聚焦单元整体教学关键课逆向设计，发展学生运算能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，结合整合教学内容，分析主题—单元—课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。那么，在实际教学中，教师应怎样组织单元整体教学呢？本期《特别关注》刊发一组文章，对“单元整体教学”展开研究，以期为一线教师提供参考和借鉴。

【摘 要】计算教学是义务教育阶段数学教学的重要内容，知识内容多，覆盖面广，贯穿整个基础教育阶段学生数学学习过程。需要学生花费大量的时间和精力，学习和掌握各种计算的公式、性质、定律及计算技能等。在日常教学中，教师的教学有时也是在知识、技能等方面投入了大量的精力和时间，但效果往往不尽如人意，学生计算总是会出错。教师、家长，甚至学生自己都认为仅仅是粗心、不仔细的原因，实则应该是理解上出了问题，正所谓“概念不清，道理不明，一算就错”才是本质因素。

【关键词】单元整体教学 关键课 逆向设计 运算能力

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称“新课标”）指出：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展。运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。作为一线数学教师，经常思考如何站在学生的角度进行数与运算内容领域的单元整体教学设计，尤其关注关键课的教学逆向设计，是落实新课标要求、高效发展学生运算能力的重要一环。

一、聚焦计算方法之间的关联，让学生形成结构化认识

知识结构化，是指将逐渐积累起来的知识加以归纳和整理，使之条理化、纲领化，做到纲举目张。知识是逐渐积累的，但在头脑中不应bEKN370g1lqRtRNOfhQCAw==该是堆积的、零散的。结构化对知识学习具有重要作用，因为当知识以一种层次网络结构的方式进行储存时，可以大大提高知识应用时的检索效率。凸显学生对计算知识的结构化认识，可以促进学生对算理、算法的本质意义理解，可以让学生在理解本质意义的基础上实现自主迁移，从而实现运算能力的真正有效发展。正如史宁中教授所讲，一定要关注数学课程的整体性和一致性，关注核心概念的意义的理解。

因此，运算教学中关键课教学内容应是知识体系的核心，这些知识犹如钢架结构中的“结点”，是知识结构化的关键支点，要突出本质理解，有了这些关键支点的本质理解，才能把零散的知识连成线，最后织成网。数与代数主题要从认数的一致性、运算的一致性及运算的整体性（四则运算的关系）去整体关注学生的本质理解，帮助学生建立知识结构（图1），凸显关键课教学核心概念的本质理解。

凸显计算知识的结构化认识，前提是要整体认识和把握教学内容，加强对整个计算教学内容间的联系，深化对蕴含在具体显性知识背后的本质意义的理解。如数的认识，教学时要突出数字符号加计数单位（核心概念）的本质理解，数运算教学要突出相同的计数单位才能直接“累加”的本质理解。新课标对数的认识、运算教学内容，在每个学段的目标和内容标准中，都提出了具体的要求，并配备了一定数量的案例。

凸显知识的结构化认识就要重视算理的连续性和纵向联系，教师对这部分内容的具体学段要求就必须做到心中有数。并且能够结合教材有意识地在具体实施知识、技能教学时，加强知识间的纵向联系，帮助学生从本质上加强对算理的一致性理解，从而达到发展学生运算能力的目标。

以整数乘法这条知识主线为例，从第一学段的20以内口算加法、表内乘法、百以内的口算加法、一位数乘两位数、三位数的加法、一位数乘三位数、两位数乘两位数到第二学段的能计算三位数乘两位数的乘法，这是一条纵向知识主线。教学过程中，要突出乘法的本质就是加法，在计算过程中，无论是口算还是笔算，用到的算理本质上就是“十进制”和“位值制”。加法竖式教学要突出相同数位对齐，因为只有相同的计数单位才能直接相加，相加后如何表示就要突出位值制，即几个几如何表示的问题，满几就向高一位进几要突出的就是十进制。而乘法则不用突出相同计数单位对齐，因为乘法明晰计数单位后，直接考虑的是“几个几和几个几相乘得几个几”的问题。

例如39×24=，竖式计算过程中2×3表示的其实就是2个十乘3个十，即（2×3）×（10×10）得到6个百，再加上进位的1个百，所以是7个百，故7就写在百位上表示7个百。这种理解必须具有连续性，达成这种理解不是一蹴而就的，它的发展必须从简单到复杂、从低级到高级、从感性到理性的过程，最终目标是走向抽象、发展推理，有层次地逐步发展起来，并且这种发展可以在学生达到一定程度的理解后，实现自主迁移。

