基于轴对称视角评析中考几何压轴题

摘 要：2024年中考数学浙江卷压轴题为几何综合题，问题条件简洁，蕴含的结论丰富. 圆的轴对称性作为圆中最基本的性质，在此题中起到了决定性作用. 聚焦圆的轴对称性，对最后一道小题的通性通法、数学本质、一般化推广进行研究，并给出试题的命制评析和教学建议.

关键词：中考压轴题；圆；轴对称；核心素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）10-0045-05

引用格式：闻国梁，张安军. 基于轴对称视角评析中考几何压轴题：对一道2024年中考试题的评析［J］. 中国数学教育（初中版），2024（10）：45-49.

作者简介：闻国梁（1990— ），男，一级教师，主要从事初中数学教学和解题研究；

张安军（1975— ），男，正高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.

2024年浙江省开始实施初中学业水平考试（以下统称“中考”）省级统一命题. 首次实施省级统一命题的中考数学试卷的题型和难度不仅受到广大师生的关注，而且对后续中考数学的备考具有一定的导向作用. 2024年中考浙江卷的压轴题是一道圆与三角形、四边形相结合的综合题，其中考查的知识点、基本方法、数学本质、变式推广具有一定的研究价值. 本文从此题的条件和所要求证的结论出发展开分析，聚焦圆的轴对称性，探究问题解决的通性通法和数学本质，最后对结论进行一般化推广.

一、题目呈现

题目 如图1，在圆内接四边形ABCD中，[AD<][AC]，[∠ADC<∠BAD.] 延长AD至点E，使[AE=][AC]，延长BA至点F，连接EF，使[∠AFE=][∠ADC].

[图1]

（1）若[∠AFE=60°]，CD为圆的直径，求∠ABD的度数.

（2）求证：①[EF∥BC]；②[EF=BD].

作为中考压轴题，此题的条件和图形非常简洁. 为了聚焦文章的核心内容，略去对前面问题的讨论，直接对第（2）小题第②问的解法、本质和变式进行研究.

二、基于定性分析，确定图形结构

图形结构，即图形中线段之间的位置和数量关系. 能否根据题中所给条件，确定图形的结构呢？分析题中的主干条件，并进行整理，得到如表1所示的图形结构.

其中，条件①“圆内接四边形ABCD”等价于[∠ADC+∠ABC=180°]；对于条件⑤“[∠AFE=∠ADC]”，结合[∠ADC+∠ABC=180°]，可得[∠AFE+∠ABC=180°]. 所以[EF∥BC]. 可以按照如下顺序确定该试题的图形结构：先画一个圆内接四边形ABCD，满足限制条件“②[AD<AC]”“③[∠ADC<∠BAD]”，再在AD的延长线上取点E，满足条件“④[AE=AC]”，最后过点E作[EF∥BC]，交BA的延长线于点F. 虽然根据题中所给条件无法确定四边形ABCD的形状，但是当四边形ABCD确定后，△AEF也随之确定. 第（2）小题第②问，即证明四边形ABCD在变化的过程中，所蕴含的不变性条件为[EF=BD].

三、基于合情推理，开展演绎证明

解题成功的关键在于选择正确的角度，从容易突破的点入手，寻求问题的求解路径.

1. 构造全等三角形

题目中已知的边的数量关系有[AE=AC]，角的数量关系有[∠AFE=∠ADC]. 圆中也包含与角相关的诸多性质，如同弧所对的圆周角相等，圆的内接四边形的对角互补等. 要证[BD=EF]，学生容易想到证明线段EF和线段BD所在的两个三角形全等. 虽然线段AE和线段EF是△AEF的两条边，但是线段AC和线段BD不在同一个三角形中. 于是构造一个以线段AC和线段BD为边的三角形是求解此题的难点. 我们不妨来转化线段AC.

如图2，构造过点D的弦DG，使[DG=AC]（当然也可以构造过点B的弦，这里不重复说明）. 在圆中构造一条弦等于已知弦的方法是多样的，可以过点C作一条与弦AD平行的弦CG，连接DG. 因为圆是轴对称图形，也可以通过轴对称变化，作线段AC关于线段AD的垂直平分线的对称线段DG. 从而将线段AC和线段DB集中在一个三角形中.

[图2]

证法1为根据轴对称变换构造辅助线的证明方法.

