重视合情推理，探究逻辑突破口

摘 要：合情推理是获得数学猜想的基本方法. 好的合情推理，就像数学解题探索中一个合适的引路人. 以两次数学教研实验片断为例，呈现运用合情推理中的不完全归纳、类比等关键元素去分析一道几何题的解答思路来由，探索初中几何教学中关于学生的合情推理意识和能力培养的路径，探讨助力学生开启和编织思维链条的突破口.

关键词：合情推理；不完全归纳；类比；活动经验

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）10-0055-06

引用格式：张钦，袁晓芹. 重视合情推理，探究逻辑突破口：结合教研实验中的一道几何题感悟合情推理能力的培养策略［J］. 中国数学教育（初中版），2024（10）：55-60.

基金项目：湖北省教育科学规划2021年度重点课题——指向思考力培养的思维课程研究与实践（2021JA144）.

作者简介：张钦（1980— ），男，中学高级教师，主要从事数理科学、数学教育、教育评价研究；

袁晓芹（1974— ），女，中学高级教师，主要从事中学数学课堂教学研究.

推理问题的精髓是思维链条的构建. 演绎推理的思维链条是从发散联想到集中推理的“倒树状结构”，能有效解决条件和结论都明确的几何推理问题. 然而，面对结论为探究型或开放性的几何问题，需要先通过合情推理获得明确的结论，再运用演绎推理验证结论. 现结合两次教研实验所用的一道优质几何题呈现相关解答分析与思考，探索开启逻辑推理的路径.

一、例题呈现

题目 已知正方形[ABCD]与正方形[AEFG]，正方形[AEFG]绕点[A]旋转.

（1）如图1，连接[BG]，[CF]，求[CFBG]的值.

（2）当正方形[AEFG]旋转至图2的位置时，连接[CF]，[BE]，分别取[CF]，[BE]的中点[M]，[N]，连接[MN]，试探究[MN]与[BE]的关系，并说明理由.

（3）如图3，连接[BE]，[BF]，分别取[BE]，[BF]的中点[N]，[Q]，连接[NQ]，[AE=6]，试直接写出线段[QN]扫过的面积.

二、实验片断

在以上题目的解答中，合情推理扮演着非常重要的作用. 笔者曾借助该题目，就合情推理水平和运用合情推理探索解题路径的意识，选取了宜昌市两所生源状况不同的初中学校分别进行实验和调研. 实验过程中，让两校九年级学生在40分钟内独立解答该题. 结果，多数未完成学生卡在第（2）小题. 该小题结论不明，需要探究. 学生并非没有时间解题，而是没有思路. 笔者对两校未完成第（2）小题的学生给予提示：若把正方形[AEFG]旋转到某个特殊的角度，比如点[G]在[AD]上时（如图4），能否发现什么？可否将所得结论推广到一般旋转角度的情况？面对提示，两校学生分别出现了以下两种不同的片断.

[E][F][G][B][C][D][A] [M][N][图4]

片断1（生源状况较好的学校）：约三分之一的学生无法开启第（2）小题的解答. 这些学生纷纷表示不理解图4的提示作用，只想知道应该怎么作辅助线，或者套用哪个几何模型. 进一步了解到，教师经常教他们如何套用各种几何模型，而轻视引导学生经历观察、操作、猜想等活动的过程，导致学生遇到不熟悉的模型就没有了解题思路. 可见，即使生源状况较好，但是一味套用模型的几何教学也会让学生丧失探究问题的兴趣.

片断2（生源状况较差的学校）：约五分之四的学生无法开启第（2）小题的解答. 但在提示下，多名学生进一步探索而突破了第（2）小题. 虽然方法不尽相同，但都是从特殊位置出发，寻找到有共性的结论和方法，才想到如何作辅助线. 其中几名学生述说自己的心路历程时非常兴奋，甚至有两名学生画出了图5～图7等特殊情形. 笔者进一步询问这两名学生：“画这些多余的图‘不耽误时间’吗？”学生回答：“好玩.” 笔者提出可以试着编些新的问题. 这两名学生在尝试编题的过程中，发现[BE]的中点只能在某个圆上，又一举解决了第（3）小题.

三、解答分析

上述题目是一道相当精彩的几何综合题，为合情推理元素的展现和教研实验的开展提供了极好的素材. 笔者从实验中得到的收获是：从特殊情形出发，合理猜想，能有效激发学生的探索兴趣；试验观察，可以助力学生开启解题思路，找到逻辑推理的突破口.

1. 直觉洞察，适时转化

对于第（1）小题，从要求的比值[CFBG]出发，观察图形发现线段[CF]和[BG]不在同一个三角形中，且无法进行等量转换，直觉联想到[△GAB∽△FAC]，证明并计算其相似比，运用正方形的性质即可求解.

