《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下文简称“新课标”)着重指出,教学应促进学生“感悟数的概念本质上的一致性”。把握数之精髓,核心在于洞悉其构建方法,即无论是整数、分数还是小数,其本质均为计数单位多次累加的结果。本文以苏教版“小数的意义和性质”为例,遵循“具体—抽象—具体”的认知规律,建立数的整体结构,引导学生感受数的本质的一致性。
一、剖析教材,促进有效教学
苏教版教材中关于“小数的认知”划分为两个阶段:第一阶段编排在小学三年级下册,侧重于在贴近生活的具体情境中让学生初步感知小数,重点体会一位小数的含义;第二阶段编排在五年级上册,引导学生脱离具体情境,抽象地把握小数的全面内涵。计数单位作为数的认知教学的核心概念,其重要性不言而喻。本文以五年级上册“小数的意义和性质”为例,借助人民币、数线、正方形等多个数学模型,知道分数与小数的关系,会进行分数与小数的互化;认识小数的计数单位,发展迁移、类推的能力;了解整数、小数和分数之间的联系,感悟数认识在本质上的一致性;理解小数的意义,使学生掌握十进制数的建构方法,帮助学生形成整体化、结构化的思维。本教学设计紧密围绕“计数单位”与“数量”这两个核心维度展开教学活动,通过设计结合精确表征小数的教学任务,激发学生的创新思维,促使他们探索并创造出新的计数单位,亲身体验从“连续十等分到再次计数”的动态过程。此过程融合了操作实践、类比推理、知识迁移、抽象思维及总结概括等多种学习活动,逐步加深学生对小数本质的理解,同时促进学生建立起小数与整数、分数之间的桥梁,从而使学生全面理解十进制数的建构方法,深刻感悟数认识的一致性。
二、精心设问,引导深度学习
(一)复习旧知,导入新课
师:数的学习,离不开数。如果用一个正方形代表1,一个一个地数,十个一就是十;如果十个十个地数,十个十,就是一个百。那如果一百一百地数;十个百就是一个千。个、十、百、千,这些都是我们熟悉的整数的计数单位。如果按照这样一直数下去,可以产生更多新的计数单位,而且会认识更多更大的数。
(二)自主探究,深入学习
师:如果从1开始,分一分,会产生什么数呢?
生1:分数。
生2:小数。
1.比较交流,认识一位小数
师:课前,请同学们通过画一画、分一分的方式表示0.7。课件出示(见图1):
师:你们知道他们是怎么想的吗?
生1:10个1角就等于1元,再从1元中抽取7角,是元,也就是0.7元。
生2:图1中右下角的图总共有10份均匀的长条,我们涂其中的7份,用分数表示是,也就是0.7。
生3:把1米分成了10份,每份就是1分米,其中的7份就是7分米。7分米就是0.7米。
生4:十个小方块把它看作一个整体,也就相当于看成一个长条,其中有七个小方块,是,也就是这个长条的0.7。
师:他们在描述0.7时,你们发现有什么相同的地方吗?
生1:平均分成10份。
生2:0.7=。
师:对的,=0.7。像0.7这样小数点右边只有一位的小数,我们把它称为一位小数。你能不能像这样再说一说别的一位小数?
生1:就是0.3。
生2:0.5等于。
生3:0.4=。
师:同学们举了好多例子,什么样的数可以用一位小数表示?
生:分母为10的分数就可以用一位小数来表示。
师:刚才这么多一位小数中,哪个一位小数最特殊呢?为什么?
生:0.1最重要,因为0.1可以组成其他任何的一位小数。
师:0.1是一位小数的计数单位,而且我们发现十个0.1就是1。
2.迁移类推,认识两位小数
师:0.1能不能帮我们数出0.73呢?那0.73又可以怎么表示呢?
学生独立完成学习单,教师选三位同学的作品(见图2)。
师:你能不能看出他是怎么表示0.73的。
生1:先找到0.7,又找到了下一个0.1,标出了这个0.1,平均分成10份,然后画出了其中的3份,把它们加起来,变成了0.73。
生2:先把这个长条中的0.7找出来,再把第八个0.1平均分成10份,画出其中3份,把0.7加上下一个0.1中的3份就是0.73。
生3:他先找到了一元中的0.7元,然后再把第八个1角分成10份,取其中的3份,加起来就是0.73元。
师:你能不能给大家圈一下0.73元?
