借助不同原型建构数学模型

摘 要：以苏教版小学数学四年级下册“乘法分配律”一课为例，借助面积模型，帮助学生建立乘法分配律模型；借助生活模型，帮助学生理解乘法分配律模型；借助巩固练习，帮助学生拓展乘法分配律变式，促使学生全面地掌握应用乘法分配律进行简便计算的方法。

关键词：小学数学；乘法分配律；数学模型

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2024）28-0025-03

乘法分配律是小学数学运算定律教学中难点之一，主要是由于乘法分配律涉及到乘法和加法两级运算，而且乘法分配律的变式多样，导致学生很难识得乘法分配律的基础模型。在小学阶段应用乘法分配律进行简便计算的算式主要有两种：一种是一个数乘两个数的和（或可以转化为一个数乘两个数的和），可以直接应用乘法分配律算出结果；另一种是求两积之和算式的两个积中有一个乘数相同，可以逆向应用乘法分配律算出结果。

为了帮助学生更好地建立乘法分配律的数学模型，我们在教学苏教版四年级第六单元“乘法分配律”一课时，先结合具体的生活情境引出乘法分配律的模型，再让学生通过具体的数字代入计算，验证乘法分配律的普适性，最后通过“教师”和“学生”打招呼的生活模型理解变式的乘法分配律模型，从而促使学生全面地掌握应用乘法分配律进行简便计算的方法。

一、借助面积模型，建立乘法分配律模型

通常我们在教学乘法分配律时是通过生活中的实际问题，在大量具体的算式中抽象出乘法分配律的字母表达式，并用不完全验证法和举反例等方式证明乘法分配律是正确的。而在这节数学课中，我们反其道而行之，先通过含有字母的面积问题引导学生用含有字母的表达式表示出两部分的面积之和，然后用具体的数字代入，再次说明乘法分配律的字母表达式是正确的。

师：同学们，我们先来做几道简单的口算练习（出示口算题：25×4，125×8，4+6，13×4）。恭喜大家都答对了，老师想问下13×4你是怎么计算的？

生1：我把13拆分乘10和3，先用3乘4等于12，10乘4等于40，再12加40等于52。

师：大家的计算能力真棒，这节数学课我们一起走进美丽的校园，用数学的眼光来看校园里的一景一物，这是学校教学区和办公区的平面图，从图中你获得了哪些数学信息？

生2：教学楼的长是a，宽是c，办公区的长是c，宽是b。

师：根据这些数学信息，你能提出哪些数学问题？

生2：教学区的面积是多少？办公区的面积是多少？教学区和办公区的面积一共是多少？教学区的面积比办公区的面积多多少……

师：这位同学一口气提出了四个数学问题，你会计算教学区的面积吗？

生3：教学区的面积是长乘宽，也就是a×c。

师：你会计算办公区的面积吗？

生3：办公区的面积是长乘宽，也就是b×c。

师：那你能计算教学区和办公区的面积一共是多少吗？

（有的学生说是教学区的面积加办公区的面积，所以一共的面积是a×c+b×c；有的学生说是整个长方形的长是（a+b），宽是c，所以一共的面积是（a+b）×c。）

师：这两种方法都正确吗？既然这两种方法都正确，就变成a×c+b×c=（a+b）×c，到底这两个等式有没有相等呢？赶紧用具体的数字代入算一算。

生4：比如a=8，b=2，c=6，a×c+b×c=8×6+2×6=60，（a+b）×c=（8+2）×6=60。

在这个教学片段中，教师由简单口算入手，过渡到两位数乘一位数的口算，让学生初步感受到乘法分配律在口算中的应用。再让学生结合面积问题中的数量关系进行思考，在计算教学区和办公区的面积时，整理出乘法分配律的字母表达式。这两种方法在数学本质上是一致的，为学生建立乘法分配律的模型、感受乘法分配律的模型提供了丰富的素材。

二、借助生活模型，理解乘法分配律模型

为了帮助学生进一步理解乘法分配律的模型，教师巧妙地利用生活中的打招呼模型，不仅体现出乘法分配律的正向和逆向的应用，还渗透了师生之间要互相尊重的道理。在课堂上，教师和学生相互扮演不同的角色，既活跃了课堂氛围，又促进了学生对乘法分配律模型的理解。

师：同学们，a×c+b×c=（a+b）×c，现在这个等号是成立了。两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，这个叫做乘法对加法的分配律，简称乘法分配律。这里与加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律最大的区别是有两级运算。学到这里，其实在生活中也有乘法分配律，比如每天学生和教师见面，我们总要打招呼吧。a同学和b同学走进教室遇到了c教师，a同学要和c教师打招呼，b同学也要和c教师打招呼，这时c教师与a同学和b同学都打招呼。