2. 着眼特殊，推及一般

对于第（2）小题，有些学生感觉MN⊥BE，且[MN=][12BE]，想到连接[BM]和[ME]，希望证明[BM=ME]，然后用等腰三角形的“三线合一”的性质解决问题. 随后发现证明有困难，并对自己的直觉有所动摇；有学生套用“手拉手模型”，连接[BG]，[DE]，证明三角形全等，结果并无所获；有学生考虑到此时点[M]也是中点，于是联想到“双中点”相关的几何模型，打开了部分思路. 如果学生此时并不熟悉特定的几何模型，似乎确实有些难以确定结论. 那么，教学中只能教学生“死记”模型吗？

当然不是，数学问题的思考和解决依靠数学思想，从简单到复杂，数学的魅力正在于这些最朴素的思想. 从最简单的情况开始思考，发挥数学自身的力量，从而找到解决问题的思路.

如图4，处于这样一个特殊的旋转位置，结论会变得非常清晰. 此时[MN]是直角梯形[FEBC]的中位线，可得[MN⊥BE]，且[MN=BC+FE2=AB+AE2=][BE2]. 从特殊到一般，大胆猜想，在一般的旋转角度下，[“MN⊥BE]，[MN=12BE”] 可能也是正确的. 但是，怎么在一般角度下证明这个结论？一般角度下没有直角梯形.

可以回顾梯形的中位线公式是怎么得到的. 如图8，联想三角形的中位线，连接[BM]并延长[BM]至点[H]，使得[BM=MH]，连接[HF]. 由[△MHF≌△MBC]，可知[HF∥CB]，于是[H]，[F]，[E]三点共线. 此时[MN]是[△BHE]的中位线. 由三角形全等可知[BC=FH]，于是由三角形中位线公式可得梯形中位线公式.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][图8] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N] [I][图9]

再到一般旋转角度的情况，如图9，连接[BM]并延长[BM]至点[H]，使得[BM=MH]，连接[HF]，[HE]. 显然，可得[HE∥MN]且[HE=2MN]. 现在证明[HE=BE]且[HE⊥][BE]. 仿照图8的特殊情形，容易证得[△CMB≌△FMH]，故有[HF=BA]. [FE=AE]是当然的. 与图8相比，图9中H，F，E三点不共线，产生了新的三角形. 点B，A，E也类似，图8中的这两个三角形都退化为三点共线，化归为平角. [∠HFE]和[∠BAE]都因正方形[AEFG]旋转而产生，直觉感知其相等，若能证明则可以得到[△ABE≌△FHE]. 进一步观察，[∠HFE]由[∠HFG]和一个直角构成. 由[△CMB≌△FMH]，可得[HF]与[CB][DA]平行，由正方形[AEFG]的旋转产生了夹角[∠DAG]，其与[∠HFG]互余. 受此启发，在图9中延长[DA]交[BE]于点[I]，则[GF∥AE]，[HF∥DI]. 所以[∠EAI=∠HFG]. 因为[∠BAI=∠GFE=90°]，所以[∠BAE=∠BAI+∠EAI=]

[∠GFE+∠HFG=∠HFE]，因此[△ABE≌△FHE]得证. 由此，BE = HE，[∠AEB=∠FEH]，得到[∠HEB=90°]. 至此第（2）小题得证，此为思路1.

其实，在图8中作不同的辅助线，将[MN]转化为不同三角形的中位线，也会对应产生第（2）小题的其他证明思路.

思路2：由图10到图11，证明[△FME≌△CMH]和[△CHB≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][图10] [H] [E][F][G][B][C][D][A] [H] [M][N][I][图11]

思路3：由图12到图13，证明[△CBN≌△HEN]和[△FEH≌△EAB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N][图12] [H] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N][图13]

思路4：由图14到图15，证明[△BNH≌△ENF]和[△BHC≌△AEB].

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [H] [图14] [E][F][G][B][C][D][A][H] [M][N] [图15]

思路2 ～ 思路4与思路1的方法本质上是一样的. 在如图8所示的特殊旋转角度下，除了倍长中线的方法外，还有一种得到梯形中位线公式的方法，就是连接梯形的对角线，将梯形分成两个三角形来处理. 具体思路如下.

思路5：如图16，连接[BF]，与[MN]交于点[Q]，则[MN]被分成两部分——[MQ]和[QN]，它们分别是[△FCB]和[△BFE]的中位线. 如图17，连接[BF]，取[BF]的中点[Q]，连接[MQ]，[NQ]，易证得[MQ=12AB]，[MQ⊥AB]，[QN=12AE]，[QN⊥AE]. 所以，为了得到[MN⊥BE]且[MN=12BE]，需要证明[△QMN∽△ABE]，且相似比为[12]. 证明过程中的一个难点仍然是通过导角得到一对夹角相等，即[∠BAE=∠MQN]. 其证明方法与前面类似，在此不再赘述.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [Q][图16] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [Q] [图17]

思路6：如图18，连接[CE]，交[MN]于点[P]. 如图19，连接[CE]，取[CE]的中点[P]，连接[PM]，[PN]. 需要证明[△PMN∽△AEB]，且相似比为[12]. 该思路与思路5完全一样.

