题和应用数学中发挥着重要的作用.首先，托勒密定理可以作为工具让学生将复杂问题抽象为简单几何模型，以圆和内接凸四边形为基础，利用定理的几何特性来描述复杂问题，从而转化为更易处理的问题.同时，学习托勒密定理需要进行严密的逻辑推理和证明，通过这样的过程，可以培养学生分析问题、推理论证的能力，这对于数学素养的提升至关重要.最后，托勒密定理具有简洁优美的形式和深刻的几何意义，学习托勒密定理有助于培养学生对数学美感的欣赏和理解，增强学生对数学的兴趣和热爱.

托勒密定理是数学学习中的重要一环，通过学习和应用这一定理，不仅能提高几何学和应用数学方面的素养，还能培养学生的逻辑推理能力以及数学建模和问题解决能力.同时，通过欣赏托勒密定理的数学美感，学生也能够增进对数学学科的热情，为深入学习和探索更多数学知识奠定坚实的基础.

参考文献：

[1]李加禄.2022年云南省中考数学第23题解法探讨与变式推广[J].理科考试研究，2022（22）：16-20.

[2]李永树，张雪婷.注重解法研究 提高解题能力[J].数理化学习（初中版），2022（3）：6-9.