学生上台圈出0.73元。
师:回顾刚才同学们的这三种办法,他们在表示0.73时有什么相同的地方?
生:他们都是先找到0.7,再把第八个0.1分成10份,找出来3份,再加上已经找到的0.7就是0.73。
师:0.73如果用分数来写,是多少呢?
生:。
师:你们同意吗?100在哪里?73在哪里?
生1:同意,因为是0.7,每个0.1都能分成10份,它就变成70,然后下一格平分成10份取3份就有73份。而把原来10份的图再平分成10份,一共有100小份,所以是。
生2:因为一条线段分成10份,每小段再分成10份,就一共有100份小线段。一个小正方形是十个小正方形,再细分成10份,就共有100份。1元相当于10个1角,就相当于100个1分。其中的73份就是。
师:像这样小数点右边有两位的小数,叫作两位小数。观察屏幕上的图,你能不能用哪个两位小数来表示剩余部分呢?
生:0.27。
师:请同学们互相说几个两位小数及所表示的分数。思考:两位小数的计数单位是什么呢?
生1:0.53,,我认为两位小数的计数单位是0.01。
生2:0.75就是75个0.01。0.99也就是99个
0.01,它们的计数单位都是0.01,所以我就猜两位小数的计数单位就是0.01。
师:如果0.73表示在计数器上,你觉得应该怎么拨出呢?
生:在0.1那里拨七个珠子,在0.01那拨3个。
师:继续数一数,0.01的位置再来一个珠子就变成了0.74、0.75、0.76、0.77。0.77这两个“7”表示的意思一样吗?
生:这两个“7”所在的计数单位不同,含义也不同。
3.运用迁移,认识三位小数
师:十个0.01就是一个0.1,它们之间是不是也满足满十进一的关系呢?一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几。通过这两句话,你能推想出三位小数表示千分之几,可是这句话对不对呢?我们还需要进行一个验证。
师:0.734在这个大正方形中表示(见图3),可能是什么样子呢?它又会有什么不同的特点呢?
生:把剩下后边的一个格,把它平均分成十份,然后再取其中的四份就是0.734,。
师:1000在哪呢?
生1:现在有100个格,把每一个格平均分成10份,就有一样的1000份。
生2:100个格,每个格再平均分成10份,就是再乘10,也就是1000。
师:0.734的计数单位可能是什么呢?
生:计数单位可能是0.001,因为0.734,它就是734个0.001,所以我觉得它的计数单位是0.001。
师:三位小数表示千分之几,我们之前的猜想是正确的,而且我们还发现了三位小数的计数单位就是0.001。
师:还能不能再分下去了?还会不会有四位小数?(有)那你们猜四位小数的计数单位就是(0.0001)。那能不能说完呀?(不能)
师:借助正方形模型,从左往右,从右往左,你又会发现什么?
生:从左往右,1÷10=0.01,1÷100=0.001;从右往左看,0.001×10=0.01,0.01×10=0.1。
师总结:观察黑板上这几幅图,它都是计数单位,从右往左看,都是满十进一,我们把这样的方式叫作十进。那么,从左往右看,每次除以十,就会产生一个新的计数单位,除以十,我们把这样的方式叫作十分。不论是整数的计数单位,还是小数的计数单位,我们发现相邻的两个计数单位的进率都是十。
(三)回归生活,运用迁移
师:小数在我们生活中有很多的用处。老师的身高就可以用小数来表示,请在数轴上表示出来。同学们说说如何在数轴上表示。
(四)梳理回顾,交流收获
师:这节课我们是如何一步一步探究小数的意义呢?你有哪些收获?