有了这种理解后，教师就可以根据学生运算能力发展进阶要求，梳理出这条主线上的关键课。例如，20以内口算加法中的“9+几”就是一节关键课，因为这节课中用到的凑十法的本质就是十进制和进位的处理，凑十法的本质理解也是后续学习复杂计算的基础；表内乘法的起始课、两位数乘一位数的口算及笔算也是关键课，前一节课要打通乘法与加法的本质联系，后两节课需要厘清口算与表内乘法的本质联系及口算与竖式计算之间的本质联系。这些本质理解都是后续学习多位数乘一位数及多位数乘多位数的基础，因为几乘几解决了数量问题，单位乘单位决定了数量的单位，怎么记录、怎么书写比较方便就是方法的问题，可以根据需要灵活选择。

突出知识的结构化认识，还要加强知识间的横向联系。小学阶段，相同数域之间的运算要突出对本质算理的理解，加强知识间的纵向联系，有意识地引导学生通过本质理解逐步走向迁移类推来学习新知、解决新问题，发展学生的推理意识，从而发展运算能力。其实，不同数域之间的运算也需要通过加强比较异同来突出本质算理理解，这是发展学生更高层次迁移类推能力的重要体现。例如，整数领域的运算与小数领域的运算从本质上来讲，算理是完全一样的，教师教学时必须有意识地从本质算理的角度去建立这种联系。

二、关注核心概念的本质理解，让学生自主迁移计算方法成为可能

运算能力的发展，很大程度上体现在学生能否实现在本质意义理解下的自主迁移能力的发展，即推理意识的发展。计算即推理，具有很强的逻辑性，异中求同抓本质，在计算教学领域的表现就是计算方法、形式可以多样，但本质算理只有唯一；同中求异现灵活，在计算教学领域的表现就是抓住本质算理的理解，根据计算问题的复杂程度可寻求多样、灵活、快速、准确的计算方法和形式。

数运算的本质理解（一致性理解）就是相同计数单位的“累加”，怎么“累加”体现在规则的制定和方法的多样性上。根据数域及运算类别，小学阶段的算法迁移可以分为两类：一类是相同数域内相同运算的算法迁移，遵循从简单到复杂的过程，最核心的理解就是相同的计数单位可以直接相加，计算后的结果根据十进位制规则进行记录，如整数范围内的加法计算，关键课就是“9+几”，后续所有的整数加法计算都是“9+几”的拓展和延伸；另外一类就是不同数域内相同运算的算法迁移，这类课的教学要关注知识间的横向联系，如小数的加法与整数的加法，其核心理解是一致的，相同的计算单位可以直接相加，不同的是参与计算的单位变成了小数单位，但是单位之间的进率和位值与整数是一致的。因此，小数加法起始课就是一节关键课，这节课要突出类比迁移，把整数加法自然迁移到小数加法。不管是哪一类的算法迁移，教学中一定要突出类比。在不同算法的比较中，意义的理解一定不能停留在形式上的简单比较，要深入本质，才能形成本质的理解，这样有助于发展学生的自主迁移能力。

例如，教学人教版数学五年级上册“小数乘法”这一内容时，教材通过“想一想”（图2），让学生思考小数乘整数与整数乘整数有什么不同。以下是教学片段实录：

想一想：小数乘整数与整数乘整数有什么不同？

师：同学们，请认真观察并想一想，今天我们学习的小数乘整数与前面所学的整数乘整数有什么不同呢？

生：小数乘整数有小数点，整数乘整数没有小数点。

师：你真善于观察，一下子就发现了它们的不同。

师：你们都是这样认为的吗？

生：（齐答）是。

师：你们都太厉害了！

对于五年级的学生来说，这种外在形式上的细微区别被发现，还不能称之为数学能力的真正发展。要达到算法意义的理解还得从本质入手，从寻找计算通法入手，计算从本质上来讲就是基于对数位和计数单位个数的理解。因此，要理解这两种数域内算法的不同，不能停留在形式上，还要引导学生往更深层次去思考、去发现、去理解，从而自然、自主地迁移至新问题情境中解决问题，以发展学生的迁移能力。

另外，学生的这种回答到底是针对结果找不同，还是针对参与计算的因数找不同？笔者通过课后调研发现，其实很多学生也没有搞清楚，甚至有些教师也没有搞清楚。如果是针对结果的话，计算结果根据最简记录要求，也不一定就有小数。因此，对于该问题的探讨，还可以再深入一步。教师必须有这种抓本质的意识，让教学走向深入，让学生走向真正的深度学习。教学中，教师如果引导学生从计数单位和数位的角度去发现异同（图3），这样是有利于学生从本质算理去沟通整数乘法与小数乘法之间算法的联系的，也有利于学生在今后的学习当中把整数乘法的计算方法、计算技能迁移到小数乘法，从而达到用旧知迁移类推新知的目的，真正发展学生自主迁移类推的能力。

