随机变量之和期望公式的证明及其应用

摘" 要：用函数法严谨证明了2023年高考数学新课标Ⅰ卷第21题中的两点分布之和的期望公式，并进行了推广，最后给出了所得结论的一些应用.

关键词：2023年高考；两点分布；期望；公式证明

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）22-0054-03

收稿日期：2024-05-05

作者简介：吴金连（1979.10—），女，福建省龙岩人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

随着现代社会的发展和进步，概率统计在科学研究和社会生活中扮演着越来越重要的角色.因此，近年来的高考数学试题中，加大了对概率统计这一内容的考查，且考查的形式新颖、情境多变，具有一定的创新性.

1" 试题呈现及解答

问题1" （2023年高考数学新课标Ⅰ卷第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第i次投篮的人是甲的概率；

（2）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi（i=1，2，…，n），则

E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.

解析" （1）设第i次投篮的人是甲的概率为pi，则p1=12.可建立递推公式pi=35pi-1+15（1-pi-1），i≥2，故pi-13=25（pi-1-13）.

即pi-13是首项为16，公比为25的等比数列.

所以pi=13+16×（25）i-1.

（2）设随机变量Xi=1，第i次的投篮人是甲，0，第i次的投篮人是乙，

i=1，2，…，n，则Xi服从两点分布，P（Xi=1）=pi=13+16×（25）i-1，且Y=∑ni=1Xi.于是，根据性质1，得

E（Y）=∑ni=113+16×（25）i-1=n3+518×1-（25）n.

2" 随机变量之和期望公式的证明

解决问题1之后，我们进一步追问：问题1中给出了两点分布之和的期望公式能否用高中知识证明呢？笔者查阅资料，发现文献［1］和人教A版《普通高中课程标准选修课程用书》“概率与统计”第26页已经给出了证明，但证明方法较为抽象，不易理解，本文介绍一种更加通俗易懂的证明［1］.

性质1" 若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，则

E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.

分析" 设Xi满足性质1中的条件，令X=∑ni=1Xi.先考虑n=2的情形.此时，易知

P（X=0）=（1-q1）（1-q2）=1-q1-q2+q1q2，

P（X=1）=q1（1-q2）+（1-q1）q2=q1+q2-2q1q2，

P（X=2）=q1q2.

从而E（X）=0×（1-q1-q2+q1q2）+1×

（q1+q2-2q1q2）+2×q1q2=q1+q2.

即n=2时性质1成立.

当n=3时，

P（X=0）=（1-q1）（1-q2）（1-q3）

=1-q1-q2-q3+q1q2+q1q3+q2q3-q1q2q3，

P（X=1）=q1（1-q2）（1-q3）+（1-q1）q2（1-q3）+（1-q1）（1-q2）q3

=q1+q2+q3-2（q1q2+q1q3+q2q3）+3q1q2q3，

P（X=2）=q1q2（1-q3）+q1（1-q2）q3+（1-q1）q2q3=q1q2+q1q3+q2q3-3q1q2q3，

P（X=3）=q1q2q3.

从而

E（X）=0×（1-q1-q2-q3+q1q2+q1q3+q2q3-q1q2q3）+1×［q1+q2+q3-2（q1q2+q1q3+q2q3）+3q1q2q3］+2×（q1q2+q1q3+q2q3-3q1q2q3）+3×q1q2q3=q1+q2+q3.

因此，n=3时性质1成立.下面证明一般情形.

易知P（X=k）=∑qi1…qik（1-qj1）…（1-qjn-k），

其中，i1，…，ik，j1，…，jn-k为1，2，…，n的某一排列，k=0，1，2，…，n.故

E（X）=∑nk=0kP（X=k）

=∑nk=0k∑qi1…qik（1-qj1）…（1-qjn-k）.

对于一般情形，上式较难化简.下面使用函数方法进行化简.

令f（x）=（1-q1）+q1x（1-q2）+q2x…（1-qn）+qnx，易知f（x）是一元n次多项式，注意到P（X=k）为f（x）的展开式中xk的系数，即f（x）=∑nk=0P（X=k）xk.

从而f ′（x）=∑nk=1kP（X=k）xk-1.

因此E（X）=∑nk=1kP（X=k）=f ′（1）.

另一方面，对f（x）求导，得

f ′（x）=q1［（1-q2）+q2x］［（1-q3）+q3x］…［（1-qn）+qnx］+q2［（1-q1）+q1x］［（1-q3）+q3x］…［（1-qn）+qnx］+…+qk［（1-q1）+q1x］·［（1-q2）+q2x］…［（1-qk-1）+qk-1x］［（1-qk+1）+qk+1x］…［（1-qn）+qnx］+…+qn［（1-q1）+q1x］［（1-q2）+q2x］…［（1-qn-1）+qn-1x］

=∑nk=1qk［（1-q1）+q1x］［（1-q2）+q2x］…［（1-qn）+qnx］［（1-qk）+qkx］

=f（x）∑nk=1qk［（1-qk）+qkx］.