生1:我们先回顾了整数的知识,再将知识迁移到一位小数、两位小数和三位小数。
生2:我了解了十进制计数的由来,还知道了小数与整数、分数之间的联系。
生3:我学会了用多种方法来表示小数。
师:我们不仅明白了小数的意义,而且大家可以发现,我们对数的认识是不是更加深入了呀?相信通过今天的学习,大家对数学知识的理解会更深刻。
三、理性思考,深入分析教学
“数与运算”是学生学习数学的重要领域,包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。新课标强调,在教学数与运算时,教师应通过数的认识和数的运算有机结合,引导学生感悟计数单位的意义,初步体会数本质上是计数单位累积的结果,感悟数的概念本质上的一致性,形成数感和符号意识。但在实际教学中,教师可能没有真正理解数认识的一致性和数运算的一致性,只是按照教材的编排进行教学,这样容易割裂知识间的内在联系,进而阻碍了学生构建关于数与运算知识的系统性认知框架。小学数学教师在教学可能会有这样的困惑,或者学生会提出这样的疑惑:“既然小数是特殊的分数,那我们为什么还要学习小数?”那是因为分数没有办法体现十进制,所以为了表示更小单位的数,引入了小数的知识点。
“小数的意义和性质”是苏教版五年级上册第三单元的内容,这节课正是围绕新课标目标中“数概念的一致性(即数认识的一致性)”所展开的教学尝试。本节课教师通过画长方形模型、正方形模型、人民币、线段图等学习活动的设计,充分唤醒学生“满十进一”的旧知,用整数计数单位和小数计数单位的比较,让学生整体认识小数和整数的一致性,从而认知小数的意义,感悟数认识的一致性。
第一,借助已有知识经验,进一步感悟十进制计数法,培养学生的数感。教师通过复习整数的计数单位导入新课,在布置的课前预习学习活动中,学生利用线段图、圆角分和正方形模型分别表示出了0.7,借助学生已有知识经验,明白分母为10的分数可以写成一位小数,体会一位小数表示十分之几的意义。接着,教师引导学生讨论探究表示0.73。在表示出0.73这个活动中,突破点在于将0.1细分表示出0.03,学生用多元表征的方式认识了两位小数,经过迁移类推进一步认识了两位小数的意义。最后,在经历了两位小数的过程后,教师以学生为主体,鼓励学生大胆想象,通过猜想推理和验证理解三位小数的意义,深化对小数意义的理解。这个过程增强了学生的数感。
第二,借助数形结合,理解数的建构方法,强化分数与小数之间的关联。数形结合思想是一种重要的数学思想,它能借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系,有利于使抽象的概念和关系直观化。本节课注重建立数与形的联系,将抽象的数学概念变得更加具体。教师巧妙地设置在计数器上一个一个地数表示小数,在数的过程中直观地使学生认识满十进一,对计数单位有了更深刻的理解。同时,教师在数轴上表示自己的身高,使学生依托数轴加深对小数的理解,并且在数轴上体会了点与数一一对应的思想。在课堂中,学生经历自主探究画图表示出一位小数、两位小数和三位小数的过程,这种数形结合的方式帮助学生理解数的建构方法,由此体会它们都是根植于计数单位的概念之上,进而加深了对分数与小数之间内在联系的理解与感悟。
第三,从数学的本质出发,纵横沟通,促进学生理解的结构化。新课标在课程理念当中明确指出,要设计体现结构化特征的课程内容。教师要关注核心知识,凸显结构关联——不仅关注到教学内容的结构化,还要关注教学形式的结构化,更要关注学生思维的结构化,探索培养学生核心素养的路径。本节课中,教师以计数单位及其个数为核心问题,引领学生系统性地构建整数、小数与分数的认知结构,促进了学生的系统性学习。
学生通过这堂课的学习,从数自然数计数单位的个数开始,仿照着数小数计数单位的个数,在此过程中充分认识整数、小数都是关于计数单位个数的表达,进而理解数认识的一致性。教师注重帮助学生理解数的建构方法,感悟数认识的一致性,是践行结构化教学的成功案例。教师应认真学习新课标的理念,用结构性、整体性、系统性和发展性的关联性思维来思考我们的教学,实施结构化教学,促进学生数学核心素养的提升。
(作者单位:漳州市第二实验小学迎宾分校)
编辑:陈鲜艳
作者简介:郭舒婷(1993—),女,汉族,福建漳州人,硕士研究生,二级教师,研究方向:小学数学教学。