正方形半角模型的性质及证明

摘 要：“正方形半角”模型是初中平面几何中的重要模型，其中蕴含着许多优美的性质，在解题中有着广泛的应用，熟练掌握此模型有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.基于此，本文对这些结论进行系统梳理并给出严谨证明.

关键词：正方形；“正方形半角”模型；性质；证明

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0041-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：彭文鑫（1978.7—），男，福建省泉州人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

平面几何是初中数学的一个重要模块，通常以证明题或探索性问题的形式出现在压轴题的位置.这类问题形式灵活多样，综合性强，对学生而言难度较大.基于此，掌握一些常见几何模型有利于提高解题能力.几何模型有多种类型，例如“手拉手”模型、“一线三等角”模型、“母子型相似”模型等，笔者重点介绍“正方形半角”模型［1］.

“正方形半角”模型在历年全国各地中考试题中出现的频率很高，许多教师对这一模型在解题中的应用作了多角度探讨，还有教师从逆向思维角度出发，对这一模型作了逆向思考，其研究角度新颖，给读者很大启发.笔者总结了“正方形半角”模型中的12个常见结论，并给出这12个结论的详细证明［2］，以期为初中数学教学提供参考.

1 模型呈现

如图 1， 已知四边形ABCD为正方形，点E和点F分别在边BC和边CD上，∠EAF=45°，正方形ABCD的对角线BD与AE相交于点M，与AF相交于点N. 在图1中，由于∠EAF=45°=12∠BAD，故这一模型称为“正方形半角”模型.

2 结论的证明

结论1 如图1，在“正方形半角”模型中，EF=BE+DF.

证明 如图2，延长CB到点G，使得BG=DF.

因为四边形ABCD为正方形，所以AB=AD且∠ABG=∠ADF=90°，所以△ABG≌△ADF，所以AG=AF，∠BAG=∠DAF，所以∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=90°-∠EAF=90°-45°=45°，所以∠EAG=∠EAF，又因为AE=AE，AG=AF，所以△AEG≌△AEF，所以EF=EG=BE+BG=BE+DF.

结论2 如图1，在“正方形半角”模型中，△CEF的周长等于正方形ABCD边长的两倍.

证明 由结论1可知，EF+CE+CF=BE+DF+CE+CF=（BE+CE）+（CF+DF）=BC+CD=2AB，即△CEF的周长等于正方形ABCD边长的两倍.

结论3 如图1，在“正方形半角”模型中，EA是∠BEF的角平分线.

证明 如图2，延长CB到点G，使得BG=DF.

由结论1的证明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即EA是∠BEF的角平分线.

结论4 如图1，在“正方形半角”模型中，FA是∠DFE的角平分线.

证明 如图2，延长CB到点G，使BG=DF.由结论1的证明过程可知△ABG≌△ADF，所以∠ABG=∠DAF.因为∠BAD=90°，所以∠GAF=90°又因为∠C=90°，所以∠C+∠GAF=180°，所以A，G，C，F四点共圆，所以∠AFD=∠G.易知∠G=∠AFE，所以∠AFE=∠AFD，即FA是∠DFE的平分线.

结论5 如图1，在“正方形半角”模型中，△AEF的EF边上的高等于正方形ABCD边长［3］.

证明 如图3，延长CB到点G，使得BG=DF，作AH⊥EF，垂足为H.

由结论1的证明可知，△AEG≌△AEF，所以∠AEG=∠AEF，即∠AEB=∠AEH.又因为∠ABE=∠AHE=90°，AE=AE，所以△ABE≌△AHE，所以AB=AH，即ΔAEF的EF边上的高等于正方形ABCD边长.

结论6 如图1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=S△ABE+S△ADF.

证明1 如图2，延长CB到点G，使得BG=DF.

由结论1的证明可知，△ABG≌△ADF且△AEG≌△AEF.所以SΔAEF=S△AEG=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF.

证明2 如图3，作AH⊥EF，垂足为H，则S△AEF=12EF·AH.因为AB⊥BC，AD⊥CD，所以S△ABE=12AB·BE，S△ADF=12AD·DF.由结论1可知EF=BE+DF，由结论5可知AH=AB，所以S△AEF=12EF·AH=12BE+DF·AB=12AB·BE+12AB·DF=12AB·BE+12AD·DF=S△ABE+S△ADF.

