对一道数量积最值问题的探究

摘 要：数学解题与技巧研究是一个深层次的数学教学与学习过程，也是教学与学习中不断积累知识与经验、掌握技巧与方法的一个重要场所.本文结合一道数量积的最值问题，从不同思维视角切入与应用，并深入拓展与研究，提升思维与能力的高度与维度，引领并指导解题研究与复习备考.

关键词：三角形；单位圆；平面向量；数量积

平面向量数量积是平面向量模块知识中最为重要的一个基本知识点，也是近年高考试卷中比较常见的一个基本考点.此类平面向量数量积问题，经常以平面几何图形为背景，结合数量积的求值、最值（或取值范围）以及创新应用问题等形式来合理设置.熟练理解并掌握求解平面向量数量积的基本技巧与策略方法，就成为解决此类问题的重中之重，也是课堂教学与复习备考中的一个基本专题.

1 问题呈现

问题 已知A，B，C为单位圆上的三个动点，则AB·（AB+AC）的最小值为""" .

此题以单位圆为背景，结合单位圆上的三个动点及其对应内接三角形的确定，进而求解对应平面向量数量积的最值.

在实际解题过程中，可以综合平面向量内涵，从平面向量的坐标运算层面来进行代数运算与应用；也可以回归平面几何本质，从解三角形思维切入来分析与应用等.不同思维视角的切入，给问题的解决开拓更加广阔的空间与应用.

2 问题破解

2.1 代数思维

方法1：坐标法.

以BC的垂直平分线为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，设A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

则a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝（m－a，n－b）·（m－a，n－b）+（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝2+2n2－2am－4bn.

由柯西-施瓦茨不等式，可得am+2bn≤（a2+b2）（m2+4n2）＝1+3n2，当且仅当2an＝bm时等号成立，

则AB·（AB+AC）＝2+2n2－2am－4bn≥2+2n2－21+3n2.

构建函数f（n）＝2+2n2－21+3n2，n∈［－1，1］，此时函数f（n）是偶函数.

当n∈［0，1］时，求导可得f′（n）＝4n－6n1+3n2，令f′（n）＝0解得n＝156，所以当n∈0，156时，f′（n）lt;0，函数f（n）单调递减；当n∈156，1时，f′（n）gt;0，函数f（n）单调递增.同理可得，当n∈-1，-156时，f′（n）＜0，函数f（n）单调递减；当n∈-156，0时，f′（n）＞0，函数f（n）单调递增，所以f（n）min＝f156=f-156＝－16.

综上，AB·（AB+AC）最小值为－16，当且仅当n＝±156且2an＝bm时等号成立，故答案为－16.

点评：解决平面向量数量积问题，可以从平面向量的坐标公式层面来应用，合理构建相应的平面直角坐标系就成为解题的关键所在.借助平面直角坐标系的构建，把对应的数量积表示成坐标的关系式，结合代数运算，综合函数与方程、函数与导数以及不等式等知识的应用来确定对应的最值问题.

方法2：三角法.

如图2所示，以单位圆的圆心为坐标原点构建平面直角坐标系，取A（1，0），设B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB＝（cos α－1，sin α），AC＝（cos β－1，sin β），

则AB·（AB+AC）＝（cos α－1，sin α）·（cos α+cos β－2，sin α+sin β）＝（cos α－1）·（cos α+cos β－2）+sin α（sin α+sin β）

＝3+cos（α－β）－3cos α－cos β＝3（1－cos α）+［cos（α－β）－cos β］＝6sin 2α2－2sin α2sinα-2β2

≥6sin 2α2－2sin α2（当且仅当sinα-2β2＝1时等号成立）

＝6sinα2－162－16≥－16（当且仅当sinα2＝16时等号成立）.

综上，AB·（AB+AC）的最小值为－16，当且仅当sinα-2β2＝1且sinα2＝16时等号成立，故答案为－16.

点评：依托单位圆的本质，对于单位圆上的点的坐标可以借助三角换元法来设置，结合平面向量的数量积公式转化为对应的三角函数关系式问题，进而利用三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等来确定相应的最值.在三角换元及其三角恒等变换过程中，合理的变换与转化成为解决问题的关键.

2.2 几何思维

如图3所示，设△ABC的外心为O，过点C作AB的垂线，垂足为D，作OE//AB，交圆O于点E，过点A作OE的垂线，垂足为M，设CD交OE于点N

结合投影，可得AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝AB2+AB·AD

≥AB2－AB·AD（当且仅当点D在线段AB的延长线上时等号成立）

＝AB2－AB·MN≥AB2－AB·ME（当且仅当点N与点E重合时等号成立）

＝AB2－AB·（OE－OM）＝AB2－AB·（1－12AB）＝32AB2－AB＝32·AB－132－16≥－16，当且仅当AB＝13时等号成立.

