实施单元整体教学 促进运算能力提升

【摘 要】运算教学中要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会运算一致性。实施单元整体分析，开展单元整体设计与教学，能够较好地促进学生对运算一致性的理解。以整数乘法运算为例进行大单元分析，能让学生体会笔算加法与笔算乘法之间的联系，理解用“先分后合”计算整数乘法的方法一致性。基于单元分析，对人教版数学三年级上册“笔算乘法”进行单元内容统整，对关键课实施单元整体教学，能有效地促进学生对算理的理解，促进学生实现整体理解与知识迁移，进行深度学习，促进运算能力的提升。

【关键词】单元整体教学 运算一致性 运算能力

人教版数学三年级上册第六单元“多位数乘一位数”是在学生学习了表内乘法的基础上进行编排的，它是对表内乘法计算的突破和延伸，需要用“先分后合”的方法（本质是乘法分配律）对多位数乘一位数进行转化拆分计算，而这种方法将统领整数乘法计算，因此本单元学习在整数乘法大单元中至关重要，而此单元中“笔算乘法”第一课时是首次学习用列竖式的方法进行计算，是运用“先分后合”进行竖式计算表达的“种子课”，在本单元和整个“整数乘法”大单元中有重要作用和意义。为此，笔者从单元整体教学的视角出发，就“如何让学生体会运算的一致性”进行了实践研究。

一、研究思考

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会运算一致性，注重单元整体教学设计。整数乘法运算的一致性体现在哪里？“多位数乘一位数”单元是笔算乘法的学习起始，它在整数乘法运算体系中起什么作用？针对以上两个问题，笔者从单元整体视角出发对多位数乘一位数的笔算教学进行了分析和研究。

（一）基于整体视角下的单元教材分析

1.教材编排分析

纵观教材，整数乘法编排了四个阶段（图1），是按增加乘数位数的思路来编排的，本课例属于第二阶段的内容。第二阶段的内容是在乘法的意义和表内乘法的基础上进行编排的，它是表内乘法的知识拓展和延伸，新知生长点是需要借助整数的组成和乘法的意义进行拆数乘，把多位数乘一位数转化成学过的乘法计算（以下统称“先分后合”）。

图1

三年级上册“多位数乘一位数”：23×3=（20+3）×3=20×3+3×3。

三年级下册“两位数乘两位数”：23×32=23 ×（30+2）=23×30+23×2。

四年级上册“三位数乘两位数”：123×32=123 ×（30+2）=123×30+123×2。

从上述例子可以看出，虽然乘数的位数在增加，但计算的道理不变，都是用“先分后合”算乘法。“先分后合”的算法其本质就是乘法分配律，这是整数乘法运算的一致性。

本单元作为探索“先分后合”算乘法的起始单元，既是表内乘法的突破和延伸，又是后面学习乘法运算的重要基石，它在整数乘法这个大单元体系中是一个关键单元。

2.教材地位分析

本单元的教材编排可以分为两部分：第一部分是口算教学，例1是整十、整百乘一位数，例2是两位数乘一位数；第二部分是笔算教学，包括6个例题，类型包括不进位、一次进位、连续进位、乘数中有0的乘法。

从关联的角度分析本单元教学内容之间的联系，其结构图如图2。

口算乘法和笔算乘法的计算道理其实是一样的，都运用乘法分配律进行“先分后合”计算，不同的是：竖式计算是通过结构化的竖式来记录算的过程。本课是教材初次编排乘法竖式计算，重点理解竖式计算和横式计算的一致性，掌握竖式计算的基本模型，体会与加法数理的一致性，为后续学习进位乘法奠定基础。

_{vhcAmVMvgMuLjneyJVARrt6QWMfgWNpsu3TQF5XDgsQ=}（二）基于单元整体视角的单元学情分析

乘法是加法的简便计算，乘法和加法的计算有一致性。在学习乘法中学生出现的两种情况值得关注：

情况1：多位数乘一位数不进位乘出现漏乘百位上的数（图3）。

做一做

典型问题 主要表现 成因分析

百位上的数不乘，直接抄下来 没有从“先分后合”的角度来思考

通过教材分析和学生谈话，发现其原因之一是：乘法口算的教材只编排了两位数乘一位数的口算，造成本节课部分学生未能实现迁移。

从一致性的角度来分析，不管是几位数乘一位数，其口算方法都一样。教材只编排两位数乘一位数的口算，可能是出于避免大数口算的考虑，但如能增加编排简单的三位数乘一位数口算，将是一个培养学生迁移类推能力的好机会，也是让学生体会到运算的一致性的好机会。在这样的编排下，即使是四位数乘一位数，甚至是需要进位的乘法，相信学生也能完成迁移学习。