三、注重单元整体教学逆向设计，不断提升学生数学思维力的发展水平

查尔斯将数学大观念定义为：对数学学习至关重要的观念的陈述，是数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体。注重单元整体教学关键课逆向设计，就是要站在学生发展的角度思考教师的课堂教学，以学生发展目标结果为始，真正做到以学定教。即不管教学哪种计算，方法、技能的掌握只是在算理理解后的一个必然结果，而理解掌握这些方法、技能的过程经历才是学生核心素养发展的必要体现。因此，运算教学的单元整体教学关键课逆向设计就要以学生经历计算方法、技能的形成过程，发展核心素养为目标设计导向。如乘法概念的教学，理解乘法与加法之间联系的过程，就可以渗透数学优化的思想，引导学生感受数学的简洁美，也可以让学生体会到新知其实不新，不过是旧知的另外一种形式，从而激发兴趣，增强学好数学的信心。尤其是根据需要追求简便的这种创造性建模过程，是学生创新意识发展不可缺失的重要体验和经验积累。另外，乘法的计算方法，就可以根据这种联系，通过迁移类推获得，这个过程经历也是学生推理意识的培养发展过程。教师要把这些数学关键知识、核心概念从本质上加以理解，并且要帮助、引导学生从本质上加以理解，以促进学生关键能力的发展；要有系统化的教学思维，让教学既见树木，也见森林。

因此，运算能力的发展可把数学思维—— 推理意识发展作为单元整体教学设计的隐性目标，以解决实际问题、发展学生应用意识作为单元整体教学设计的显性目标，贯穿计算教学的始终。加强算理、算法意义的理解，打通不同算法之间的内在本质联系，以实现学生自主迁移类推能力的发展，培养学生的推理意识；联系生活实际解决问题，注重方法、策略的多样性，以培养学生的应用意识。两者兼顾，并行发展，最终达成发展学生运算能力的目标。

以人教版数学二年级下册“除法的初步认识”为例，初步认识不应停留在形式上的简单认识，也不应停留在仅仅只是记住几个概念。理解除法的意义才是关键，因此，教学中就要思考这么几个问题：除法的意义是什么？如何才算理解？如何帮助学生理解？除法跟其他运算之间有没有联系？如何帮助学生理解它们之间的联系？笔者认为从四则运算的内容网络结构图（图4）就能看见问题的本质，从而能很好地解决这些问题。这就是从整体视角来进行教学设计的好处。以下是一个教学案例片段：

【教学片段一】认识平均分

师：她想把这6块糖分给爸爸妈妈一起吃，你觉得可以怎么分？

师：同学们以4人为小组，再交流一下。

师：老师已经看了你们完成的前置导学单，选了3种代表性的方法，请他们上来摆一摆。

预设1：● ●● ●●●

师：（一边圈一边说）这种分法是第一份摆1个，第二份摆2个，第三份摆3个。

预设2：● ● ●●●●

师：（一边圈一边说）这种分法是第一份摆1个，第二份摆1个，第三份摆4个。

预设3：●● ●● ●●

师：（一边圈一边说）这种分法是第一份摆2个，第二份摆2个，第三份还是摆2个。

师：每种分法都各有道理，但都是把6颗糖分成了3份。

师：三种方法有什么不一样呢？（展开讨论）

生：第1、2种每个人分到的糖果不一样。

……

师：对，第3种分法比较特殊，每个人分到的糖果都一样多。

师：像这种分法，每份都是同样多，我们就把它称为平均分。（齐读）（板书定义）把“平均分”三个字再读两遍。

师：看来大家都知道什么是平均分了，我们来比一比谁的眼睛亮，下面哪种分法属于平均分？为什么？

完成教材第8页“做一做”第1题。

第一小题：为什么是平均分？

第二小题：这种分法其中有3份是同样多，也是平均分吗？

生：不是，因为最后一份只有1颗。

生：不管有几份，每份都要同样多。

师：（小结）我们在判断是不是平均分的时候，要看每份是不是分得同样多。

上述教学过程，教师带领学生学习了一个新概念“平均分”。平均分虽然是新概念，但绝非新知识，可以认为是旧知识“减法意义”的另一种表征形式，如教学片段中的学生提出的3种代表性的方法，可以抽象表达为连减：