证法1：如图3，作线段AC关于线段AD的垂直平分线的对称线段DG，连接BG. 根据圆的轴对称性，可得点G在圆上，且[DG=AC]. 则[AC=DG]. 所以[∠ADC=][∠DBG]. 因为[∠AFE=∠ADC]，所以[∠AFE=∠DBG]. 因为AE = AC = DG，[∠EAF=∠DGB]，所以[△AEF≌][△GDB]. 所以[EF=BD].

[图4] [图3]

上述证法通过在圆内构造三角形全等证明线段相等. 考虑到线段AE与AC相等且有一个公共的端点A，于是可以将△AEF绕点A顺时针旋转[∠EAC]的度数得到[△AEF]，如图4所示. 只要证明点[F]在圆上即可. 这一方法的本质也是利用全等三角形的性质完成证明，这里不再赘述.

2. 构造相似三角形

题中已知的数量关系有[AE=AC]. 要证[BD=EF]，如果能证明比例式[AEEF=ACBD]，即可得证. 由第（2）小题第①问的结论[EF∥BC]，想到构造与[△AEF]相似的三角形. 如图5，延长EA，CB交于点G，即可得到[△AGB∽△AEF]. 根据圆中的相关性质，可以得到[△AGC∽△BGD]，通过相似三角形的性质，即可求证[EF=BD]，于是得到了下面的证法.

[图5]

证法2：如图5，延长EA，CB交于点G. 因为[EF∥][BC]，所以[∠E=∠G]，[∠AFE=∠ABG]. 所以[△AEF∽][△AGB]. 所以[AEEF=AGGB]. 因为[∠AGC=∠BGD]，[∠ACB=][∠BDA]，所以[△AGC∽△BGD]. 所以[AGBG=ACBD]. 所以[AEEF=ACBD]. 因为[AE=AC]，所以[EF=BD].

3. 构造等腰三角形和平行四边形

构造等腰三角形和平行四边形也是证明线段相等的常用方法. 题中已知的数量关系有[AE=AC]，可以构造等腰三角形AEC. 要证明[BD=EF]，能否构造以BD为腰的等腰三角形呢？联想第（2）小题第①问的结论EF∥BC，自然想到构造平行四边形，得到下面的证法.

证法3：如图6，连接EC，过点E作[EH∥BF]，交BC的延长线于点H. 所以四边形EFBH是平行四边形. 所以[EF=BH，∠EHB=∠AFE]. 因为[∠AFE=∠ADC]，所以[∠EHC=∠ADC]. 所以C，D，E，H四点共圆. 则[∠AEC=∠DHB]. 因为[∠DBC=∠DAC]，所以[△ACE∽][△BDH]. 所以[ACBD=AEBH]. 因为[AC=AE]，所以[BD=BH]. 因为[EF=BH]，所以[EF=BD].

[图6]

四、试题的推广

一道好的数学题往往令人回味无穷，浮想联翩. 解题完成后对题目进行重新审视，发现条件“[AD<][AC]”“[∠ADC<∠BAD]”在解题过程中好像没有起到太大的作用，那么能否去掉呢？带着这个疑问，笔者深入探究，同时聚焦图形轴对称的本质，对条件和结论进行普遍化、特殊化、类比、分解和重组等操作，设计变式进一步推广结论.

1. 去掉条件[AD<AC]

当[AD=AC]时，点E与点D重合，如图7所示. 因为[AE=AC]，即AD = AC，所以[∠ADC=∠ACD]. 因为[∠ABE=][∠ACD]，[∠AFE=∠ADC]，所以[∠ABE=][∠AFE]. 所以[EF=BD]，结论成立.

[图7] [图8]

如图8，当[AD>AC]时，点E在线段AD上. 此时仍然可以利用轴对称变化，将线段AC和线段BD集中到一个三角形中，通过证明[△AEF≌△GBD]来证明[EF=][BD]，结论仍然成立. 这说明条件[AD<AC]是可以省略的.

变式1：如图9，在圆的内接四边形ABCD中，[AD>][AC]，[∠ADC<∠BAD]. 在线段AD上取点E，使[AE=AC]，过点E作[EF∥BC]，交BA的延长线于点F. 求证：[EF=BD].

[图9]

此变式中的[△AEF]需要学生自行作图. 虽然点E的位置发生改变，但是解决问题的方法不变，结论仍然成立.

