一道中考填空压轴题的溯源与推广

摘 要：中考试题是命题专家依据课程标准命制的精品课程资源，对教学具有一定的导向作用.基于此，笔者对一道中考数学填空压轴题进行了教材溯源，并探讨了它的多种解法，最后将试题进行了迁移和推广.通过研究发现，教材是中考命题的鲜活源泉，在日常教学中要深入研究教材例题和习题，以此提高学生分析问题和解决问题的能力.

关键词：中考试题；溯源；解法；推广

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0038-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：鲁德健（1979.9—），男，江苏省南京人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

教材不仅仅是教学的工具，也是命题的源泉. 一道优秀的中考试题往往有着“源于教材，高于教材”的特点，改编自教材的试题可以引导教学回归教材，脱离盲目刷题的题海战术. 笔者以一道中考填空压轴题为例，分析试题的教材之源，探讨试题的多种解法，研究试题的变式推广.

1 试题呈现

问题1 （2022年泰州市中考数学第16题）如图 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点O为△ABC的内心，过点O作直线交AC，AB边于点D，E， 若DE=CD+BE， 则CD的长为_______.

本题考查三角形内心的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，涵盖了初中平面几何中的重要知识点.试题综合性较强，要求学生具备灵活的数学思维，体现了中考试题的选拔性功能.

2 试题溯源

苏科版八年级数学上册第73页有如下问题：

问题2 如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M，N.求证：MN=BM+CN.

分析 因为MN∥BC，所以∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB.因为OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，所以∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，所以∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，所以ΔMBO和ΔNCO为等腰三角形，所以BM=MO，CN=ON，所以BM+CN=MO+ON=MN.

显然，问题1与问题2都与三角形内心的性质有关，区别在于问题1将问题2的结论作为条件，问题的难度增加.为了降低难度，问题1将问题2中的三角形变为两条直角边长分别为8和6的特殊直角三角形，但改编后的试题难度仍然大于原题的难度，凸显了中考试题“源于教材，高于教材”的特色.

3 试题解法

解法1 情形（1）：如图3， 过点O作直线DE∥BC，分别与AC，AB交于点D，E.连接OB，OC.

因为DE∥BC，所以∠OBC=∠BOE.因为O为△ABC的内心，所以∠OBC=∠OBE，所以∠BOE=∠OBE，所以BE=OE.同理CD=OD.从而DE=OD+OE=CD+BE.故当DE∥BC时，点D，E满足条件DE=CD+BE.下面计算此时CD的长度.

在Rt△ABC中，根据勾股定理可知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.设CD=OD=x，BE=OE=y，则AD=8-x，DE=x+y，AE=10-y，从而可得8-x8=x+y6，10-y10=x+y6，解得x=2，y=52，所以CD=2.

情形（2）：如图 4，连接AO，作DE关于直线AO的对称线段D′E′，点D′在AC上，点E′在AB上.

因为O为ΔABC的内心，所以∠OAD=∠OAD′.又因为DE⊥AC，且D′E′与DE关于AO对称，所以D′E′⊥AB，所以∠ODA=∠OE′A=90°，从而可知Rt△ODA≌Rt△OE′A，故OD=OE′.同理Rt△ODD′≌Rt△OEE′，所以OE=OD′，DD′=EE′，所以D′E′=OD′+OE′=OE+OD=DE=CD+BE=CD′+DD′+BE′-EE′=CD′+BE′，此时的点D′，E′也满足题目要求.从而，△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.设CD′=x，BE′=y，则AD′=8-x，D′E′=x+y，AE′=10-y，所以8-x10=x+y6，10-y8=x+y6，解得x=12，y=4，所以CD′=12.

综上所述，CD的长为2或12.

这种解法的关键是作出与BC平行的线段DE及其关于AO的对称线段D′E′，要求学生具备较强的几何直观与逻辑推理能力，一般的学生难以想到.另一方面，这种解法给出了两个解，但无法回答是否还存在其他解.下面给出一种基于代数运算的解决方法，可以有效避开几何推理的难点，同时可以回答是否还存在其他解的问题［1］.

