借助“一题多解” 发展数学思维

摘 要：“一题多解”是培养学生数学思维能力的重要途径.基于此，笔者分析“一题多解”的价值，深入研究2023年苏州中考数学第16题，从不同角度出发，给出试题的多种解法，旨在帮助学生灵活应用不同的方法分析问题和解决问题的能力，以此培养学生的数学思维能力.

关键词：一题多解；直角三角形；构造；解法

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0062-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：张新如（2001.4—），女，江苏省淮安人，研究生在读，从事数学教学研究.

中考是对学生学习成果的综合检验，中考数学试题主要考查学生的数学知识、解决问题的能力、逻辑推理能力和数学思维能力.在数学教学中，教师经常强调唯一正确的答案和严谨的逻辑推导，但是在实际解题过程中常出现学生用不同方法解决同一道题目的情况，这正是数学中一个令人着迷的领域——“一题多解”.笔者以2023年苏州中考数学第16题为例，从不同角度探寻问题的解法，以此提高学生分析问题和解决问题的能力.

1 几何问题“一题多解”的价值

“一题多解”是指同一个问题可以有多种不同的解法.初中几何问题的“一题多解”通常需从已知条件出发，根据图形结构特征，作出不同的辅助线，建立已知条件与所求结论之间的逻辑关系，从而为解决问题创造有利条件［1］ .几何问题“一题多解”有着重要的价值.在解题中，教师应鼓励学生寻求“一题多解”，培养学生思维的灵活性和创造力，使学生能够在面对问题时灵活运用所学知识寻找有效的解决方案.在寻求“一题多解”的过程中，学生能够增强问题意识，有助于培养学生的批判性思维和分析能力，他们可以从不同角度审视问题，并提出更合理的解决方案.“一题多解”往往具有一定的挑战性和创造性，通过解决多解题目，学生能够感受到解决问题的成就感，从而更愿意投入到数学学习中去.

2 试题呈现

如图1，∠BAC=90°，AB=AC=32，过点C作CD⊥BC，延长CB到E，使BE=13CD，连接AE，ED.若ED=2AE，则BE=_______.

3 试题分析

本题是一道以直角三角形为载体的几何计算问题，题目简洁明了，图形一目了然.从图形结构可以看出，虽然BE在直角三角形的一条直角边上，但是并不能直接利用勾股定理得出结果. 在初中阶段，解决线段长度问题有四大法宝——勾股定理、相似三角形、锐角函数和面积法［2］.在解决问题过程中，充分利用好这些法宝是解决本题的关键.

首先，从直观图形出发，图1中有两个直角三角形，其中一个是等腰直角三角形，故可以考虑利用其性质构造辅助线求解；其次，图1中有两个直角，可尝试建立平面直角坐标系来解决问题.从所求线段来看，欲求线段BE的长，联想到直角三角形的边角关系，可利用三角函数求解.除此之外，还可构造出与线段BE相等的线段，故利用图形变换求解.

4 解法探究

4.1 利用等腰直角三角形的性质列方程求解

解法1 如图2，过点A作AF⊥CE于点F.

因为AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BE=CF=AF=3.设BE=x，则由BE=13CD得CD=3x.在Rt△CDE和Rt△AEF中，由勾股定理得

DE2=CE2+CD2=（x+6）2+9x2，AE2=AF2+EF2=32+（x+3）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，所以x+62+9x2=432+（x+3）2，化简得x2-2x-6=0，解得x=7+1或x=-7+1（不合题意，舍去），从而可知BE=7+1.

解法2 如图3，过点E作EQ⊥CA，交CA的延长线于点Q.

设BE=x，AE=y，则CD=3x，ED=2y.因为AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，则CE=6+x.因为∠BAC=90°，AB=AC=32，所以△CQE是等腰直角三角形，所以QE=QC=22CE=32+22x，所以AQ=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（3x）2，y2=（22）2+（32+22x）2，解得x=7+1（负根已舍去），即BE=7+1.

点评 这两种解法的本质相同，都是利用等腰直角三角形的性质作出辅助线，找到已知线段与所求线段之间的数量关系，并运用勾股定理列方程求解.在解决几何问题时，构造辅助线是解决的问题有效途径，对学生创造性思维要求较高.