2. 去掉条件[∠ADC<∠BAD]

如图10，当[∠ADC=∠BAD]时，点F与点A重合. 因为[∠ADC=∠BAD]，所以[AC=BD，AC=BD]. 所以[AB=CD.] 所以[∠ACB=∠CAD]. 所以[BC∥AD]. 因为[EF∥][BC]，所以点F与点A重合. 因为[AE=AC]，所以[EF=][BD]. 此时，虽然[∠FAE]不存在，但是结论仍然成立.

[图10]

如图11，当[∠ADC>∠BAD]时，点F在线段AB上. 作AC关于线段BC的垂直平分线的对称线段BG，连接DG. 由轴对称的性质，可得[BG=AC]. 所以[BG=AC=AE]. 所以[∠BDG=∠ABC=∠AFE]，[∠BGD=][∠BAD]. 所以[△AEF≌△GBD]. 所以[EF=BD]. 结论仍然成立，说明条件[∠ADC<∠BAD]可以省略.

[图11] [图12]

变式2：如图12，在圆的内接四边形ABCD中，[AD<AC]，[∠ADC>∠BAD]. 在线段AD的延长线上取点E，使[AE=AC]，过点E作[EF∥BC]，交线段AB于点F. 求证：[EF=BD].

此变式中的△AEF需要学生自行作图. 虽然点F的位置发生改变，但是解决问题的方法不变，结论仍然成立.

变式3：在圆的内接四边形ABCD中，AC和BD是四边形ABCD的对角线，点E在线段AD上（不与点A，D重合），过点E作[EF∥BC]，交线段BA的延长线于点F，求证：[EFBD=AEAC].

此变式对条件进行了一般化处理，需要学生自行作图. 其中，点F的位置有三种情况：① 当[∠ADC=][∠BAD]时，点F与点A重合；② 当[∠ADC>][∠BAD]时，点F在线段AB上；③ 当[∠ADC<∠BAD]时，点F在线段BA的延长线上. 此变式的解法还是通过图形的轴对称变化，将线段AC和线段BD转化到同一个三角形中，证明该三角形与[△AEF]相似.

变式4：在圆的内接四边形ABCD中，AC和BD是四边形ABCD的对角线，[AD<AC]. 在线段AD上取点E，在直线AB上取点F，连接EF，且满足[EFBD=AEAC]，探究[∠AFE]与[∠ADC]的数量关系，并说明理由.

与变式3相比，变式4将条件和结论进行了对换. 此时[∠AFE]和[∠ADC]之间的数量关系有两种情况，即[∠AFE=∠ADC]或[∠AFE+∠ADC=180°].

五、对试题命制的评析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）对第四学段“图形与几何”领域学业质量描述中指出，知道运动过程中的不变量、图形运动的变化特征，能运用几何图形的基本性质进行推理证明，初步掌握几何证明方法，进一步增强几何直观、空间观念和推理能力. 几何试题的评价要凸显几何直观、空间观念和推理能力等核心素养的主要表现.

首先，素养立意下的适度创新. 通过对上述解法的分析与拓展，发现命题者以素养立意为导向来选择合适的素材. 近年来，各地区中考数学试卷中压轴题的命制倾向于以圆为背景的综合性试题，聚焦对圆内部图形的性质探究. 但此题的命制却另辟蹊径，将圆的内接四边形延伸到圆外的三角形，以圆为关联，架构对圆的内接四边形与圆外部三角形关系的研究. 看似“年年岁岁花相似”，但“岁岁年年花不同”. 由于立意不同，试题内涵与同类试题也大相径庭，有效地避免了学生对同类型题的重复练习.

其次，聚焦对“图形与几何”领域的核心内容进行考查. 基于平行线、直角三角形、圆、等腰三角形等几何基本图形，考查了学生对平行线的判定定理、圆周角定理、圆心角定理、全等三角形等基础知识的掌握情况，以及综合利用圆的内接四边形的对角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识解决问题的能力.

在具体设问上，第（1）小题设置圆心在圆的内接四边形的一条边上，由已知圆外三角形的一个外角探索圆内的圆周角. 第（2）小题由两个小问组成. 第①问中，由圆心在圆的内接四边形的边上这个特殊位置到一般位置的变化，体现了从特殊到一般的转化思想，让学生探究圆外三角形的主要元素边EF与圆的内接四边形ABCD的主要元素边BC的位置关系；第②问中，让学生继续探究圆外三角形的主要元素边EF与圆的内接四边形ABCD的相关元素对角线BD的数量关系，重视对数学本质的考查.

