整体视角下初高中函数概念衔接教学微探

一、问题的提出

函数无疑是中学数学的一个难点。学生在八年级上学期初学函数时会遇到各种各样的困难，特别是难以理解函数概念，难以从“形”中获取“数”等。显然，函数概念的建立无疑是八年级数学的最大教学难点。当学生遇到难处或出现错误时，教师常常通过收集错误、归类分析、变式训练、反复讲解等方式“亡羊补牢”，但效果不佳。许多教师忽视了建立函数概念是一个“螺旋式上升”的过程，即没有从整体视角去帮助学生建立函数概念。实际上，函数概念蕴含在小学和初中的教材中。因此，整体建构函数概念，将函数概念的教学贯穿于初中三年的教学中，甚至与高中接轨，可以较好地帮助学生顺利建立函数概念，而且能很好地突出函数本质。

二、函数概念的整体建构

整体建构，要求教师善于整体把握教学内容，引导并帮助学生学会用整体的观念自主完善认知结构，其核心是促进学生的思维发展，使学生的思维由浅表走向深入，从感性转向理性，由低阶迈向高阶，从无序走向有序。为此，对函数概念的整体建构就要求教师站在整个中学数学体系的高度，准确把握“函数”的知识结构，在整体观的指导下分解函数的教学目标，明确每个阶段做什么、怎么做、能做到什么程度。

现有研究成果表明，学生建构函数概念需要经历六个认知层次，分别是认识变量、突出关系、区别函数与算式、掌握“对应”、把握形式化描述、形成函数对象。当前苏科版教材在七年级就多次渗透函数（第一次是“代数式的值”），再从八（上）初遇函数概念到中考，至少又安排5次函数内容，分别是函数概念起始课、反比例函数、二次函数、三角函数、中考函数专题复习。将这些内容对应起来，笔者认为渗透的教学任务应当是认识简单实例中的数量关系和变化规律，认识变量，并在此基础上初步体会变量之间的相互关系。函数概念第1课时的教学任务是体会变量之间的相互关系并抽象出函数概念，从第２课时开始到其后4次具体函数的学习，则是在进一步体会变量之间关系的基础上，让学生学会用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（主要从“数”与“形”两个方面），并且努力促成不同表示方法之间的实质性联系（数形结合）。在中考复习的时候，有必要跳出具体对象带来的认知局限，从更一般的高度概括函数概念。基于这样对函数概念的整体认识，笔者探索出整体建构函数概念的教学体系，即初中阶段适当渗透、有效实施、有机深化三个层次，以较好地帮助学生建立函数概念。

1. 基于学情，适当渗透

七年级教材中存在很多渗透函数概念的教学点。在“代数式的值”“一元一次方程”“二元一次方程组”“一元一次不等式”等教学点中巧妙而适当地渗透“函数”，不仅能为突破“函数概念”这一学习难点做准备，而且能使学生的思维由浅表走向深入，从感性转向理性。

如在“代数式的值”中适时渗透函数。苏科版数学教材通过“用火柴棒按一定的方式搭小鱼”引入代数式的值的概念，教师可以这样引导学生初步感受变量和函数概念：“火柴棒的根数随着小鱼条数的变化而变化，只要知道小鱼的条数，就能确定火柴棒的根数吗？小鱼条数分别为1、2、3、4、5条时，火柴棒分别有几根？”“要知道搭100、1000条小鱼用的火柴棒根数，仅靠数数是不行的，如何表示其中的变化规律呢？”此时想到，搭n条小鱼，用的火柴棒的根数为8+6（n-1），只要用具体的数字代替字母n，就能计算出搭不同条数小鱼所需火柴棒的根数了，即8+6（n-1）表示小鱼条数和火柴棒根数之间的变化规律。如果给定小鱼条数n的值，那么火柴棒根数8+6（n-1）的值也就唯一确定了。

这样，不仅得到代数式的值的概念，而且渗透了变量和函数概念，同时让学生明确了在求代数式的值时必须有条件“当……时”。接着让学生按程序填表（表略），感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法，当具体输入字母x的值时，就能输出唯一确定的结果；一个代数式表示一种变化规律，代数式的值随字母值的变化而变化，当给定字母的一个值时，代数式都有唯一确定的值与之对应。随后讨论：（1）随着x值的增大，代数式的值怎样变化？你能用一种适当的统计图来描述这种变化趋势吗？（2）x取何值时，代数式2x-1和x2的值相等？（3）随着x值的增大，代数式2x-1和x2中，哪个代数式的值先超过100？为什么？还有什么方法能知道这个结果？（4）当x非常大时，代数式[2x-1x2]的值接近什么数？

在这样的过程中，不仅适当地渗透了函数概念中的三要素“某个变化过程”“两个变量”“单值对应”，而且渗透了函数图象及其变化趋势。无疑，学生的思维由浅表走向深入，由低阶迈向高阶。我们还可以在“用一元一次方程解决实际问题”“二元一次方程（组）”中渗透函数概念，限于篇幅，这里不再赘述。这样的适时渗透，关键在于教师能真正理清前后知识之间的联系，在尊重学生认知基础的前提下，从整体的视角，用发展的观点，把学生的“最近发展区”向深处拓展，不仅给学生“树木”，还给予学生一片函数“森林”的影子。

2. 关注起点，有效实施

有了前面大量对函数概念的渗透，函数起始课中对函数概念的教学不再高不可攀。教师可以从三个层面有效实施，进一步使学生的思维完成由“静”到“动”的转换，使学生进一步感受变量之间的依存关系，充分认识事物之间的普遍联系与相互作用，从而抽象概括出函数概念。