4.2 利用相似三角形和勾股定理列方程求解

解法3 如图3， 过点E作EQ⊥CA的延长线于点Q.设BE=x，易证△ACB∽△QCE，则有ACQA=BCEB，所以QA=22x.在Rt△CDE和Rt△AEQ中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2=x+62+9x2，AE2=AQ2+EQ2=（22x）2+12（x+6）2.由DE=2AE得DE2=4AE2，化简得x2-2x-6=0，易得x=7+1（负根已舍去），即BE=7+1.

点评 根据图形结构特征，构造直角三角形，利用相似三角的性质和勾股定理，列方程求解也是处理线段长问题的最基本方法.这种解法与解法2构造辅助线的方法相同，但解题思路却截然不同，同时掌握这两种方法有助于培养学生的发散性思维.

4.3 利用旋转变换构造等腰直角三角形求解

解法4 如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，则AE=AG，BE=CG.设BE=x=CG，AE=y=AG，则CD=3x，ED=2y，EG=2y.因为AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，则CE=6+x.在Rt△ECG和Rt△ECD中，由勾股定理得（2y）2=（6+x）2+（x）2，（2y）2=（6+x）2+（3x）2，易得x=7+1（负根已舍去），即BE=7+1.

点评 当几何图形中含有公共端点且长度相等的线段时，可以考虑借助图形的旋转变换，实现某些边与角的转移，使其集中在某一个特殊图形中，然后借助特殊图形的性质解决问题.

4.4 利用面积法求解

解法5 如图5， 过点A作AM⊥CE于点M，过点E作EN⊥CA，交CA的延长线于点N.

由已知条件得AM=3，设BE=x，AE=y，则CD=3x，ED=2y.故S△ACE=12EC·AM=12AC·NE，求出NE长即可得出方程求解.易证△ACB∽△NCE，则有ACNA=BCEB，所以NA=22x.在Rt△ANE中，可得NE2=AE2-AN2=y2-12x2，所以（6+x）×3=32×y2-12x2，（x+6）2+（3x）2=（2y）2，解得x=7+1（负根已舍去），即BE=7+1.

点评 这种解法容易想到，但是求解过程中的计算量较大，涉及的知识点多，综合运用了相似三角形的性质和勾股定理，需要学生有较强的数学逻辑思维能力，这对学生而言具有一定的难度.

4.5 利用三角函数和勾股定理求解

解法6 如图1，根据已知条件， 因为AB=AC=32，∠BAC=90°，所以BC=6，∠ACB=45°.设BE=x，则CD=3x，EC=EB+BC=x+6.因为CD⊥BC，所以ED2=EC2+CD2=x+62+3x2.因为ED=2AE，所以AE2=14ED2=14［x+62+3x2］.在△ACE中，AE2=AC2+CE2-2AC·CE·cos∠ACE，即14x+62+3x2=322+x+62-2×32×（x+6）×22，解得x=7+1（负根已舍去），即BE=7+1.

点评 这种方法在初中阶段暂时还未学到，学有余力的学生可以尝试学习并求解.利用余弦定理求解不需作任何辅助线，根据条件中的等腰直角三角形即可联想到特殊角，而特殊角的三角函数值是特殊值，这是遇到特殊角度时常用的解题策略.

5 解题反思

从试题的解决过程可以看出，其核心是方程思想，即灵活运用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识列出相关方程，通过解方程最终解决问题.由此可以看出，解决三角形问题的思路和方法非常灵活，但其解法是有章可循的.在初中数学教学中，教师应引导学生跳出题海，寻找解决问题的通性通法，不断提高学生分析问题和解决问题的能力.

6 结束语

在初中数学解题过程中，不同的解法对学生的思维要求也不同.“一题多解”，不仅能够培养学生的创造性思维、逻辑思维、抽象思维和探索性思维，而且还能提高学生分析问题和解决问题的能力，提升其数学核心素养.

参考文献：［1］ 蒋浩文，余志渊.借一题多解，助数学思维发展：以一道初中几何题为例［J］.数学教学通讯，2022（20）：85-88.

［2］ 李加禄.联想探究 延伸推广：对2022年贵阳中考数学第16题的深层次思考［J］.初中数学教与学，2023（11）：24-26，42.

［责任编辑：李 璟］