常规思维巧思，特殊思维妙解

摘 要：数学解题与应用研究是一个深层次的数学教学与学习过程，也是不断积累知识与经验、掌握技巧与方法的重要平台.本文结合一道数量积的求值问题，从常规思维与特殊思维两个不同思维视角加以切入与应用，并深入拓展与研究，提升思维与能力的高度与维度，以期引领并指导解题研究与复习备考.

关键词：三角形；平面向量；数量积；基底

平面向量数量积作为平面向量模块知识中最为重要的基本知识之一，成为近年高考试卷中常见常新的基本考点之一.此类涉及平面向量数量积问题，经常以数量积的求值或最值问题等形式来设置.熟练掌握求解平面向量数量积的基本技巧与策略方法，就成为解决此类问题的重中之重，也是课堂教学与复习备考中的一个基本专题.

1 问题呈现

（湘豫名校联考2024届春季学期高三第二次模拟考试数学试卷第7题）如图，在△ABC中，BC=2AB=4，D、E分别为BC、AC的中点，F为AD上一点，且满足AF=BF，则AF·BE=（" ）.

图

A. 12

B. 1

C. 32

D. 23

本题以三角形为问题背景，结合三角形中两邻边之间的长度比例关系的构建，以及对于中点及满足条件的点的确定，进而求解对应平面向量数量积的值.

解决此类平面向量数量积问题，往往依托问题场背景，可以从常规思维切入，结合平面向量数量积的定义与坐标公式，借助基底法与坐标法来分析与求解；也可以从特殊思维切入，结合特殊图形的确定，进而借助基底法与坐标法来分析与求解.

2 问题破解

2.1 常规思维

方法1：基底法.

如图1所示，设∠FAB=θ，过点F作FG⊥AB于点G.

由AF=BF，可得AG=12AB=1，所以|AF|=｜AG｜cos θ=1cos θ.

因为BE=BD＋DE=BD－12AB，|AB|=|BD|=2，所以∠ADB=θ.

AF·BE=AF·（BD－12AB）=AF·BD－12AF·AB=1cos θ×2×cos θ－12×1cos θ×2×cos θ=1，故选择答案B.

点评：根据平面向量数量积的定义，从“数”的基本属性切入，合理借助平面向量的线性运算加以转化，结合基底法的应用，是求解平面向量的数量积问题中最为常用的一种技巧方法.解决问题的关键在于基底的合理寻找，向量的巧妙变形，以及对应向量模与夹角的确定等，这都是回归平面向量数量积的定义应用的根本.

方法2：坐标法.

如图2所示，取线段AB的中点O，连接OF，易知OF⊥AB，以O为坐标原点，以直线AB为x轴，直线OF为y轴建立平面直角坐标系xOy.

设C（2a，2b），agt;0，bgt;0，点F在线段AB的中垂线，即y轴上.设F（0，f），又A（－1，0），B（1，0），|BC|=4，所以D2a＋12，b，E2a-12，b，（2a－1）2＋（2b）2=16，即4a2＋4b2=15＋4a.

由A、F、D三点共线，可得f-00-（-1）=b-02a＋12-（-1），即f=2b2a＋3.

因为AF=0，2b2a＋3－（－1，0）=1，2b2a＋3，BE=2a-12，b－（1，0）=2a-32，b，所以AF·BE=2a-32＋2b22a＋3=（2a）2-9＋4b22（2a＋3）=15＋4a-92（2a＋3）=1，故选择答案B.

点评：根据平面向量数量积的坐标公式，从“形”的几何特征切入，合理构建对应的平面直角坐标系，正确确定各相关点的坐标，利用题中对应的信息构建关系式，为进一步利用平面向量数量积的坐标公式的应用创造条件.解决问题的关键在于合适的平面直角坐标系的构建、相关点的坐标确定与相互关系的构建等.

2.2 特殊思维

方法1：基底法.

如图3所示，结合BC=2AB=4，

取特殊情况BC⊥AB.

由题可知AB=BD=2，AF=BF，则F是AD的中点.

AF=12AD=12（BD－BA）=12BD－12BA，BE=BD＋DE=BD＋12BA.

