三角函数与圆共奏和谐乐章

摘要：已知一个锐角的三角函数值求圆中有关线段长，大多数情况下已知锐角的三角函数值都不能直接应用，需将其转化.转化的方法较多，本文中介绍用等角转化，转化的策略包括通过同弧所对的圆周角相等转化，通过平行线、圆的切线转化，还可以通过等弧所对的圆周角相等转化.

关键词：锐角三角函数；圆中线段长；等角转换

“圆”是初中几何的核心内容，知识点繁多，圆中的角转换灵活，方法技能多变，难以掌握.锐角三角函数是相似的一种特殊运用，是中考的重点内容.当这二者在中考试卷中相遇时，会共奏出怎样的和谐乐章呢？下面介绍几种通过等角的有效转换求圆中线段长的几种方法，供学生复习时参考.

1 通过“等弧所对的圆周角相等”转化

例1""（2022·营口一模）如图1，点E在以AB为直径的⊙O上，C是BE的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD＝45，BF＝15，求AC的长.

分析：（1）要证切线，需证OC⊥DC，所以连接OC，再用角平分线和等腰三角形的性质证得OC∥AD，而AD⊥DC，结论获证.

（2）根据圆周角定理的推论知∠EAC＝∠CAB＝∠CBE，那么这些等角的余弦值也相等.在Rt△BCF中，由cos∠CBF求出BC的值.在Rt△ABC中，根据tan∠CAB求出AC的值.

（1）证明：如图2，连接OC，BC.

因为C是BE的中点，所以由“等弧所对的圆周角相等”知∠EAC＝∠CAB＝∠CBE.

又∠CAB＝∠OCA，所以∠EAC=∠OCA.

所以AD∥OC.

又AD⊥CD，

所以OC⊥CD.

因此CD是⊙O的切线.

（2）解：

由（1）可知∠CBE＝∠CAD，

则

cos∠CBE＝cos∠CAD＝45.

在Rt△CBF中，cos∠CBF＝45，即CBBF＝45，又BF＝15，

所以BC＝12.

由cos∠CAD＝45，得tan∠CAD＝34.

所以tan∠CAB＝34＝BCAC.

又BC＝12，

所以AC＝16.

点评：第（2）问运用等弧与圆周角将圆中角合理转化，得到三个角相等（即∠EAC＝∠CAB＝∠CBE），那么，这些角的余弦值或正切值也分别相等，再利用BF＝15，求出BC的值，则AC的值也迎刃而解.这其中合理运用了等角的余弦值和正切值，才使问题解答较为简单.

2 通过圆的切线转化

例2""（2022·遂宁模拟）如图3，AB是⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.

（1）求证：AD2＝AM·AB；

（2）若AM＝185，sin∠ABD＝35，求线段BN的长.

分析：（1）将要证的等积式结论写成比例式，这四条线段分散在两个直角三角形中，只需证△DAM∽△BAD，而两个直角相等易证，则只需证明∠MDA＝∠DBA，通过切线的性质可证得.

（2）线段BN在Rt△BDN中，cos∠NBD＝BNBD，知道sin∠NBD和BD的值即可求解.由切线性质和“同角的等角相等”知∠NBD＝∠MDA＝∠ABD，则cos∠NBD＝45，又由（1）的结论AD2＝AM·AB可求得AB的值，则BD可求得.

（1）证明：如图4，连接OD.

因为CD是⊙O的切线，所以∠1＋∠5＝90°.

又AB是⊙O的直径，所以∠2＋∠5＝90°.

所以∠1＝∠2.

又∠2＝∠3，则∠1＝∠3，

而∠AMD＝∠ADB＝90°，

所以△DAM∽△BAD.

因此ADAB＝AMAD，即AD2＝AM·AB.

（2）解：由同角（∠NDB）的余角相等，可知∠1＝∠4.

又由（1）的结论知∠1＝∠3，则

∠3＝∠4.

而sin∠ABD＝35，则cos∠NBD＝cos∠ABD＝45.

设AD＝3x，BD＝4x，则AB＝5x.

由（1）的结论AD2＝AM·AB，

得（3x）2＝185×5x，解得x＝2，那么BD＝4x＝8.

结合cos∠NBD＝45＝BNBD，可得BN＝325.

点评：解决本题的关键是用切线的性质和同角的余角相等得到∠3＝∠4，那么根据∠3的正弦值就可以得到∠3与∠4的余弦值，再由（1）的结论可求出线段BN的长.

