对一道中考题的严谨分析与变式拓展

摘 要：中考数学试题是命题专家依据新课程标准精心命制的优质课程资源，对初中数学教学具有一定的导向作用.基于此，笔者分析一道中考试题解法的不严谨之处，并给出严谨解答，对其进行变式拓展.通过研究得出启示，在日常教学中要始终保持质疑精神.

关键词：中考试题；解法分析；严谨性；变式拓展

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）29-0056-03

收稿日期：2024-07-15

作者简介：徐正友（1979.11—），男，江苏省沛县人，本科，中小学一级教师，从事初中数学教学研究.

解题是数学教师的基本功，一位合格的数学教师必须具备良好的解题能力. 中考试题是命题专家精心设计的，是锻炼解题能力的精品课程资源，研究历年中考试题是提升教师专业素养的有效途径.笔者研究发现，有时候参考资料或网络资源给出的试题参考答案存在错漏之处.例如，解答过程不严谨、讨论不充分等.基于此，笔者对2022年泰州市中考数学第16题进行深入研究，并分析参考资料和网络上流行解法的不严谨之处［1］，供读者参考.

1 试题呈现

例1 （2022年泰州市中考数学第16题）如图 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点O为△ABC的内心，过点O作直线交AC，AB边于点D，E， 若DE=CD+BE， 则CD的长为_______.

本题综合性较强，思维含量较高，具有很好的区分度.对学生而言难度较大，是一道填空压轴题.

2 解法分析

首先呈现参考资料和网络上流行的解法，并分析其中存在的不妥之处.

解法1 （第1种情况）如图2所示， 过点O作直线DE⊥AC，分别与直线AC，AB交于点D，E.连接OB，OC.

因为BC⊥AC，所 以DE∥BC，所以∠CBO=∠BOE，∠BCO=∠DOC.因为O为△ABC的内心，所以OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，所以∠CBO=∠EBO，∠BCO=∠DCO，所以∠BOE=∠EBO，∠DOC=∠DCO，所以BE=OE，CD=OD，从而可得DE=OD+OE=CD+BE.

在Rt△ABC中，易知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因为DE∥BC，所以△AED∽△ABC，所以AEAB=ADAC=DEBC.设CD=OD=x，BE=OE=y，则AD=AC-CD=8-x，DE=OD+OE=x+y，AE=AB-BE=10-y.从而可知10-y10=8-x8=x+y6，解得x=2，y=52，所以CD=2.

（第2种情况）如图 3， 过点O作直线D′E′⊥AB，分别与直线AC，AB交于点D′，E′.连接AO.

因为O为△ABC的内心，所以OA平分∠CAB，又因为OD⊥AC，OE′⊥AB，所以AD=AE′.又因为∠DOD′=∠E′OE，所以Rt△DOD′≌Rt△E′OE，所以OD′=OE，DD′=EE，所以D′E′=OD′+OE′=OE+OD=DE，CD′+BE′=CD-DD′+BE+EE′=CD+BE.又因为DE=CD+BE，所以D′E′=CD′+BE′.易知△AE′D′∽△ACB，所以AE′AC=AD′AB=D′E′BC.设CD′=x，BE′=y，则AD′=AC-CD′=8-x，D′E′=D′O+OE′=x+y，AE′=AB-BE′=10-y，所以10-y8=8-x10=x+y6，解得x=12，y=4，所以CD′=12.

综上所述，CD的长为2或12.

解法1属于几何解法，其中有两处值得商榷：一是通过作DE⊥AC和D′E′⊥AB可以得到两条满足题目条件的线段，但这种作法是如何想到的呢？二是以上方法可以得到两个满足要求的解，那么是否还存在其他解呢？以上方法无法回答这个问题. 因此，严格来说，解法1是不严谨的，这一解法可以求出两个解，但无法说明是否还存在其他解，有可能造成漏解的情况. 即使确实只有以上两个解，也需要给出严谨的证明［2］.

解法2 如图4，过点O作MN⊥AC， 分别交AC于点M， 交AB于点N， 过点O作OF⊥BC，垂足为点F， 过点E作EG⊥AC，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H.