证明3 设正方形ABCD的边长为a，BE=x，DF=y，则CE=a-x，CF=a-y.在直角三角形CEF中，根据勾股定理得EF=（a-x）2+（a-y）2=2a2+x2+y2-2ax-2ay. 由结论1可知EF=BE+DF，所以2a2+x2+y2-2ax-2ay=x+y，两边平方并化简得a2=ax+ay+xy.因为S△ABE=12AB·BE=12ax，S△ADF=12AD·DF=12ay，S△CEF=12CE·CF=12（a-x）（a-y）=12a2-ax-ay+xy=xy，所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF=a2-12ax-12ay-xy=ax+ay+xy-12ax-12ay-xy=12ax+12ay=S△ABE+S△ADF.

结论7 如图1，在“正方形半角”模型中，MN2=BM2+DN2.

证明 如图 4，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABK， 则AK=AN，BK=DN，∠BAK=∠DAN.从而可知∠MAK=∠MAB+∠BAK=∠MAB+∠DAN=45°=∠MAN，又因为AM=AM，所以△AMK≌△AMN，所以MK=MN.根据旋转的性质可知∠ABK=∠ADN=45°，所以∠MBK=∠MBA+∠ABK=45°+45°=90°.根据勾股定理可知MK2=BM2+BK2，所以MN2=BM2+DN2.

结论8 如图1，在“正方形半角”模型中，AB2=BN·DM.

证明 如图1，根据图形特征，易知∠AMD=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB.又因为∠ADM=∠NBA=45°，所以△ADM∽△NBA，所以ADBN=MDAB，所以AB·AD=BN·DM，所以AB2=BN·DM.

结论9 如图1，在“正方形半角”模型中，2BN=AB+BE.

证明 如图 5， 连接正方形ABCD的对角线AC.根据正方形的性质可知∠ACE=∠ADN=45°.又因为∠EAF=∠EAC+∠CAF=45°，∠CAD=∠NAD+∠CAF=45°，所以∠EAC=∠NAD，所以△ACE∽△ADN，所以CEDN=ACAD=2，所以CE=2DN，所以2BN=2BD-DN=2BD-2DN=2BD-CE=2·2AB-CE=2AB-CE=AB+BC-CE=AB+BE.

结论10 如图1，在“正方形半角”模型中，2DM=AD+DF.

与结论9的证明类似，不再赘述.

结论11 如图1，在“正方形半角”模型中，S△AEF=2S△AMN.

证明 如图 5， 连接正方形ABCD的对角线AC. 则∠AMN=∠ABM+∠MAB=45°+∠MAB=∠MAN+∠MAB=∠NAB=∠BAC+∠CAF=45°+∠CAF=∠ACF+∠CAF=∠AFD.

由结论4可知∠AFD=∠AFE，所以∠AMN=∠AFE.同理，∠ANM=∠AEF.从而可知△AMN∽△AFE，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2.由结论9的证明可知△ACE∽△ADN，所以ANAE=ADAC=12，所以S△AMNS△AEF=AN2AE2=12，即S△AEF=2S△AMN.

结论12 如图1，在“正方形半角”模型中，EF=2MN.

证明 如图 5， 连接正方形ABCD的对角线AC.由结论11的证明可知△AMN～△AFE，所以MNEF=ANAE.根据结论9的证明可知△ACE～△ADN，所以ANAE=ADAC=12.从而可知MNEF=12，即EF=2MN.

3 结束语

通过证明可以发现，这一模型蕴含着丰富的结论，每个结论之间也是相互关联的，体现了数学的和谐统一之美. 事实上，除了所证明的12个结论之外，“正方形半角”模型中还有一些不太常见的结论.此外，此模型还能进行推广，希望有兴趣的同仁对此作进一步研究.

参考文献：［1］ 吴丹.半角模型结论与应用［J］.中学教学参考，2023（4）：34-36.

［2］ 周忠柱.“正方形半角”模型及应用［J］.中学数学杂志，2022（8）：45-48.

［3］ 刘玉清.对半角模型两个重要结论的深入探究：以2019年广州中考第16题为例［J］.初中数学教与学，2022（8）：36-38.

［责任编辑：李 璟］