第一层，通过实例，引导学生分析探索熟知的实际问题中的数量关系和变化规律，自主构建常量和变量的概念，并通过行程问题的两个方面（一是匀速运动时，路程和时间是变量；二是路程不变时，速度和时间是变量），领悟“常量不常”的意思，同时渗透函数“在某个变化过程中，两个变量单值对应”的实质，为概括函数定义奠定基础。

第二层，通过三个不同背景（分别是表达式、表格和图象三种不同的表示形式）的实际问题，抓住函数三要素，引导学生形成对函数较全面的认识，为学习三种函数的表示形式进行必要的准备。

第三层，通过师生从正反两方面举例，引导学生分析研究实际问题中的变量之间是否存在函数关系，突出函数概念中的三要素，拓展函数概念的外延，深化对函数本质的认识。同时引导学生在从文字、表格、图象中获取信息的过程中，发展观察、比较、分析、归纳和概括等能力。这样，学生对函数本质的认识就从感性转向理性，从无序走向有序。

3. 抓牢本质，有机深化

有了前面对“函数概念”的适当渗透、有效实施，并不代表学生对函数概念实质有了深刻的认识。教师应在后续相关知识的教学中深化函数概念，帮助学生对函数的认识真正逐步走向深刻。

在“函数”这一节中，“函数的图象”是函数概念之后的一节内容。但在实际教学中，教师常常忽视，仅仅把重点放在读图、识图上。读图、识图固然重要，但经历画图的过程同样重要，同样可以强化函数三要素，而且能为研究一次函数的图象和性质做好知识和思维上的准备。为此，在教授“函数的图象”这一内容时，教师可以通过以下三个步骤较好地深化函数概念，帮助学生加深对函数概念的理解：

（1）由某地冬季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图（或其他实例），揭示气温Ｔ与时间t之间的函数关系，强化函数概念，由此得出“函数的图象”的概念；在此基础上用描点法画出函数y=x2 的图象（并总结画函数图象的基本步骤），直观感受函数图象表示的变量之间单值对应关系，进一步深化函数概念。

（2）让学生充分经历读图、识图的过程，不仅加强学生对“函数的图象”意义的了解，而且使学生进一步认识到函数图象可以直观形象地反映函数的变化趋势，对函数进行更深入的理解。

（3）再次让学生用描点法画出函数图象（如画y=[2x]的图象）。与第一步不同的是不能让学生直接列表、描点、连线，而是要求其分别就表达式、表格，猜想并逐步验证函数的图象，最后描点连线，感受图象是刻画变量的变化规律和变化趋势的重要表示方法。这样学生用数形结合解决问题的能力也得到提升，对函数的理解更加深刻。

在后续“一次函数”“反比例函数”和“二次函数”的教学中，很多教师急功近利，为了以最快的速度得到各种函数模型，往往忽视对函数概念的深化。实际上在这三个函数模型建立之前，可以先让学生判断实例中的一个变量是否为另一个变量的函数并追问原因，以此做好新函数的学习铺垫，同时进一步深化对函数内涵的理解和掌握。另外，在探究这些函数图象时，不能采用传统的方法，而是要先分析“式”，得到“数”（自变量和函数的取值范围），并预测“形”（图象的特点）；再用“数”（即表格中的数据，列表时要考虑表中数据的取值及其原因）验证前面的猜想来预测“形”；最后用传统的方法得出结论。这种研究方法把重点放在强化“数形结合”思想上，便于学生在“式、数、形”之间不断切换，感悟“数形统一”。

“锐角三角函数”被很多初中教师排除在“函数”之外。用函数的视角学习与审视“锐角三角函数”，不仅能深化对函数概念的理解，而且能让学生从整体上建构“锐角三角函数”的概念。为此，教师可以在教学中通过创设情境让学生感受：在直角三角形中，当某个锐角大小不变时，直角三角形的三边可以变，但是任意两边之比却不变，这些比值随着该锐角大小的变化而变化。在此基础上引导学生理解：在Rt[△]ABC中（∠C=90°），[ac]、[bc]、[ab]、[ba]是∠A的函数，并自主建构锐角三角函数的定义。后续在“函数”的相关复习中，教师可以以实际问题或综合题为背景，强化学生对函数本质的理解。

4. 站在高位，立足素养

高中“函数的概念”是一节关于函数的概念课。在学生已有基础上，让学生学会用集合与对应的语言来刻画函数的概念，体会函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要模型是教学重点。教学难点是函数概念及对符号y=f（x）的理解。函数的概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生身边。高一的学生处于以感性思维为主的年龄阶段，教材中的设计符合他们的认知规律，化抽象为直观，学生更容易理解。学生仿照例题，尝试用集合与对应的语言去描述两个变量之间的关系，学会数学表达和交流，抽象概括出函数的概念，经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步提高了数学思维能力。

总之，我们完全可以跳出具体对象带来的认识局限性，从更高位去认识函数的本质，并通过与高中函数概念（从集合与映射的角度定义函数）接轨，渗透集合与对应的函数本质，从而将函数概念从中学数学的高度架起一个整体结构。

本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题“核心素养视角下初中数学‘整体建构’研究”（编号：21A06SXSZ118）、江苏省苏州市教育科学“十四五”规划重点课题“指向学科育人的初中数学学材整体建构研究”（编号：2021/C/01/004/05）阶段性研究成果。

（作者单位：江苏省苏州市吴江区实验初级中学）