[E][F][G][B][C][D][A][M][N] [P][图18][图19] [E][F][G][B][C][D][A] [M][N] [P]

以上关于第（2）小题的六种思路，都是从特殊情形到一般情形的类比和推广. 虽然此小题解答中所需的辅助线较多（3条以上），但因为都是从特殊情形得到思路和方法的启发，学生容易理解，解题教学中也易于引导学生想到.

3. 直观想象，合理推算

对于第（3）小题，学生解题的难点是难以想象出[QN]扫过的图形是怎样的. 在正方形[AEFG]旋转一周的过程中，要同时把握两个动点的难度较大. 自然的想法是，分别确定点[Q]和点[N]的运动路径. 先看点[N]，选择观察[△BAE]，因为[AE]在转时[BE]跟着转，而[AB]没动. 如图20，取[AB]的中点[S]，连接[SN]，由三角形中位线定理，得[SN=12AE]，其中点[S]固定，[AE]的长度不变，则[SN]的长度也不变，于是点[N]在以点[S]为圆心，[AE2]长为半径的圆上. 同理，连接[QS]，[AF]，点[Q]在以点[S]为圆心，[AF2]长为半径的圆上. 这样，旋转一周，[QN]扫过的图形是一个圆环，其面积可以用两圆的面积之差求得. 第（3）小题得解，此为思路1.

[图20] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q] [S]

回顾思路1，既然利用三角形的中位线定理，其实不必要取到[AB]的中点. 如图21，直接观察[△BEF]，[QN]正是[△BEF]的中位线，即[QN∥EF]且[QN=12EF]. 当正方形[AEFG]绕点[A]旋转一周时，[EF]也绕点[A]旋转一周，且在旋转过程中，[QN]与[EF]的数量关系和位置关系都保持不变. 从点[B]作为顶点来看，[QN]运动形成的图形与[EF]运动形成的图形形成一种特殊的相似——位似（同侧位似），且相似比为[12]. 而点[E]绕点[A]旋转形成的圆的半径为[EA]，点[F]绕点[A]旋转形成的圆的半径为[FA]，故[EF]转一圈扫过的图形为一个圆环. 可以由两圆半径长求出两圆的面积，作差即可求得圆环的面积. 由位似的性质，可以类比判断[QN]扫过的图形也为一个圆环，其面积为[EF]扫过图形面积的[14]（因为相似比为[12]）. 此为思路2.

[图21] [E][F][G][B][C][D][A] [N][Q]

因为人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“人教版教材”）中并没有给出三角形之外的其他图形相似时面积的比等于相似比的平方的结论，所以对于思路2的解答，还需要严格写出该结论的证明. 考虑到用类比的方法思考得出该题结论是行之有效的数学思想方法，所以笔者认为这也是命题者将第（3）小题设置为“直接写出结论，不必证明”的高明之处.

四、教学启示

合情推理是指“合乎数学情理”的推理，是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果. 在数学研究中，为得到新结论或方法，合情推理能提供问题研究的思路和方向.

1. 渗透合情推理，助力问题解决

数学的合情推理方法由观察与试验、不完全归纳、特殊化与一般化、类比、直觉与想象五个方面的元素组成，其中又以通过不完全归纳和类比得到数学猜想作为关键体现. 合情推理的这五个方面在以上题目的解答探究中都有深刻的渗透，具体表现如下.（1）通过观察，发现题目的本质是寻找旋转变化中的不变关系，故选取特殊的旋转位置画图进行试验寻求结论与方法；（2）从特殊位置的结论猜测一般情况下的结论属于不完全归纳；（3）为打开思路选取了0°，90°，180°等比较特殊的角度，是要借助特殊角度时解决问题的方法的启发，进而探求一般化后的本质规律；（4）第（3）小题由相似三角形的面积比等于相似比的平方类比猜测相似圆环的面积比也有此性质，做到敢于类比、大胆猜想、善于转化、严格求证；（5）学生在不使用几何画板软件等信息技术工具的情况下，在头脑中通过有限的点而直觉想象加工出圆的轨迹及圆环. 几何对象间存在的相通性，为直观想象提供了类比的依据和启示.