综上，AB·（AB+AC）的最小值为－16，故答案为－16.

点评：回归平面向量中的平面几何“形”的结构特征，从几何图形的直观想象入手，结合平面向量的数量积的变形与转化，利用几何图形加以转化；结合向量投影的几何意义与应用来转化，实现问题的转化与求解.投影法是解决平面向量的数量积及其综合应用问题中比较常用的一种技巧方法，也是数形结合思想转化与应用的一种基本策略.

2.3 解三角形思维

设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合正弦定理有a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C.

由已知AB·（AB+AC）＝AB2+AB·AC＝c2+bccos A＝c2+bc·b2+c2-a22bc

＝32c2+12b2－12a2＝6sin 2C+2（sin2B－sin2A）＝6·sin 2C+2sin（B+A）sin（B－A）

＝6sin 2C－2sin C·sin（A－B）≥6sin 2C－2sin C＝6sin C－162－16≥－16，当且仅当sin（A－B）＝1且sin C＝16，即A－B＝π2且sin C＝16时等号成立.

综上，AB·（AB+AC）的最小值为－16，故答案为－16.

点评：回归平面向量中“形”的本质，从平面几何入手，借助解三角形思维来应用，有时可以给此类平面向量综合应用问题的解决创造更加良好的条件，使得问题的分析与处理更加简捷有效.解三角形的应用，最终也是转化为三角函数的关系式问题，利用三角恒等变换、三角函数的图象与性质来确定最值问题.

3 变式拓展

以单位圆为问题场景，结合不同平面向量的数量积关系式的构建，进而确定数量积的最值问题，实现不同方式的变式与应用.

变式1 已知A，B，C为单位圆上的三个动点，则AB·AC的最小值为""" .

方法1：坐标法.

以BC的垂直平分线为y轴建立如图1所示的平面直角坐标系，设A（a，b），B（m，n），C（－m，n），

则a2+b2＝1，m2+n2＝1.

由已知AB·AC＝（m－a，n－b）·（－m－a，n－b）＝a2－m2+n2－2bn+b2＝2n2－2bn＝2·（n－12b）2－12b2，则当n＝12b时，AB·AC＝2·（n－12b）2－12b2取得最小值，为－12b2.

b∈［－1，1］，故当b＝±1时，－12b2取得最小值为－12，此时n＝±12，满足要求，故答案为－12.

方法2：三角法.

如图2所示，以单位圆的圆心为坐标原点构建平面直角坐标系，取A（1，0），设B（cos α，sin α），C（cos β，sin β），其中α，β∈［0，2π）.

由已知AB·AC＝（cos α－1，sin α）·（cos β－1，sin β）＝cos αcos β－（cos α+cos β）+1+sin α·sin β

＝cos（α－β）－（cos α+cos β）+1＝cos（α－β）－2cosα+β2cosα-β2+1

≥cos（α－β）－2cosα-β2+1（当且仅当cosα+β2＝1时等号成立）

＝2·cos2α-β2－1－2cosα-β2+1＝2cos2α-β2－2cosα-β2＝2cosα-β2－122－12≥－12（当且仅当cosα-β2＝12时等号成立）.

综上，AB·AC的最小值为－12，当且仅当cosα+β2＝1且cosα-β2＝12时等号成立，故答案为－12.

变式2 已知△ABC的外接圆半径为1，则AB·BC的最大值为""" .

解析：由已知AB·BC＝（OB－OA）·BC＝OB·BC－OA·BC＝－12|BC|2－|BC|·cos α≤－12·|BC|2+|BC|，其中角α为OA与BC的夹角，如图4所示，当且仅当OA与BC的方向相反，即cos α＝－1时等号成立.

－12|BC|2+|BC|＝－12（|BC|－1）2+12≤12，当且仅当|BC|＝1时等号成立.

综上，AB·BC的最大值为12，当且仅当|BC|＝1且OA与BC的方向相反时等号成立，故填答案12.

4 教学启示

在实际求解平面向量数量积的综合应用问题时，特别是数量积的求值、最值、取值范围以及创新应用等问题时，往往离不开平面向量自身“数”与“形”的双重属性.在具体解题过程中，学生可以抓住数量积自身“数”的属性应用，应借助代数思维来分析与数学运算；抓住数量自身“形”的几何特征，借助几何思维来应用与直观分析等.

解决平面向量的数量积问题，应借助“数”与“形”的不同视角，结合不同的应用场景，选择行之有效的方法与解题策略来分析与处理.抓住问题的本质与内涵，或“数”来代数运算，或“形”来直观想象，实现“数”与“形”的紧密结合，使得平面向量数量积综合问题的求解与应用更加合理、有效、可行、正确、快捷.