情况2：笔算13×8，学生之前只在笔算加法中学习了“满十进一”，因此绝大部分学生都知道向十位进“2”，且能说出其中的道理。说明进位的方法学生是能自主推理学习的。

基于以上分析，为了更好地发展学生的运算能力和推理意识，感受运算的一致性，教材可做再编排的单元整合设计。

（三）基于理解与迁移的单元教材整合

1.口算乘法编排做“加法”

教材编排新增123×3的学习，让学生提前完成两位数乘一位数计算方法的迁移，增强对整数乘法的一致性的感受。

2.笔算乘法编排做“减法”

笔算内容删除不进位乘法笔算，直接学习16×3有进位的乘法。本课例就是整合后的课例教学，其教学目标定位如下：理解多位数乘一位数的算理，掌握多位数乘一位数不进位、一次进位的笔算方法，会正确地进行计算；经历多位数乘一位不进位、一次进位的笔算方法的探究过程，体验计算方法的多样化，体会运算的一致性，促进学生运算能力和推理意识的发展；初步形成数学表达的意识和良好的计算习惯，体会数学学习的乐趣。

二、课堂实践

（一）情境导入，明确对象

（1）播放视频：

展示《动物世界》节目中各类动物冠军，出示陆地上的跳高冠军袋鼠的相关信息：

一只袋鼠身高16分米，跳高的高度是身高的3倍。

（2）提出问题：这只袋鼠一次能跳多高？

（3）列出算式：16×3。

（4）明确运算对象及意义：说一说为什么这样列式？

生：要解决的问题其实就是求3个16是多少

（二）自主探究，明理定法

1.自主计算，唤醒旧知

师：它的积是多少呢？你能快速口算出来吗？

生1：把16分成10和6，先算6×3=18，再算10×3=30，18+30=48。

师：用“先分后合”的方法能快速口算出来，真棒！

生2：我是用连加的方法来计算的，16+16+16=48。

师：其实我们还可以列竖式计算。这节课我们就一起来学习笔算乘法。（揭示课题）

【评析】唤醒口算教学中的计算方法，为笔算教学迁移作好铺垫。

2.自主探究，概括方法

（1）自主尝试：先思考乘法竖式怎么列？ 怎么乘？然后在草稿纸上动手试算。

（2）小组交流：4人小组交流，重点说一说你是怎么乘的？在竖式中如何记录乘得的积？说清其中的道理。

（3）方法展示，全班交流。

①判断对错

师：老师搜集了3个同学的方法（图3），分别写在了黑板上，你觉得他们算对了吗？

方法一： 方法二： 方法三：

生：我觉得前两个同学的方法是对的，第三个同学算错了，我们口算就知道是48，不是28。

②方法汇报

师：前两个同学列的竖式有点不同，请他们上台，分别给大家讲讲他们是怎么算的。

方法一：

生1：先算6×3=18，向十位进1，个位写8。再算1×3=3，3+1=4，十位上写4，合起来就是48。

师：能指着黑板讲，真像一个小老师，那大家有什么问题需要跟他交流吗？

问题一：3乘了个位上的6，为什么还要乘十位上的1？

生1：因为16×3里面有3个6和3个10，所以3要分别乘6和1，要乘2次。（自发的掌声）

师：谁听明白了其中的道理呀？

生2：……（重复道理）

问题二：为什么是加上进位的1，而不是乘进位的1？

师：乘法计算中为什么还有加法呀？这个问题很有意思！

生1：因为16乘3里面有3个6和3个10，18里面还有一个10，所以要加上这一个10。

师：你们听懂了他的意思吗？

生：我听懂了，进位的1就是个位相乘得到1个10，所以要加上进位的1，就表示一共4个10。

问题三：为什么先算6×3，而不是先算1×3？

生1：如果从十位乘起，那个位进位就进不到了。

师：如果要加上进位的数，那我们得怎么办呀？

生1：要把十位上的数擦掉，再重新写加上进位后的数，那太麻烦了！

师：看来，从十位乘起也是行的，只是遇到进位的情况会比较麻烦，所以大家习惯从个位乘起，考虑得真周到。

方法二：

生1：先算6×3=18，十位上的1就是10，再算10×3=30，最后算18+30=48。

师：你们觉得方法二与方法一有什么联系吗？

生2：计算方法是一样的，都是先乘个位上的数，再乘十位上的数。

生3：积的写法不一样，个位相乘时，方法二是直接写18，方法一是向十位上进1，个位写8。

师：听了你们的发言，老师也明白了，其实计算方法是一样的，只是记录乘积的方法不一样。两种记录方法，你认为哪种更简洁清楚？