2. 强化合情推理，把握探究教学

第（2）小题中作倍长中线或作对角线的方法，源于人教版教材第18章“平行四边形”. 虽然该章是关于四边形的内容，但渗透了大量平行四边形与三角形之间的相互转化. 合情推理思想在该章教学中也有很多体现. 例如，通过观察、度量具体的平行四边形，用不完全归纳的方式猜想平行四边形的性质；通过连接平行四边形的两条对角线，将其化归为四个三角形，运用三角形的性质得出平行四边形的性质，发现对角线互相平分；在探索并证明三角形的中位线定理时，通过构造平行四边形，把三角形的问题类比转化为平行四边形的相应问题，利用平行四边形的性质得到三角形中位线定理，此为“反向类比，相互转化”；基于性质与判定的互逆关系，反向类比，大胆猜测并发现结论；对菱形性质与判定的探讨，完全类比矩形的性质与判定展开. 好的解题想法并非空穴来风，教材中的探究方法往往是解决问题的方法源泉，更彰显了合情推理的思想光辉. 合情推理大量存在于初中数学的教学内容中，不限于几何. 例如，对于同底数幂的乘法教学，人教版教材中先举出几个具体的数字和字母的算例，让学生观察计算结果并直觉感悟规律，然后用不完全归纳的方式提出同底数幂的乘法公式，再用[am ∙ an]的抽象代数式运算（演绎推理）验证公式. 对合情推理思想的深入理解，有助于教师更好地把握和认识探究式教学.

3. 重视合情推理，优化思维链条

合情推理是获得数学猜想的基本方法. 好的合情推理，就像数学解题探索过程中一个合适的引路人. 每个人在解题过程中都会有一些猜想，如在证明一个数学结论之前，可以直觉感知或者猜测结论；在得出详细的证明之前，需要猜测证明的思路；根据条件顺推或者根据结论逆推时，还可以根据条件特征猜测中间结论作为桥梁；在探索解题策略或路径的过程中，有时需要做选择，选择也是一种猜测；一次次地类比后进行尝试，当尝试的路走不通时，需要判断猜测是否有误，并分析该回到哪里重新猜测；等等. 通过合情推理得出的数学猜想未必都是正确的，必须经过严密的演绎推理，要么证明确认，要么找出否定猜测的数学反例. 应用合情推理不仅可以培养学生认真观察事物、分析事物和发现事物之间的本质联系的良好品质，还可以培养学生善于发现问题、探求新知的创新意识.

4. 丰富活动经验，提升推理水平

培养学生的合情推理能力没有固定的模式和方法，但通过加强数学思维活动，积累活动经验，可以有效增强学生合情推理的意识和水平. 以直觉为例，不同的人在同一问题上的直觉往往是不一样的，这不仅取决于其知识结构和认知方式，还取决于在以往认知活动中所积累的思维活动经验. 几何教学中，教师切忌直接告诉学生几何结论，或者在一开始就连好所有的辅助线，也不能把学生做不出几何题全部归因于没能作出辅助线，而是要让学生经历观察、操作等活动过程，直观感知几何图形的性质和结构，通过合情推理探索可能的几何结论. 通过合情推理猜想的结论可能是错的，这也是正常的，但如果因为实验几何和合情推理缺少一定的严谨性就跳过这个环节，这是不应该的. 为了增加合情推理的可靠性，教学中要将实验几何与论证几何有机统一，多在实验几何环节让学生积极尝试、思考和反思，积累活动经验；多引导学生从特殊值、特殊点、特殊角度入手，在复杂变化的图形中把握问题中的不变量，从尝试多画草图和测量估计入手，感知条件的本质，推敲猜想过程中的合理性，及时感知或预警错误并调整猜想. 题目的第（2）小题中，假如在特殊的旋转角度下仍然探究不到明确结论，还可以考虑假定两个正方形的边长取特殊的数量比值的情形. 即使学生直接套用“中线倍长”顺利得到解答，也应该引导学生解后重新将图形退到特殊情形，从而感悟方法的本质和源头.

演绎推理用来肯定数学结论，而合情推理用来猜想并发现数学结论. 类似地，运算中也有估算与精算的区别. 在解决代数问题的过程中，往往可以先依赖数感对所求对象进行估计并评估合适的运算策略或路径，然后再进行精确运算求解. 这种运算和推理中颇为相似的模式可以总结为图22.

两种思维模式在数学中是同等重要的. 从脑科学研究的角度来说，两种思维模式是在大脑的不同部位发生的：演绎推理的过程属于精算加工，更多地激活人脑的左侧颞叶区域；合情推理与估算一样，是一种概略化结果的认知加工过程，更多地激活人脑的双侧上顶叶区域. 而且它们具有不同的脑机制，相互支撑、交互发展. 虽然演绎推理是合情推理的自然延伸，且数学又是演绎推理和合情推理思想的辩证统一，但对学生合情推理能力的培养模式与演绎推理能力并不相同. 因此，要加强合情推理能力的培养，助力数学核心素养的培养，联系和协同两种不同脑机制，奏好直觉和逻辑的交响乐，发挥数学自身的力量，实现学科育人的目标.

参考文献：

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