预设1：● ●● ●●● 即6-1-2-3=0。

预设2：● ● ●●●● 即6-1-1-4=0。

预设3：●● ●● ●● 即6-2-2-2=0。

学生所呈现的不同分法其实就是连减抽象算式的直观表达，这在教学减法意义及连减的时候学生是有所理解的，预设3就是除法概念的直观表示和抽象表示的另外一种形式，即除法就是平均分，也是连减中“减数都相同、得数为零”的减式的另一种表征方式，用除法表示就是6÷2=3。所以，教学平均分时，完全可以引导学生联系减法及连减的意义和算式的表征形式，促进学生的理解和对知识的结构化认知。

【教学片段二】认识除法

师：刚刚通过分糖果的活动，我们知道了什么是平均分，功夫熊猫非常感谢大家，给你们带了它最爱的竹笋，它想把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘有几个？（板书：齐读）

师：什么是平均放在4个盘子里？（课件圈出“平均放在4个盘子里”）

生：就是每个盘子里的数量同样多。

师：在等分的过程中，思考两个问题。第一，可以怎样分竹笋？第二，到底每盘应放几个竹笋？现在就请同学们拿12个小圆片代表竹笋，试着分一分吧。（2分钟）

师：好了，再以4人为小组说一说你们是怎么分的？

学生汇报，以拖动课件的形式汇报3种分法，小组合作时教师要下去观察。

师：在刚刚汇报的过程中，有的同学会“一个一个”地分，还有的同学会先“两个两个”地分，然后再把剩下的平均分。当然还有的同学“3个3个”地分。这3种分法，你们更喜欢哪种分法？

师：不管怎么分，结果是什么？能完整地说一说吗？把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放（ ）个。（多几个人说）

师：你能将把12个竹笋平均放在4个盘子里，每盘放3个这件事情用一个算式表示出来吗？

生：12÷4=3。

师：12、4、3分别表示什么？

……

师：（总结）通过刚才的学习我们知道了把一些物体平均分成几份，求每份是多少，可以用除法算式表示。这就是今天我们要研究的内容。（板书课题）

知道份数，要求每份数。分的过程是多样的，上述教学片段中呈现的3种分法是常见的分法，第1、2种方法是尝试法（或者枚举法），逐步寻找个数，第3种方法是经过一定思考后再分，基本能感受到每份所含有个数（数感比较强的学生能完成）。但是，有一个问题需要提出：“为什么没有学生“4个4个”地去分呢？”从推理上来讲，因为要分成4份，保证每份1个，所以可以4个4个地去分，能分几次，自然就知道了每份的个数。就算学生开始没有想到，但是教师继续引领学生分下去，分一次减一次，减到为0止，再进行沟通，这样的过程也是完全可以把除法跟减法联系起来的。用减法表示就是12-4-4-4=0，减三次，得数为零，即分了3次，用除法表示更为简单：12÷4=3。除法即减法，更准确地说是连减，只是减数都相同而已。从现实情境中来讲，除法即均分，大家都要分得一样多，并且这种现象在现实生活中很常见。均分有两种类型：一种是知道每份分得的数量，求能分几份；另外一种就是知道分成几份，求每份所含的数量。但是这两种类型实际上都是跟减法意义相关的。因此，除法不是新的计算，只是旧的计算形式的新表达。再类比乘法的概念（乘法即加法），学生对除法就一定不会觉得陌生，只会觉得亲近，因为虽然是学新知，其实就是旧知的迁移和复习。概念的教学可以迁移类比，理解了算理，算法也可以进行自主迁移，这种理解多了，学生的推理意识就一定会得到有效发展，同时也会大大增强学生学好数学的信心。

所以，对于上述教学片段，在给出除法表达以后，教师如果能在总结之前再增加一个讨论问题“探讨平均分的过程与减法之间的关系，再深入一步探讨除法与减法的关系，甚至与其他运算之间的关系”，学生对除法的认识就一定可以再上升一个台阶，达到本质理解，对四则运算就能形成结构化的认知。

小学生运算能力的发展基于四则运算算理的一致性理解、方法的掌握和熟练程度，缺一不可。基于真实情境抽象四则运算概念、定律的教学要关注知识间的内在联系，关注学生对知识的结构化掌握，以发展学生的抽象意识；基于四则运算的内在联系的算法教学，要注重算理的一致性理解，突出相同计数单位的“累加”，发展学生的自主迁移能力，以发展学生的推理意识；基于真实情境问题解决的教学，要关注知识的综合、灵活应用和策略的合理选择，以发展学生的应用意识。这些核心素养的发展需要教师从整体的视角来设计教学，实施过程中要注意学生运算能力发展的阶段性，加强数学抽象意义和数学现实意义的双重理解，以发展学生的运算能力。

【参考文献】

中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.