化动为静 破解几何动点问题

摘 要：几何动点是历年中考数学的热点问题，其涉及的知识点多，综合性强，具有一定的选拔性功能，对学生而言具有一定的难度.基于此，文章对一道与等边三角形有关的中考选择压轴题进行详细分析和解答，并对问题进行引申变式，以此培养学生的发散思维和联想能力，提高其分析问题和解决问题的能力，提升其数学核心素养.

关键词：动点问题；化动为静；等边三角形；最小值；变式

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0047-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：盛一凡（1997.4—），女，江苏省常熟人，中小学二级教师，从事初中数学教学研究.

每年各地中考数学试卷中都会涌现一批优秀的试题，这些试题凝聚着命题专家的智慧，体现了新课程标准要求，对初中数学教学具有一定的导向作用，对日常教学具有重要的参考价值.因此，教师应带领学生甄选优秀中考试题，对其进行

分析、研究、变式、拓展，充分发挥一道优秀中考试题的价值.几何动点问题是初中数学教学的重要内容，倍受命题者青睐.笔者以2023年安徽省中考选择压轴题为例，谈谈如何对试题进行深入研究与分析，供读者参考.

1 试题呈现

问题1 （2023年安徽中考数学第10题） 如图 1，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，P，F分别是CD，AB的中点，若AB=4，则下列结论错误的是（ ）.

A.PA+PB的最小值为33

B.PE+PF的最小值为23

C.△CDE周长的最小值为 6

D. 四边形ABCD面积的最小值为33

2 试题分析

本题是一道以正三角形为背景的几何计算问题，解答时需要灵活运用正三角形的有关性质.根据已知条件可知，线段AB的长度为定值，点E是AB上的动点，因此AE和BE的长度是变量，故△ADE和△BCE的大小也是变化的，这导致点P的位置不固定. 因此，在图1中，除了点A、B、F是定点外，其他点均是动点.这是典型的动点问题，是中考中的常见题型［1］.欲想顺利解答此题，需要分析动点在运动变换中的不变性，这需要学生具备灵活的转化与化归能力，对学生的解题能力要求较高.因此，本题是一道中考压轴题，综合考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

3 解法探究

根据以上分析，图1处于运动变化之中，直接从一般情形入手较为困难. 为此，可以从特殊位置入手突破. 根据直觉与经验，可以猜测当点E与点F重合时，所求量能取到最小值，从而得到以下解法.

解法1 设点E与点F重合，如图2所示.

因为△ADE和△BCE是正三角形，所以DE=AE，BE=CE，∠DEA=60°，∠CEB=60°，所以∠DCE=180°-∠DEA-∠CEB=180°-60°-60°=60°.又因为点AB为AB中点，所以AE=BE，所以DE=CE，所以△CDF是等边三角形.因为P是CD的中点，根据等腰三角形 “三线合一”性质可知PF⊥CD.因为CD=DE=AE=2，所以△CDE的周长为6，故C选项正确.

在Rt△PDF中，因为∠DPF=90°，∠DEP=30°，所以DP=1.在Rt△PDF中，因为PE=DE2+DP2=3，所以PE+PF=23，故B选项正确.

在Rt△AEP中，因为AP=AE2+PE2=7，所以PA+PB=27≠33，故A选项错误.

根据已知条件易知四边形ABCD为梯形，所以S 四边形ABCD=12（CD+AB）·PE=12×（2+4）×3=33，故D选项正确.

综上所述，选A.

这种解法借助特殊位置得到答案，是一种特殊化解题策略，适合解答填空题和选择题.

解法2 如图 3，延长AD，BC交于点M，过点P作直线l∥AB.

因为四边形△ADE和△BCE是等边三角形，所以∠DEA=∠MCA=60°，∠MAB=∠CEB=60°，所以DE∥BM，CE∥AM，所以四边形DECM是平行四边形.因为P为CD的中点，所以P为EM的中点.因为E在线段AB上运动，所以P在直线l上运动，由AB=4知等边三角形ABM的高为23，所以M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为3.