生：我觉得方法一更简洁清楚，个位相乘的积是18，就像加法一样，满十就向十位上记“1”就可；30就是3个10，在十位上写3就能表示3个10。

（4）板书示范，规范竖式计算过程。（略）

（5）直观演示，促进理解。通过课件动态直观演示，进一步理解算理。

（6）分析错题，小结算法。

师：谁来说一说方法三错在哪里？出错的原因是什么？

生：只算了6×3，没有算10×3。他可能以为像加法一样，相同数位上的数才能计算。

师：如果让你来当小老师，教大家计算的方法，你会怎么教？

生：先乘个位，再乘十位，满十进一。

（三）巩固练习，内化提升

1.第一关：猜猜“□”里藏着几

重点关注进位的方法，通过专项练习概括进位方法。

师：观察三道题目（图4），为什么它们向十位进的数不一样？

生：因为个位相乘的积不一样，6×3=18，满10所以进1，5×6=30，满30所以进3，9×5=45，满40所以进4。

师：那以此类推，相乘的积满50、满60，应该向前一位进几？你能用一句话来概括一下进位的方法吗？

生：满几十就向十位进几。（板书：相乘满几十就向前一位进几）。

2.第二关：比比谁算得更仔细

乘数位数由两位数增加到三位数，通过对比练习实现算理和方法迁移类推，进一步概括算法，发展学生的推理能力。（图5）

3.第三关：比比谁选得对

一只蚂蚁的体重只有3毫克，但它能举起的重量是体重的128倍，它能举起多少毫克的重量？（图6）

此题可以通过观察积的个位、推断积十位上的数和精算等两种方法来作出选择，旨在培养学生观察数据特点的意识和推理能力，提高运算能力。

（四）总结评价，拓展延伸

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生：我觉得不管是加法、减法、乘法还是除法的笔算，都是要从个位算起。

师：学习乘法，能联想到其他的运算，非常好！但除法笔算是不是从个位算起更方便，还有待我们去探索。

师：根据今天所学的方法，你觉得我们还能解决哪些乘法问题？课后可以思考思考。

三、课后反思

（一）实施单元整体教学设计，适度整合教学内容

数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系。有时根据知识之间的联系，从整体视角出发作适当的整合教学，能实现整体教学效率大于各部分分割教学之和的效果。整数加法笔算和整数乘法笔算有着密切的联系。学生对整数加法中不进位加和进位加有了整体把握，教师再把乘法的不进位乘和一次进位乘两个课时整合在一起教学，学生就能更好地从整体上感受整数乘法笔算和整数加法笔算的关联，实现整体上的认知迁移。

比较笔算乘法和笔算加法，两者之间存在许多一致性。笔算都会存在进位问题，进位处理方法是一致的；在乘的顺序上是一致的，都要从个位算起，避免出现进位后十位上改数的问题；在记录每一步计算的结果时，都是在结构化的竖式中进行的，通过数位和位置来简洁表示。从以上课程W7Wyf8Myad50nQfzepzO/vnVQKK57m53IPoFlc2g2dY=整体的角度来看，学习笔算乘法，关键在于让学生理解一位数要与多位数的每一位相乘的道理，其他都能依托已有的竖式计算经验来实现迁移。而理解一位数要与多位数的每一位相乘的道理，在口算乘法整合课中已经完成了，并概括出了“先分后合”的方法，所以整合教学并不会增加学习的难度，反而让学生学得更加灵活。

（二）注重对比勾连，促进数运算一致性的理解

数学学习贵在求联。只有从更广泛的角度，即用联系的观点进行分析和思考，才能达到更深层的认识。本课的勾连发生了四次。第一次是笔算乘法与口算乘法的对比勾连，学生通过对比理解了口算乘法与笔算乘法在本质上是一样的，都是运用“先分后合”的方法计算，实现了方法的联系统一；第二次发生在研究从个位乘起时，学生自觉与加法笔算沟通联系，联想到当计算需要进位时，从个位算起更便利；第三次是两种乘法竖式计算的方法对比，体会借助数位和位置来进行记录的简洁性；第四次发生在全课总结阶段，这是本课最有意义的对比勾连，学生从整数乘法要从个位算起，自觉发散联想到四则运算，提出加、减、乘、除的笔算都是从个位算起的观点。最重要的不是正确与否，而是学生有了整体的意识，能用对比的眼光自觉勾连知识之间的联系，这正是单元整体教学课堂中追求的样态。

【参考文献】

中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.