基于深度学习的“说数学”教学方式探索

摘 要：结合初中数学教学实际，基于深度学习理念设计“一次函数复习课”的教学，通过让学生“说数学”，推动学生经历自主思考、探索、梳理、归纳、总结的学习过程，进而促进学生自主建构一次函数知识体系，以及对数学思想方法的理解和运用，达成对一次函数深度学习的教学目标.

关键词：深度学习；说数学；一次函数

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-8284（2024）10-0036-05

引用格式：张加林，沈顺良. 基于深度学习的“说数学”教学方式探索：以“一次函数复习课”的教学为例［J］. 中国数学教育（初中版），2024（10）：36-40.

深度学习是我国全面深化课程改革、落实核心素养的重要途径. 它是发展学生核心素养的学习，更是师生共同经历的一场智慧之旅. 旅程的终点不是让学生获得一堆零散、呆板、无用的知识，而是让他们能够积极、充分、灵活地运用这些知识去理解现实世界、解决问题、学以致用. 由此，不难发现它与《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）的课程理念不谋而合.《标准》中强调了数学教学过程中教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、合作交流，使学生理解并掌握基础知识和基本技能.

基于此，笔者对“说数学”的教学方式展开实践探索，发现“说数学”是引导学生开展深度学习的有效途径.“说数学”是指教师在数学教学过程中启发、引导学生主动参与知识探究和学习实践，呈现并表达自己探索发现的数学结论，提出自己对知识建构的独到见解，再现个性化的知识体系，并表达疑惑、困难和学习心得的交流活动. 以“一次函数复习课”的教学为例，通过让学生经历不同层级的“说”，推动其主动梳理知识的发生发展过程，提升学生的数学认知能力，激发学生学习数学的兴趣，逐步达成深度学习的教学目标.

一、说知识，展现学生对数学知识的掌握与建构程度

让学生说出所学的数学知识，从表面来看是要求学生整理相关的学习所得，更重要的是促使学生主动寻找知识点之间的联系，建构数学知识体系，形成对知识的整合. 在“一次函数复习课”中，通过设计“说一说直线的故事”的活动，引导学生对一次函数的基础知识进行梳理.

教学片断1：说一条直线的故事.

师：直线[y=kx+b]的图象如图1所示，你能得到关于这条直线的哪些数学知识？

[图1][-3][O][x][y][6]

生1：可以求出该直线的表达式为[y=2x+6].

生2：[k>0]，且y随着x的增大而增大.

生3：图象经过第一、二、三象限.

生4：可以求出直线与坐标轴的交点坐标，也可以求解方程[kx+b=0]，即[2x+6=0.] 解得[x=-3].

生5：可以求解不等式kx + b > 0，即2x + 6 > 0. 解得x > -3.

【设计说明】通过看图“说”知识，既复习了用待定系数法求一次函数表达式，又复习了一次函数的图象与性质，并借助图象的直观性得到了相关方程与不等式的解．

师：如图1，当y取2，4，6时，说说可以分别得到什么样的方程？它们的解都是多少？

生6：当y取2，4，6时，对应的方程分别是2x + 6 = 2，2x + 6 = 4，2x + 6 = 6. 方程的解分别是x = -2，x = -1，x = 0.

【设计说明】由一条直线上的不同定点得到对应的方程，进而得出一般情况下方程kx + b = m的解就是当y = m时所对应的x的值，如图2所示. 以上片断呈现出了函数与方程之间密不可分的关系，体现了数形结合思想.

[图2][-3][O][x][y][6]

师：如图2，在x轴上方的图象上再确定一些点，写出相应的方程，思考当所取的点在x轴上方的图象上时，得到的这些方程有什么共同特点？由此你联想到了哪个不等式？它的解是什么？

生7：由y > 0，得kx + b > 0，即2x + 6 > 0.

生8：不等式2x + 6 > 0的解为x > -3.

生9：当所取的点在x轴下方的图象上时，y < 0，即2x + 6 < 0. 解得x < -3.

【设计说明】学生在不断尝试构造方程的同时，不仅快速说出了不同定点对应方程的共性特征，还自然生成了由数形结合思想得到的不等关系，有效促进了不等式、方程、函数三者之间的融合，初步形成了深度学习的思维广度与深度.

教学片断2：说两条直线的故事.

师：直线y1 = 2x + 6记为l1，在平面直角坐标系中，有另外一条不重合于直线l1的直线l2，此时直线l1与直线l2有几种位置关系？

生：平行、相交.

师：大家相互交流，说说这两种位置关系中可能会蕴含哪些数学知识？

情况1：如图3，两条直线相交. 已知直线l2：[y2=-12x+1].

生1：求得直线l1与直线l2的交点坐标为[-2，2].

生2：可以求出直线与坐标轴围成的三角形、四边形的面积.