故f ′（1）=f（1）∑nk=1qk（1-qk）+qk×1=∑nk=1qk.

因此，性质1成立.

性质1简洁优美，符合直觉，且有着广泛的应用.例如，它可以用来求二项分布的数学期望，过程如下：

设n重伯努利实验中，每次实验事件A发生的概率为p.用X表示事件A发生的次数，则X服从二项分布.设Xi=1，第i次试验中事件A发生，0，第i次试验中事件A未发生，i=1，2，…，n，则Xi服从两点分布，P（Xi=1）=p，且X=∑ni=1Xi.于是，根据性质1得E（X）=np.

可以看到，以上推导二项分布期望公式的方法比现行高中教材（如2019年人教A版选择性必修三第76页）的推导方法更简洁.

本文的证明方法称为生成函数（母函数）方法，是组合数学中的一种重要方法，常用于解决复杂的计数问题.

事实上，性质1对任意随机变量都成立，也就是说，有以下结论.

性质2" 已知随机变量Xi，i=1，2，…，n，则E（∑ni=1Xi）=∑ni=1E（Xi）.

以上结论的详细证明可见大学概率论教材，或见人教A版《普通高中课程标准选修课程用书》“概率与统计”第26页定理1.

当随机变量Xi的取值为非负整数时，性质2也可以用函数法证明.根据数学归纳法，只需证明n=2的情形即可.设随机变量X1可能的取值为0，1，2，…，s，随机变量X2可能的取值为0，1，2，…，t，其中，s，t为非负整数.易知P（X1+X2=k）=∑ki=0P（X1=i）P（X2=k-i），0≤k≤s+t（当igt;s时，规定P（X1=i）=0，X2也按类似的规定），从而

E（X1+X2）=∑s+tk=0kP（X1+X2=k）

=∑s+tk=0k［∑ki=0P（X1=i）P（X2=k-i）］.

令g（x）=∑si=0P（X1=i）xi∑tj=0P（X2=j）xj，则P（X1+X2=k）为g（x）的展开式中xk的系数，即g（x）=∑s+tk=0P（X1+X2=k）xk.

从而g′（x）=∑s+tk=1kP（X1+X2=k）xk-1.

故E（X1+X2）=g′（1）.

对g（x）求导，得

g′（x）=∑si=1iP（X1=i）xi-1∑tj=0P（X2=j）xj+∑si=0P（X1=i）xi∑tj=1jP（X2=j）xj-1.

故

g′（1）=［∑si=1iP（X1=i）］［∑tj=0P（X2=j）］+［∑si=0P（X1=i）］［∑tj=1jP（X2=j）］

=E（X1）+E（X2）.

故当随机变量Xi的取值为非负整数时，性质2成立.

当随机变量Xi的取值为非负有理数时，根据E（aX）=aE（X）可证此时性质2也成立.

3" 性质应用

问题2" 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.

（1）求i次传球后球在甲手中的概率；

（2）记前n次（即从第1次到第n次传球）传球中，球在甲手中的次数为Y，求E（Y）.

解析" （1）设i次传球后球在甲手中的概率pi，则p1=0.可建立递推公式pi=0×pi-1+12（1-pi-1），i≥2，故pi-13=-12（pi-1-13）.

即pi-13是首项为-13，公比为-12的等比数列.

因此pi-13=-13×（-12）i-1.

即pi=13-13×（-12）i-1=13［1-（-12）i-1］.

（2）设随机变量

Xi=1，第i次传球后球在甲手中，0，第i次传球后球不在甲手中，i=1，2，…，n，则Xi服从两点分布，P（Xi=1）=pi=13［1-（-12）i-1］，且Y=∑ni=1Xi.

于是，根据性质1，得

E（Y）=∑ni=1131-（-12）i-1

=n3-29×1-（-12）n.

4" 结束语

本文给出了两点分布之和的期望公式的严谨证明，这一公式不是课本中的内容，但对解决一些复杂的期望计算问题很有帮助.我们作为教师应掌握这一公式，而不是仅仅局限于课本的内容.另外，对于水平较高的学生，可以向他们介绍这一公式的证明和应用，对于拓宽学生的数学视野很有帮助.

参考文献：

［1］

黄嵩涛，胡典顺，程汉波，魏李银.为什么和的期望等于期望的和［J］.数学通讯（上半月），2023（12）：26-27，60.

［责任编辑：李" 璟］