在Rt△ABC中，易知AB=10. 因为点O是△ABC的内心， 设△ABC的内切圆半径为r，则OF=OM=r，易知S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB·r+12BC·r+12AC·r=12AB+BC+AC·r=12r，S△ABC=12AC·BC=24. 又因为S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，所以r=2，所以OF=OM=CF=CM=2. 易知△EBH∽△ABC，所以设BH=3x，那么EH=4x，BE=5x. 再设CD=y. 那么， DE=CD+BE=y+5x，DM=CM-CD=2-y，DG=CG-CD=4x-y，EG=CH=BC-BH=6-3x. 在Rt△EDG中， 根据勾股定理可知DG2+EG2=DE2， 即（4x-y）2+（6-3x）2=（y+5x）2，化简得xy=2-2x. 另一方面，易知△DOM∽△DEG，所以DMDG=OMEG， 即2-y4x-y=26-3x， 整理得3xy=14x+4y-12，联立两个方程，得2y2-5y+2=0， 解得y1=12，y2=2. 所以，CD的长为2或12.

这种解法说明例1确实只有2和12两个解，不存在其他解. 因此，通过代数运算，给出了例1完整且严谨的解答，这是对几何解法的补充.

3 试题变式

在例1中，点D在Rt△ABC的直角边AC上，若将这一条件修改为点D在Rt△ABC的直角边BC上，同时将条件DE=CD+BE修改为DE=CD+AE，那么CD的长有几种可能呢？

变式1 如图 1，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点O为△ABC的内心，过点O作直线交BC，AB边于点D，E，若DE=CD+AE，则CD的长为_______.

解法1 如图5， 过点O作直线DE⊥BC，分别与直线BC，AB交于点D，E.连接OA，OC.

类似例1，可证CD=DO，AE=OE，所以DE=DO+OE=CD+AE.在Rt△ABC中，由勾股定理易知AB=BC2+AC2=62+82=10. 因为DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，所以BEAB=BDBC=DEAC.设CD=OD=x，AE=OE=y，则BD=BC-CD=6-x，DE=OD+OE=x+y，BE=AB-AE=10-y，所以10-y10=6-x6=x+y8，解得x=2，y=103，所以CD=2.

如图 6，过点O作直线D′E′⊥AB，与直线AB交于点E′，可以发现此时直线D′E′与BC的交点在BC的延长线上，故此时不存在满足要求的线段.

ShGmBYSnqiHZ+4drqJSK/g==综上所述，CD的长为2.

类似例1，以上解法也是不严谨的，还需要通过代数方法说明不存在其他解.

解法2 如图7，过点O作MN⊥AC，分别交AC于点M，交AB于点N.过点O作OF⊥BC，垂足为点F.过点E作EG⊥AC，垂足为点G.过点E作EH⊥BC，垂足为点H.

易知OF=OM=CF=CM=2. 易知△AEG∽△ABC，设EG=3x，CD=y，那么AG=4x，AE=5x，易知DE=CD+AE=y+5x，DF=CF-CD=2-y，DH=CH-CD=EG-CD=3x-y，EH=CG=AC-AG=8-4x. 在Rt△EDH中， 根据勾股定理可知DH2+EH2=DE2， 即（3x-y）2+（8-4x）2=（y+5x）2，化简得xy=4-4x. 另一方面，易知△DOF∽△DEH，所以DFDH=OFEH， 即2-y3x-y=28-4x， 整理得2xy=7x+3y-8，联立两个方程，得3y2-4y-4=0， 解得y1=2，y2=-23（舍去）. 所以CD的长为2.

4 结束语

通过研究发现，在初中数学教学中，教师要始终保持质疑态度，对教学资料或网络上的试题和参考答案一定要从专业角度深入思考，切不可不加选择地直接照搬.

参考文献：［1］ 张松柏.青年教师专业发展应注重的五种基本能力［J］.中学数学教学参考（下旬），2021（8）：64-66.

［2］ 崔道美.初中数学解题能力的培养策略［J］.数理化解题研究，2020（35）：13-14.

［责任编辑：李 璟］