如图 3，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，当P运动到A′B与直线l的交点，即A′，P，B三点共时，PA+PB=PA′+PB最小，此时PA+PB最小值A′B=AA′2+AB2=（23）2+42=27，故选项A错误.

因为四边形DECM是平行四边形，所以PM=PE，所以PE+PF=PM+PF≥PF.所以当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度.因为MF为等边三角形ABM的高且AB=4，所以MF=23，所以PE+PF的最小值为23，故选项B正确.

如图 4，过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H，则CD≥GH=GE+EH=12AE+12BE=12AB=2.

因为DE=AE，CE=BE，所以DE+CE+CD≥AE+BE+2=AB+2=6，所以△CDE周长的最小值为6，故选项C正确.

设AE=2 m， 则BE=4-2 m，所以AG=GE=m，BH=EH=2-m，DG=3AG=3m，CH=3BH=23-3m，所以SΔADG=12AG·DG=12m·3m=32m2，SΔBCE=12BH·CH=12（2-m）（23-3m）=32m2-23m+23，S梯形DGHC=12DG+CH·GH=12（3m+23-3m）·2=23，所以S四边形ABCD=32m2+32m2-23m+23+23=3m2-23m+43=3（m-1）2+23.从而可知，当m=1时，四边形ABCD面积的最小值23，故D选项正确.

点评 这种解法通过延长AD，BC构造平行四边形DECM，根据平行四边形的性质和“瓜豆原理”可知点P在定直线l上运动，由此找到了运动中不变的性质.由于A，B为定点，点P在定直线l上运动，因此，可将问题转化为“将军饮马”几何模型，只需作出点A关于直线l的对称点，即可求出PA+PB的最小值. 对于B选项，根据平行四边形的性质，将PE+PF转化为MP+PF，再根据垂线段的性质将问题转化为等边三角形ABM的高. 对于C选项，易知DE+CE为定值，故问题转化为求CD的最小值. 对于D选项，以AG的长度为自变量，根据几何关系，分别求出△ADG、△BCE、梯形DGHC的面积，从而求出四边形ABCD的面积，由此将问题转化为二次函数的最小值问题［2］.

4 试题变式

对试题进行变式拓展可以培养学生的发散思维和联想能力，并进一步巩固所学知识. 下面对问题1进行变式拓展.

问题2 如图5，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等腰直角三角形，P，F分别是CD，AB的中点， 若AB=4， 探究以下问题：

（1）PA+PB是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（2）PE+PF是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（3）△CDE周长的是否存在最小值，若存在，求出它的最小值；

（4）四边形ABCD面积的否存在最小值，若存在，求出它的最小值.

此题可采用与问题1类似的解法，如图6，延长AD，BC交于点M，过点P作直线l∥AB，过点D作DG⊥AB于点G，过点C作CH⊥AB于点H.可以证明点P在定直线l上. 于是，问题（1）转化为“将军饮马”问题，问题（2）转化为点M到AB的距离问题，问题（3）转化为GH的长度问题，问题（4）可以将AG的长度作为自变量，分别求出ΔADG，ΔBCE，梯形DGHC的面积，将四边形ABCD面积的最小值转化为二次函数的最小值问题. 限于篇幅，不再赘述，请有兴趣的读者自行探究.

5 结束语

在初中数学教学中，对一些优质的中考试题进行深入分析和研究，不仅能帮助学生巩固所学知识，培养其数学核心素养，而且还能培养学生的创新意识，为学生进一步学习打下良好基础.

参考文献：［1］ 苏雅. 运用动静结合策略解初中数学平面几何动点问［J］.数理化解题研究，2023（8）：29-31.

［2］ 秦海燕.初中数学动点问题的分类和解题思路探究［J］.中学数学（下半月），2023（3）：81-83.

［责任编辑：李 璟］