圆锥曲线中一个与面积、斜率有关的定值结论

摘" 要：针对一道与椭圆中面积、斜率都有关的定值问题，首先对题目背景进行探究，得到椭圆中的结论，接着探究了逆命题并把结论类比到双曲线中，并提炼出椭圆与双曲线的统一充要条件结论，最后在抛物线中也得到相关结论.探究推广所得试题模型及结论简洁、对称、适用.

关键词：圆锥曲线；定值；定点

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0013-04

收稿日期：2024-05-05

作者简介：晏炳刚（1983.12—），男，硕士，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

圆锥曲线试题的运动模型中，点、线、角度、斜率、距离、面积等会跟着联动.运动过程中几何特征或数值的不变性是值得思考和关注的［1］.斜率、距离、面积等自己与自己或者互相之间的加减乘除混合运算式子的值的不变性也值得关注 ［2-3］.与之相关的高考题也有出现 ［4］.2023年2月连云港南通联考是与面积和斜率有关的混合运算式子为定值的题型.本文首先对题目背景进行探究，得到椭圆中的结论，接着探究了逆命题并把结论类比到双曲线中，提炼出椭圆与双曲线的统一充要条件结论，最后在抛物线中也得到相关结论.探究推广所得试题模型与结论简洁、对称、适用.

1" 题目与思考

题目" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为12，A，B，O分别是椭圆的左、右顶点和坐标原点，点P是椭圆C上异于A，B的动点，△PAB面积最大值为23.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线n：x=4的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，求证：S|k1-k2|为定值.

第（1）问的答案：x24+y23=1.第（2）问的答案：32.

思考" 题干中F为焦点，直线n为对应准线，有混合运算式子的定值结论.在此不难思考以下问题：

（1）若点F为x轴上任一点，直线n为对应极线，是否仍有定值结论？

（2）若点F为y轴上任一点，直线n为对应极线，是否仍有定值，若有定值，定值式子会有什么变化？

（3）双曲线和抛物线有相应结论吗？

本文带着问题，对题目作了探究，有如下结论.

2" 题目探究

结论1" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过x轴上的点T（t，0）（t≠0，t≠±a）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有S|k1-k2|=|a2-t2|2.

证明" 由题知，直线斜率必不为0，设直线l方程为x=my+t，与椭圆x2a2+y2b2=1联立，得

（m2b2+a2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0.

由题△gt;0，设D（x1，y1），E（x2，y2），有

y1+y2=-2tmb2b2m2+a2，

y1y2=b2t2-a2b2b2m2+a2.

由题可知三角形面积为

S=12|t|·|y1-y2|.

DE的中点G坐标为G（ta2b2m2+a2，-tmb2b2m2+a2），

垂足为点N（a2t，-tmb2b2m2+a2）.

斜率差的绝对值计算如下：

|k1-k2|=|y1+tmb2/（b2m2+a2）x1-a2/t-

y2+tmb2/（b2m2+a2）x2-a2/t|

=|［t3m2b2/（b2m2+a2）-（t3-a2t）］（y2-y1）t2m2y1y2+tm（t2-a2）（y1+y2）+（t2-a2）2|

=|ta2-t2（y2-y1）|，

所以S|k1-k2|=|t||y1-y2|/2|t（y2-y1）/（a2-t2）|

=|a2-t2|2.

命题成立.

本文例题背景为结论1的特殊情况，即T为焦点，线为准线，即是下面的推论.

推论1" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过右焦点F（c，0）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2c的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有S|k1-k2|=b22.

当点T为y轴上的点，直线n为对应极线，也有定值，结论如下.

结论2" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过y轴上的点T（0，t）（t≠0，t≠±b）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线y=b2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

证明" 由题知，直线斜率必不为0，设直线l方程为y=kx+t，与椭圆x2a2+y2b2=1联立，得

（a2k2+b2）x2+2tka2x+a2t2-a2b2=0.

由题△gt;0，设D（x1，y1），E（x2，y2），有

x1+x2=-2tka2a2k2+b2，

x1x2=a2t2-a2b2a2k2+b2.

由题可知面积为

S=12|t|·|x1-x2|，

DE的中点G坐标为G（-tka2a2k2+b2，tb2a2k2+b2），

垂足为点N（-tka2a2k2+b2，b2t）.

|1k1-1k2|的值计算如下：

|1k1-1k2|=|x1-（-tka2）/（a2k2+b2）y1-b2/t-

x2-（-tka2）/（a2k2+b2）y2-b2/t|

=|［t3k2a2/（a2k2+b2）-（t3-b2t）］（x2-x1）t2k2x1x2+tk（t2-b2）（x1+x2）+（t2-b2）2|

=|tb2-t2（x2-x1）|，

所以

S|1/k1-1/k2=|t||x1-x2|/2|t（x2-x1）/（b2-t2）|

=|b2-t2|2

命题成立.