最后，设问前后连贯、层次分明. 整道题的设问聚焦圆的内接四边形ABCD的主要元素及相关元素与圆外部三角形的主要元素的位置关系和数量关系. 各小问进阶层次分明、前后连贯、逻辑一致，很好地体现了逻辑推理的传递性. 解答的起点低、入口宽，各小问之间层层推进. 最后一问的证明方法多样，在构造全等三角形、相似三角形和等腰三角时，蕴含尺规作图或几何变换等方法，不仅考查了学生几何学习的核心内容和通法通性，也考查了学生的空间观念、几何直观和推理能力，更凸显了思维的深刻性和灵活性，能很好地引领教与学.

那么，什么样的试题才是好的试题呢？吴增生认为，好的试题有以下三个特征：试题的有效性与可靠性；试题的教育性；试题的教学导向性. 通过上述分析，发现该题具有这些特征.

六、教学建议

《标准》在学业水平考试中，明确要求问题的设置要有利于考查对数学概念、性质、关系、规律的理解、表达和应用，注重考查学生的思维过程. 2024年中考浙江卷的几何压轴题条件简洁、内涵丰富而又深刻. 问题聚焦对“图形与几何”领域基本概念和基本性质的考查，在几何推理过程中显露了学生的思维过程，考查了学生的几何直观和推理能力等素养，彰显了“坚持素养立意，凸显育人价值”的命题原则. 对于在日常的几何教学中如何提高学生的推理能力，笔者给出如下建议.

1. 关注图形的构造过程

图形不仅是几何题目的研究对象，对于很多与几何没有关系的题目，图形也是一个重要的帮手. 如果一道几何题中有很多细节，我们不可能同时想象出所有的细节，但它们却能同时体现在一个图形中. 当题中没有给出图形时，我们要根据所给条件画出对应图形，并将题中所给的条件尽可能多地标注在图形上. 当题中给出图形时，也要引导学生思考图形的要素是如何构造出来的，即思考：先确定什么要素，再确定什么要素？图形的结构（形状）是唯一确定的吗？图形的大小确定吗？例如，对于图2，教师可以追问学生：“点E和点F是如何确定的？你能根据题中所给的四边形ABCD画出△AEF吗？”作图就是确定点的位置，通过两条轨迹的交点来作出这个点. 点E容易找，但是点F的位置不好确定，需要将[∠AFE=][∠ADC]的条件转化为[EF∥BC]的位置关系. 对于变式1和变式2，需要构造△AEF；对于变式3，则需要构造出全部图形，同时点F的位置有三种情况，结论不变；对于变式4，根据条件可知满足要求的点F的位置有两个，所以[∠AFE和∠ADC]之间的数量关系存在两种情况. 思考作图的先后顺序可以有效引导解题思路，为解题提供重要线索. 因此，关注图形的构造过程，可以培养学生有序思考的习惯和严谨的逻辑思维，提升学生的几何直观素养.

2. 关注图形的对称结构

几何证明题的难点在于转化已知条件，建立条件与结论之间的联系. 这需要教师从中“牵线搭桥”.“造桥”的灵感来自于哪？是否有迹可循？章建跃博士认为，我们应该追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的解题操作. 圆的对称性是圆最基本的性质，基于对称性可以推导出垂径定理等性质. 同时，图形的轴对称变化也是图形变化、转化条件的重要方法. 因此，在日常教学中，教师要引导学生关注图形的整体结构. 例如，在圆的单元复习课的导入环节可以设置如下问题：“圆是轴对称图形，在圆中添加任意一条弦还是轴对称图形. 如果在圆中添加两条弦，你能得到哪些轴对称图形？尽可能多地画出不同图形并标出对称轴.”学生在进行充分地思考、画图、交流、补充后，可以得到如图13 ～ 图16这四种对称结构，而题目最后一问的基本图形结构就是图15和图16. 与圆相关的问题往往是这些图形的分解和重组. 因此，教师要引导学生关注图形的对称结构.

[图13] [图14]

[图15] [图16]

七、结束语

正如罗素所说，数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且具有至高的美. 对于这道以核心素养为导向的中考试题，从轴对称的视角看图形的整体结构，不但多种解法油然而生，而且能使学生从中感悟数学的本质、解题的通性通法和图形结构的对称美.

参考文献：

［1］波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法［M］. 涂泓，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2011.

［2］章建跃. 章建跃数学教育随想录（下卷）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.

［3］吴增生. 初中数学毕业考试命题变革的思考与实践［J］. 数学通报，2021，60（1），41-51.