师：我们请两位同学来扮演a同学和b同学，演一演刚才的过程。

（师生共同表演，当a同学和c教师打招呼时，全班同学说“a×c”；当b同学和c教师打招呼时，全班同学说“b×c”；当c教师与a同学和b同学都打招呼时，全班同学说“（a+b）×c”。）

师：同学们和教师打招呼，教师也要和每个同学都打招呼，这样才体现了师生互相尊重。（师生第二次表演，a同学和c教师打招呼，b同学和c教师打招呼时，这时c教师与b同学打招呼。）有什么问题了？

生：c教师没有和a同学打招呼，不公平了。

师：是的，在生活中师生要相互尊重，不能忘记和b同学打招呼，在数学中更不能犯这样的错误。

出示（9+6）×5=9+6×5。

师：看，5号教师与9号同学和6号同学都打招呼了，可是6号同学和5号教师打招呼了，9号同学怎么了？

生：9号同学没有和5号教师打招呼，太没礼貌了。

师：是的，那要怎么改呢？

生：让9号同学和5号教师打招呼，（9+6）×5=9×5+6×5。

在这个教学片段中，教师通过正确的角色扮演，告知学生乘法分配律的正确形式，促进学生对乘法分配律正向和逆向应用的理解和认识。同时，教师也呈现了错误的角色扮演，引导学生去发现乘法分配律的错误应用，加深学生对乘法分配律模型的印象，可以减少学生在练习中出现错误。

三、借助巩固练习，拓展乘法分配律变式

数学巩固练习是通过对数学知识、技能和方法的反复练习和应用，巩固和加深学生对数学概念、原理和运算规则的理解和记忆的练习。巩固练习是每一节数学课中不可缺少的环节，不仅可以帮助学生及时消化本节课中的数学知识，做到每节数学课当堂清，还可以借助拓展题促进学生数学思维的发展，为以后的数学学习奠定基础。

师：同学们，现在我们知道了乘法分配律，其实我们在二、三年级时已经在用了，只不过那时候不知道这叫乘法分配律。接下来我们来用一用，请你根据乘法分配律把等式填完整。（出示（42+35）×2=□×□+□×□）想一想这里怎么填空？

生：2是“教师”，42和35是“学生”，每个学生都要和教师打招呼，所以（42+35）×2=42×2+35×2。

师：（出示15×26+15×14=□×（□+□））同学们，我们找一找这个式子里的“学生”和“教师”分别是谁？

生：15是“教师”，26和14是“学生”，教师要和每个学生打招呼，所以15×26+15×14=15×（26+14）。

师：（出示72×（30+6）=□×□+□×□）这一题的“学生”和“教师”分别是谁？

生：72是“教师”，30和6是“学生”，每个学生都要和教师打招呼，所以72×（30+6）=72×6+72×30。

师：看来这几题难不倒大家，现在用你的火眼金睛来判断等式的左右两边是否相等，如果得数相等就用“√”的手势，如果得数不相等就用“×”的手势。（出示74×（20+1）=74×20+74）对还是错？

生1：错。这里74是“教师”，20和1是“学生”，教师没有和每个学生打招呼，应该是74×（20+1）=74×20+74×1。

生2：不对啊，教师和每个学生都打招呼了，只不过这里省略了乘1。

师：是的，当乘1的时候，我们可以省略。（出示37×（3×7）=37×3+37×7）对还是错？

生：错，37×（3×7）只有一级运算，37×3+37×7这里有两级运算，应该改成37×（3+7）=37×3+37×7。

师：你们真是太厉害啦！刚才教师是跟两个学生在打招呼，如果教师要和四个学生打招呼，这个等式变成怎样了？

生：我们看成a教师，b、c、d、e学生，每个学生都和s教师打招呼就是a×b+a×c+a×d+a×e，a教师和学生们打招呼就是a×（b+c+d+e）……

在这个教学片段中，第一个练习题是以填空题的方式引导学生掌握乘法分配律的正向和逆向应用。第二个练习题是以判断题的方式引导学生综合地判断乘法结合律与乘法分配律的表现形式。第三个练习题是以问答题的方式拓展到多个加数的乘法分配律的运用。

总之，教师要充分了解学生的学情基础和教材的编排逻辑，在教研活动中精心研究如何突破学生的学习难点和重点，巧妙地设计有趣味的数学活动和巩固练习，并在平时的数学课堂不断尝试与改进，让数学课堂变得既高效又能深受学生的喜欢，才能提高学生的学业质量水平。