AF·BE=12BD－12BA·BD＋12BA=12BD2－14BD·BA－14BA2=12×22－0－14×22=1，故选择答案B.

方法2：坐标法.

如图4所示，结合BC=2AB=4，取特殊情况BC⊥AB，以B为坐标原点，以直线AB为x轴，直线BC为y轴建立平面直角坐标系xOy.

由题可知B（0，0），A（－2，0），C（0，4），可得D（0，2），E（－1，2）.

由于AB=BD=2，AF=BF，则知F（－1，1），

则AF=（1，1），BE=（－1，2），所以AF·BE=1×（－1）＋1×2=1，故选择答案B.

点评：根据平面几何图形的几何特征，选取特殊情况构建平面图形，可以给此类定值求解与判断问题创造更加简捷的技巧与方法.在此题中，结合两线段长度之间的比例关系，进而选取对应两直线垂直的情况，给平面向量中坐标法或基底法的应用创造条件.特殊情况的选取，往往是基于图形的变化规律以及结论所求为定值等情况来判断，选取特殊点、特殊位置、特殊图形等方式来特殊化处理.

3 变式拓展

教学中应抓住平面向量数量积的本质，从数量积的求值与最值等不同视角展开与应用，综合相应的技巧与方法来分析与应用，结合相应的变式问题来提升与拓展.

变式1 已知圆O：x2＋y2=3，P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，若|OP|=23，则PA·PB=""" .

解析：依题，|OA|=|OB|=r=3.

在Rt△PAO中，结合三角函数的定义可得sin∠APO=｜OA｜｜OP｜=323=12，则有∠APO=π6，故∠APB=2∠APO=π3.

由勾股定理得|AP|2=|OP|2－|OA|2=9，则|AP|=|BP|=3.

PA·PB=|PA||PB|cos∠APB=9×cosπ3=92，故答案为92.

变式2 ［2024年北京市通州区高三（上）期末数学试卷］在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是BC的中点，F是CD上一点（不与C、D重合），DE与AF交于G，则AG·DG的取值范围是（" ）.

A. 0，23

B. 0，43

C. （0，2）

D. （0，3）

解析：如图5所示，以点A为坐标原点，直线AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则A（0，0），B（2，0），C（3，3），D（1，3）.

由于E是BC的中点，可得E52，32.

F是CD上一点（不与C、D重合），设F（t，3），1lt;tlt;3.

直线AF的方程为y=3tx，直线DE的方程为y－3=32-352-1（x－1），即y=－33x＋433.

联立以上两条直线的方程，可得G4tt＋3，43t＋3.

AG·DG=4tt＋3，43t＋3·4tt＋3－1，43t＋3－3=12（t-1）2（t＋3）2，令s=t＋3∈（4，6），则有AG·DG=12（t-1）2（t＋3）2=12（s-4）2s2=121－4s2=12·4s－12，4s∈23，1，利用二次函数的图象与性质，可知AG·DG=124s－12∈0，43，故选择答案B.

4 教学启示

4.1 “数”“形”属性，多点展开

在实际求解平面向量数量积的求值与最值等综合问题时，往往需要借助平面向量“数”与“形”的双重属性，抓住数量积自身或“数”的属性应用，或“形”的几何特征，并结合不同的应用场景，选择行之有效的方法与解题策略来处理对应的平面向量数量积问题.

“数”与“形”的不同视角，使得平面向量数量积综合问题的求解与应用更加合理、有效、可行、正确、快捷，或“数”来代数运算，或“形”来直观想象，也可以实现“数”与“形”的紧密结合，有效实现知识与能力的有效融合.

4.2 常规特殊，多种思维

涉及平面向量这类具有一定平面图形特征的数学综合应用问题，可以借助“数”的基本属性方面进行代数运算，也可以从“形”的结构特征方面进行几何推理.

在实际解题时，可以抓住解决此类平面向量数量积综合问题的常规思维来思考，也可以抓住特殊思维来创新与求解.在不同思维应用过程中，通过不同思维下的代数法与几何法的应用，合理构建成一幅完美和谐统一的“画卷”，成为新高考数学试卷命题中的一个创新点与热点.