3 通过“两直线平行，同位角相等”转化

例3""（2022·孝感模拟）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E.

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，sin∠BAC＝23，求BE的长.

分析：（1）此问源于课本，改编自人教版九（上）课本102页第12题.要证AC是⊙O的切线，连接OD，只需证明OD⊥AC，通过△OBD是等腰三角形和DC⊥BC可以解决.

（2）BE所在的图形没有直角三角形，为此设AB与⊙O的交点为F，连接EF，由直径出现90°的圆周角，根据平行线的性质得同位角相等，即∠EFB＝∠CAB，由等角的三角函数值相等知sin∠EFB＝sin∠BAC＝23，因此只需求出直径即可解决问题.

（1）证明：如图6，连接OD.

由OD＝OB和BD是∠ABC的平分线，得∠ODB＝∠OBD＝∠DBC，

则OD∥BC.

又∠ACB＝90°，

所以OD⊥AC.

因此，AC是⊙O的切线.

（2）解：如图6，设AB与⊙O的交点为F，连接EF.

在Rt△ABC中，由sin∠BAC＝23=BC/AB，AB＝6，可得BC＝4.

设⊙O的半径为r，由（1）知OD⊥AD.

所以sin∠BAC＝ODAO=BCAB，即r6－r=46.

解得r＝12/5.

由AB过点O可知∠FEB＝90°，

则EF∥AC.

所以∠EFB＝∠CAB，则sin∠EFB＝sin∠CAB＝23.

所以BEFB＝23.

又FB＝2r＝24/5，所以BE＝16/5.

点评：由直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形，所求的线段BE即为直角三角形的直角边.进一步挖掘，由平行线出现相等的同位角，那么等角的正弦值也相等，则问题破解便迎刃而解.

4 运用“同弧所对的圆周角相等”转化

例4""（2022·武汉一模）如图7，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.

（1）求证：AO平分∠BAC；

（2）若BC＝6，sin∠BAC＝35，求AC和DC的长.

分析：（1）由等腰三角形的条件和所证结论，想到AO也是BC的中垂线，只需作出辅助线，即连接OB，延长AO交BC于一点，利用对称性即可解决.

（2）∠BAC所在的三角形不是直角三角形，作CO所在的直径CE，连接BE，根据圆周角定理，可知∠E＝∠BAC，进而用∠E的正弦值求得圆的半径.要求DC的长，即只要求DO的长，又DO在“8字型”的图形中，得到DODE=AOBE，即可获得DO，解Rt△ACH即可求AC.

（1）证明：如图8，延长AO交BC于点H，连接BO.

因为AB＝AC，OB＝OC，

所以A，O在线段BC的垂直平分线上，即AO⊥BC.

又AB＝AC，所以AO平分∠BAC.

（2）解：如图8，延长CD交⊙O于点E，连接BE，则CE是⊙O的直径，

所以BE⊥BC.

又AH⊥BC，所以BE∥AH.

由“同弧所对的的圆周角相等”知∠E＝∠BAC，

所以sin∠BEC＝sin∠BAC＝BCCE＝35.

又BC＝6，所以CE＝10，半径r＝5.

在Rt△BCE中，BE＝CE2－BC2＝8.

由BE∥AH知OABE＝ODDE，即58＝OD5－OD，解得OD＝2513，

所以CD＝5＋2513＝9013.

由（1）知H为BC中点，而O是EC中点，则OH是△CEB的中位线，

所以OH＝12BE＝4.

又AO=r=5，所以AH＝9.

所以，在Rt△ACH中，AC＝AH2+CH2＝92+32＝310.

点评：本题的显著特点是运用同弧所对的圆周角将∠BAC转化成直角三角形的一个角，并用三角函数值求得线段OC的长，再利用相似三角形的对应边成比例，求得线段OD的长，即可求线段CD的长.这种先分解整体，再求解问题的各个部分的解题方式，是常见的解题模式，值得我们借鉴.

通过以上几个例题可以看出，锐角三角函数与圆“联袂”的几何试题，不仅用到了圆的相关知识解决问题，而且还丰富了解决有关圆问题的方法和技巧，很好地考查了圆、锐角三角函数、勾股定理、相似、方程、三角形等相关知识.将已知条件中的锐角通过几何图形的性质转换成它的等角，即可将已知中的锐角三角函数值转换为等角的三角函数值，这是转化思想的重要体现，是一种重要的解题技能.运用这种转化方法，可以沟通各已知条件与结论的关系，使隐含的联系显露出来，从而使问题巧妙而简洁获解.