脉冲载荷下加筋圆板的各向同性快速等效方法

摘要： 加筋板在爆炸与冲击防护中应用广泛，而其动力响应的快速求解一直是工程中关注的重点。对于径向均匀加筋的圆板，基于刚度叠加思想，提出了一种将其等效为各向同性平板的方法，用于分析其在脉冲载荷下弹性阶段的动力响应。结合理论推导与数值方法，显式地给出了简洁的等效平板厚度公式。经验证，提出的等效方法建立了加筋圆板与均质圆板间的内在联系，适用于多种加筋尺寸、材料及载荷形式。等效圆板与加筋圆板的最大挠度偏差不超过6%，低阶振动频率偏差不超过10%。相比于直接对加筋圆板进行计算，等效分析方法大大提高了求解效率，且保证了很高的计算精度，在冲击响应预测和结构优化等工程应用中具有重要意义。

关键词： 加筋板；圆板；动力响应分析；等效方法；脉冲载荷

中图分类号： O383.2 国标学科代码： 13035 文献标志码： A

相比于传统平板结构，加筋板能够在较小的体积下实现较高的结构刚度与承载能力，且结构简单，易于生产制造，因此，其在汽车、船舶、建筑、航空航天等众多领域都有着广泛的应用，特别在冲击与爆炸防护方面有着较高的应用价值。国内外已有加筋板相关的众多研究[1-3]，其中加筋板在冲击作用下动力响应分析是研究重点之一。理论方面，多数研究将平板与加强肋分离，进而分别建立其动力学微分方程，再根据界面连续条件与受力平衡建立平板和加强肋的联系，从而导出问题的控制方程[4-6]。但由于这一求解过程将涉及到大量的数学推导，且受到微分方程的非线性限制，因此很难给出问题的解析解，多数只能通过有限差分等方法给出数值解或半解析解。另一途径是基于有限元方法建立新的更准确的加筋板数值求解模型，如考虑翘曲等非线性效应的特殊单元[7]、平板与加强肋的复合单元[8]、加筋板无网格方法[9]，等等。有限元方法能够处理复杂多样的加筋板类型，有着很高的适用性，但需要占用较高的计算资源，且要预先完成加筋板的建模和单元划分等前处理工作，不适于工程现场分析等需要快速应用的场景。而且有限元方法仅能够给出指定问题的数值解答，每算例均需仿真，不能抽象出一类问题中内含的本质物理规律。

因为直接对加筋板进行理论或数值分析比较复杂，可以考虑将加筋板等效为平板进行研究。在工程领域，尤其需要无需求解复杂方程的快速分析方法。一般来说，可以通过本构分析等方式将加筋板等效为各向异性平板，特别是正交加筋的情况，可以将其等效为正交异性平板。如，Karpov 等[10] 提出了一种刚度涂抹法（smeared stiffener method），能够将正交加筋板（壳）等同于具有相同刚度的正交异性均匀板（壳）；Zhang 等[11] 建立了多级加筋板的等效理论，能够将其均匀化为平板，同时保持结构的拉伸刚度和弯曲刚度不变；Xia 等[12] 建立了波纹加筋板的等效模型，并给出了等效刚度参数的解析解。除了基于本构关系的严格推导外，一个经典的方法是Timoshenko 等在20 世纪50 年代提出的加筋板等效模型（equivalent plate model， EPM 方法）[13]。该方法的思路非常简单：在线弹性小变形假设下，加筋板的刚度可以近似为平板刚度和加强肋刚度的线性叠加。若加筋板为正交加筋，则可以方便地将其等效为正交异性板，给出两个正交方向的弯曲刚度。该方法提供了加筋板弯曲刚度和扭转刚度的直接近似，同时公式中也保持了加筋板的原始几何参数，一定程度上揭示了加筋板和平板间的内在联系。Battaglia 等[14]对EPM 预测单向加筋板动力响应的准确性进行了实验评估。结果表明，EPM 在低阶响应和模态预测方面具有良好的性能，能够满足工程精度要求。

等效分析能够给出加筋板与各向异性板之间的等价关系，但为获得各向异性平板的动力响应解仍然无法避免求解复杂方程[15]。实际上，均质平板动力响应问题可以给出简单的解析解，那么加筋板在一定条件下可以等效为各向同性平板吗？过去曾有研究尝试过，如Fertis 等[16] 基于渐进分析给出了变厚度板的精确等效模型，也可以用于加筋板的等效分析。然而计算复杂性限制了其应用范围。另一种简单思路是根据等效前后体积不变直接给出等效平板厚度[17]，但这种等效粗糙而不够准确。

本文中，首先将在EPM 方法的基础上，将刚度叠加的等效思想用于径向均匀加筋圆板，通过理论推导与数值方法给出加筋圆板的各向同性等效模型及等效厚度计算公式；然后借助有限元仿真，验证该各向同性等效方法的合理性；最后，将给出此等效方法对不同加筋尺寸、材料、载荷类型的适用性及对于加筋圆板最大响应挠度的预测准确度。

1 理论推导

基于Timoshenko 等提出的EPM 等效理论[13]，将建立适用于圆形加筋板的基本等效模型，并给出等效厚度表达式。为保证加筋板能够等效为各向同性平板，这里将限制等效方法的应用对象为径向均匀加筋板，且由线弹性材料构成。