对比结论1与2，定点T位置由x轴变到y轴，定值式子中的斜率变为倒数，定值仍然相同.结论1、2不失为一组优美对称的结论.

3" 逆向探索

结论1、2即推论1的逆命题是成立的，因此可得如下的定值定点充要条件.

结论3" 已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆C，过x轴上的点T的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要条件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

推论2" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），过右焦点F（c，0）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2c的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有F坐标为（c，0）的充要条件是S|k1-k2|=b22.

结论4" 已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆C，过y轴上的点T的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线y=b2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要条件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

4" 类比推广

基于椭圆与双曲线知识体系的统一性，椭圆置换为双曲线后得如下结论.

结论5" 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，过x轴上的点T（t，0）（t≠0，t≠±a）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要条件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

结论6" 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，过y轴上的点T（0，t）（t≠0，t≠±b）的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线y=b2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要条件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

观察结论3～6，得椭圆与双曲线的统一结论为：

结论7" 已知中心在原点，焦点在x轴的双曲线或椭圆C，过x轴上的点T的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线x=a2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（t，0）（t≠0，t≠±a）的充要条件是S|k1-k2|=|a2-t2|2.

结论8" 已知中心在原点，焦点在x轴的双曲线或椭圆C，过y轴上的点T的直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作直线y=b2t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则有T坐标为T（0，t）（t≠0，t≠±b）的充要条件是S|1/k1-1/k2|=|b2-t2|2.

由结论7、8知：统一结论更为简洁、对称、适用.

在抛物线中，也有类似结论如下：

结论9" 已知抛物线C：y2=2px，直线l与C交于D，E两点，记△ODE的面积为S，过线段DE中点G作x=-t的垂线，垂足为点N，设直线DN，EN的斜率分别为k1，k2，则S|k1-k2|=t2的充要条件是直线l过定点T（t，0）.

证明" 必要性.由题知直线斜率必不为0，设过点T的直线为x=my+t，与y2=2px联立有

y2+2pmy-2pt=0.

设D（x1，y1），E（x2，y2）有

y1+y2=2pm，y1y2=-2pt.

由题可知面积为

S=12|t|·|y1-y2|，

DE的中点G坐标为G（pm2+t，pm），

垂足为点N（-t，pm2+t）.

斜率差的绝对值计算如下：

|k1-k2|=|y1-pmx1+t-y2-pmx2+t|

=|（pm2+2t）（y1-y2）m2y1y2+2mt（y1+y2）+4t2|

=|（pm2+2t）（y1-y2）m2（-2pt）+2mt（2pm）+4t2|

=|12t（y1-y2）|.

所以S|k1-k2|=|t|·|y1-y2|/2|（y2-y1）/（2t）|=t2.

结论成立.

充分性证明略.

5" 结束语

推广是数学研究中极重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广［5］.解析几何中的定值定点问题是高考命题的重要素材，而考试题目是深刻背景的外在表现.思考和探究定值定点问题的背景、推广背后的结论有利于把握本质，升华思维.解析几何的解题教学，教师不能只作简单的解答分析与过程表述，更应深层次对试题的命题背景作思考，思考一般化结论，并就结论的特殊与一般、类比与推广作探究.只有如此，才能有效培养学生更高的数学学科素养和关键能力 ［6］.

参考文献：

［1］

晏炳刚，刘燕.圆锥曲线中一类斜率乘积为定值、动点轨迹为圆的优美性质［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2024（05）：34-36.

［2］ 高继浩.对一道系数和为定值试题的探究［J］.数理化解题研究，2022（28）：19-22.

［3］ 胡芳举.椭圆内接三角形的几个斜率定值［J］.中学数学研究，2023（11）：40-41.

［4］ 王寅，李兆庆，陶闺秀.新旧课标下高考圆锥曲线定点定值问题探究：以近5年全国卷试题为例［J］.数学教学研究，2022，41（06）：60-64.

［5］ 朱华伟，张景中.论推广［J］.数学通报，2005（04）：55-57，28.

［6］ 晏炳刚.一道椭圆检测题的解答、探究和推广［J］.数理化解题研究，2024（10）：29-33.

［责任编辑：李" 璟］