例谈二次曲线系方程解圆锥曲线问题

摘" 要：圆锥曲线中经常出现定点、定值和定直线问题，常规方法计算量很大，如果利用二次曲线系方程解决此类问题，则可以减少运算量，简化解题过程，提高正确率.

关键词：圆锥曲线；定点；定值和定直线；二次曲线系

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0070-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：叶显斌（1973.10—），男，湖北省孝感人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

在多次解题实践中发现，圆锥曲线中涉及两条或两条以上直线相交等问题，都可以利用曲线系方程完成，深入理解曲线系方程的本质，发现这类问题核心就是一个对比系数的问题.

1" 理论知识

结论1" 若直线li：Aix+Biy+Ci=0，（i=1，2，3，4）与曲线C：f（x，y）=0有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λ（A3x+B3y+C3）（A4x+B4y+C4）=μf（x，y），其中λ，μ为参数.

结论2" 若直线li：Aix+Biy+Ci=0（i=1，2，3）与曲线C：f（x，y）=0有三个不同的交点，其中l1与l2相交于点A，曲线C在点A处的切线方程为f1（x，y）=0，则过这三个交点的曲线系方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）+λf1（x，y）（A4x+B4y+C4）=μf（x，y），其中λ，μ为参数.

2" 解题实践

例1" （2023年全国乙卷理第20题）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为53，点A（-2，0）在C上.

（1） 求C的方程;

（2） 过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N.证明：线段MN的中点为定点.

解析" （1）椭圆C的方程为y29+x24=1.

为了方便叙述，本文约定：lAM：A1x+B1y+C1=0表示直线AM的方程，lA：A2x+B2y+C2=0表示曲线C在点A处的切线方程.

（2）如图1，设lAM：k1x-y+2k1=0，lAN：k2x-y+2k2=0，lA：x+2=0，lPQ：kx-y+3+2k=0，则M（0，2k1），N（0，2k2），线段MN的中点坐标为（0，k1+k2）.

图1" 例1解析图

设过三点A，P，Q的曲线系方程为

（k1x-y+2k1）（k2x-y+2k2）+λ（x+2）（kx-y+3+2k）=μ（y29+x24-1），

对比系数可得：

x2项：k1k2+λk=μ4，①

常数项：4k1k2+2λ（3+2k）=-μ，②

xy项：-k1-k2-λ=0，③

y2项：1=μ9.④

由①②可得μ=-3λ.

又由④可得μ=9，所以λ=-3.

代入，得 k1+k2=3.

所以线段MN的中点为定点（0，3）［1］.

例2" （2023年新高考Ⅱ卷第21题） 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-25，0），离心率为5.

（1）求C的方程;

（2）如图2，记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点

（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，点M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

解析" （1）双曲线C的方程为x24-y216=1.

（2）如图2，设lMN：k1x-y+4k1=0，lMA1：k2x-y+2k2=0，lA1A2：y=0，lA2N：k3x-y-2k3=0，

图2" 例2解析图

由k2x-y+2k2=0，k3x-y-2k3=0，解得xp=2（k2+k3）k3-k2.

设过M，A1，A2，N四点的曲线系方程为

（k2x-y+2k2）（k3x-y-2k3）+λy（k1x-y+4k1）=μ（x24-y216-1）.

对比系数可得

xy项：-k2-k3+λk1=0，得λk1=k3+k2，

y项：2k3-2k2+4λk1=0，得2λk1=k2-k3.

所以2（k3+k2）=k2-k3.

所以xP=2（k2+k3）k3-k2=-1［2］.

即点P在定直线上.

例3" （2020年山东卷第22题）如图3，已知椭圆C：x2a2+

y2b2=1（agt;bgt;0）的离心率为22，且过点A（2，1）." 图3" 例3解析图

（1） 求C的方程;

（2） 点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，点D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.

解析" （1）椭圆C的方程为x26+y23=1.

（2）

设lAM：k1x-y+1-2k1=0，lAN：k2x-y+1-2k2=0，lA：x+y-3=0，lMN：kx-y+m=0，且k1k2=-1，设过A，M，N三点的曲线系方程为

（k1x-y+1-2k1）（k2x-y+1-2k2）+λ（x+y-3）（kx-y+m）=μ（x26+y23-1）.

对比系数可得

y2项：1-λ=μ3，得μ=3-3λ ，⑤

xy项：-k1-k2+λ（-1+k）=0，得

k1+k2=λ（k-1），⑥

常数项：（1-2k1）（1-2k2）-3λm=-μ，得

-3-2（k1+k2）-3λm=-μ. ⑦

由⑥⑦可得-2（k1+k2）=3λ（m+1）.

代入⑥式可得m=-33k-13.

所以直线MN的方程为

y=k（x-23）-13.

所以直线MN过定点（23，-13）.

后面解答略.

例4" （2022年新高考Ⅰ卷第21题）已知点A（2，1）在双曲线C：x2a2-y2a2-1=1（agt;1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为 0 ，求l的斜率.

解析" 易得双曲线C的方程为x22-y2=1.

图4" 例4解析图

如图4，设lPQ：kx-y+m=0，lAP：k1x-y+1-2k1=0，lA：x-y-1=0，lAQ：-k1x-y+1+2k1=0，

设过A，P，Q三点的曲线系方程为

（k1x-y+1-2k1）（-k1x-y+1+2k1）+λ（x-y-1）（kx-y+m）=μ（x22-y2-1），

对比系数可得

xy项：-k1+k1+λ（-1-k）=0，得k=-1.

所以直线l的斜率为-1.

例5" （2020年北京卷第20题）如图5，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（-2，-1），且a=2b.图5" 例5题图

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点B（-4，0）的直线l交椭圆C于M，N两点，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q，求|PB||BQ|的值.

解析" "（1）椭圆C的方程为x28+y22=1.

（2）

设lMN：k1x-y+4k1=0，lAN：k2x-y-1+2k2=0，lA：x+2y+4=0，lAM：k3x-y-1+2k3=0，

则yQ=-1-2k2，yP=-1-2k3.

设过A，M，N三点的曲线系方程为

（k2x-y-1+2k2）（k3x-y-1+2k3）+λ（x+2y+4）（k1x-y+4k1）=μ（x28+y22-1）.

对比系数可得

xy项：-k2-k3+λ（2k1-1）=0，得

λ（2k1-1）=k2+k3，

y项：1-2k3+1-2k2+λ（8k1-4）=0，得

2λ（2k1-1）=k2+k3-1.

所以2（k2+k3）=k2+k3-1.

所以k2+k3=-1.

则yQ=-1-2k2=-1-2（-k3-1）=2k3+1.

所以|PB||BQ|=yPyQ=|-1-2k3||1+2k3|=1.

3" 结束语

通过解题实践可以发现，对于圆锥曲线上的三条或者四条直线的相交问题，基本都可以考虑用二次曲线系方程来解答，主要是简化了运算，也突破了学生心理上“难算”的障碍，增强了拿下解析几何这道解答题的信心.

参考文献：

［1］

魏德果.再谈曲线系方程解圆锥曲线问题［J］.高中数理化，2023（21）：1-3.

［2］ 李鸿昌.二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用［J］.数理化解题研究，2022（07）：92-94.

［责任编辑：李" 璟］