解法2 如图5，过点O作MN⊥AC，交AC于点M，交AB于点N，过点O作OF⊥BC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，作EH⊥BC于点H.

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=10. 因为点O是△ABC的内心，根据S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC可得OF=AC·BCAC+BC+AB=8×68+6+10=2. 易证四边形CMOF是正方形，所以OM=CM=OF=2. 设BH=3x，EH=4x，BE=5x，CD=y. 则DE=CD+BE=y+5x，DM=CM-CD=2-y，DG=CG-CD=4x-y，EG=CH=BC-BH=6-3x. 在Rt△EDG中，由勾股定理得DG2+EG2=DE2，即（4x-y）2+（6-3x）2=（y+5x）2，从而xy=2-2x. 易知△DOM∽△DEG，所以DMDG=OMEG，即2-y4x-y=26-3x，整理得3xy=14x+4y-12，将xy=2-2x代入，并整理得10x+2y=9，再将此式代入方程xy=2-2x得2y2-5y+2=0，解得y1=12，y2=2. 从而CD的长为2或12.

这种解法根据几何关系建立两个方程，再将两个方程联立，从而解出线段CD的长度. 由以上解法可知，满足条件的线段CD的长度只有两种可能，不存在其他解，这回答了前面的疑惑.因此，严格地说，解法1不完备，而解法2是一种完备的解法.

4 变式推广

问题3 如图 1，△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，点O为△ABC的内心，过点O作直线交AC，AB边于点D，E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为_______.

简解 情形（1）：如图6， 过点O作直线DE∥BC，且分别与直线AC，AB交于点D，E.连接OB，OC.类似问题1的解答可知此时的DE满足条件DE=CD+BE.

在Rt△ABC中，根据勾股定理可知AC=23. 易知△ADE∽△ACB，所以ADAC=DEBC=AEAB.设CD=OD=x，BE=OE=y，则AD=23-x，DE=x+y，AE=4-y，所以23-x23=x+y2，4-y4=x+y2，解得x=3-1，y=23-33，所以CD=3-1.

情形（2）：如图6，连接AO，作线段DE关于直线AO的对称线段D′E′，其中点D′在AC上，点E′在AB上. 类似问题1的解答可知此时的D′E′满足条件D′E′=CD′+BE′.易知△AE′D′∽△ACB，所以AD′AB=D′E′BC=AE′AC.设CD′=x，BE′=y，则AD′=23-x，DE=x+y，AE′=4-y，所以23-x4=x+y2，4-y23=x+y2，解得x=43-63，y=3-3，所以CD′=43-63.

综上所述，CD的长为3-1或43-63.

问题4 在△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，点O为△ABC的内心，过点O作直线交AC，AB边于点D，E， 若DE=CD+BE， 求CD的长.

与前文类似，易得CD的长为12（a+b-c）或（b-a）（a+b-c）2b（若b＜a，则舍去）［2］.限于篇幅，求解过程从略，有兴趣的读者自行探究.

5 结束语

通过研究发现，2022年泰州市中考数学第16题是一道由教材习题改编而来的压轴题.受教材习题的启发，笔者给出了试题的几何解法，但解法不够严谨，无法回答是否还存在其他解.为此，笔者利用代数方法给出了完备的解答过程.通过解法分析，给出了试题的类比迁移和推广.在初中数学教学中，教师可利用试题的变式和推广，培养学生的发散思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的数学核心素养.

参考文献：［1］ 陈宇.源流共舞 动静相宜：2021年安徽中考第23题印象［J］.中学数学教学，2021（4）：63-66.

［2］ 谢向华. 源于课本，高于教材：例谈一元二次方程根与系数关系的应用［J］.中学数学，2020（8）：40-42.

［责任编辑：李 璟］