[l1：y1 = 2x + 6][l2：y2 = 2x - 5] [-3][O][x][y][6] [图4][l1：y1 = 2x + 6] [-3][O][x][y][6][l2：y2 =[-12]x + 1] [图3]

情况2：如图4，两条直线平行. 已知直线l2：y2 = 2x - 5.

生3：将直线l1向下平移11个单位长度得到直线l2.

【设计说明】在之前说一条直线的基础上，让学生主动探索两条直线的位置关系. 通过回顾两条直线不同的位置关系产生的不同数学问题，归纳总结出如下规律：两条直线相交时的交点问题可以转化为把两个函数的表达式联立组成方程组，求这个方程组解的问题；不等式问题可以转化为在平面直角坐标系内以两条直线的交点为分界点的位置关系问题；两条直线平行的问题可以转化为两条直线的平移问题. 上述过程从多个角度呈现了一次函数与方程、方程组、不等式函数图象等知识之间的转化，使学生对数学知识的本质及其内在的结构体系了解得更加透彻，为其后续学习提供了更多方法技能，有效推进了学生深度学习能力的提升.

二、说解法，呈现学生对数学问题的分析水平与解决能力

用不同的方式、方法解决问题是激发学生发散思维的一个切入点. 通过让学生说解法，尤其是说说各自不同的解题思路是呈现学生数学思维的重要方法，是促进深度学习发生的重要载体. 在“一次函数复习课”的教学中，笔者多次鼓励学生表述自己的解法与思路，充分展现了学生的思维能力，激发了学生思维碰撞的火花.

教学片断3：解不等式.

师：如图1，当y > 0，即kx + b > 0时，x的取值范围是多少？

生1：通过解不等式2x + 6 > 0，得x > -3.

师：当x > 0时，y的取值范围是多少？

生2；先将y = 2x + 6变形为[x=y-62]，然后解不等式[y-62>0]，解得y > 6.

师：还有不同的解法吗？同学们相互交流一下.

生3：从图象可以看出不等式2x + 6 > 0其实就是直线y = 2x + 6在x轴上方的部分，对应的x的取值范围为x > -3；当x > 0时，对应的图象就是直线y = 2x + 6在y轴右侧的部分，此时y > 6.

【设计说明】三名学生的回答呈现了对一元一次不等式解法的不同思考. 他们分别从代数法与图象法的角度求解不等式，为后续解决数学问题打开了更加宽广的思维空间.

师：如图5，两条直线l1：y1 = 2x + 6，l2：[y2=][-12x+1]交于点A，求解不等式2x + 6 >[-12x+1].

[l1：y1 = 2x + 6][l2：y2 = [-12x+1]][直线x = -2][x][y][O][图5]

生4：根据图象可以看出y1 > y2对应的图象是直线x = -2右侧的部分，故所求不等式的解是x > -2.

生5：我是直接解不等式2x + 6 >[-12x+1]，得x > -2.

【设计说明】通过之前的铺垫，两条直线相交问题中的不等式求解就自然地呈现出来，进而考查了学生的数形结合思想和转化能力. 同理，在求解方程组[2x-y=-6，12x+y=1]的过程中，也让学生说出自己的解法，使不同的思维得以碰撞，让学生在自我表达的过程中提升对问题解决的反思能力，呈现了学生解决数学问题的思维能力.

三、说应用，呈现学生对生活问题的理解与数学化过程

数学学习的本质是学生对生活常识数学化、系统化的过程.“说数学”很大程度上体现的是学生对数学知识、数学方法和解题过程的表述，而生活问题的数学化过程是初中阶段学生学习数学的难点之一，也是数学学习价值的重要表现之一，更是学生深度学习的延伸与应用. 因此，笔者认为，让学生“说应用”是“说数学”中更高一层的要求，是将生活问题数学化呈现的过程，对学生后续的学习与生活有着积极的推动作用.

教学片断4：说应用——函数模型的得到.

例1 某电信公司提供的上网收费标准有两种方案，如表1所示. 在服务质量相同的情况下，如何选择上网方案？

表1

[套餐费用 方案A 方案B 每月基本服务费 / 元 0 20 每分钟上网费用 / 元 0.1 0.05 ]

生1：我们可以假设几种情况，经过计算、对比方案A和方案B哪个更便宜，就选择哪个.

生2：可以将每个月的上网费用与上网时间表示成一次函数关系.

师：同学们尝试从一次函数的数与形两个层面来分析、解决这个生活问题.

生3：设每个月的上网费用为y（元），上网时间为x（分），两种方案可以分别用一次函数来表示，即yA = 0.1x，yB = 0.05x + 20，其函数图象如图6所示. 选择哪个方案就是比较yA与yB的取值大小.

[400][20][O][x / 分][y / 元][方案A][方案B][40][图6]

【设计说明】对于一个以文字和表格描述的生活问题，如何将其分析清楚，进而转化为学生能够处理的数学问题是解决问题的突破口. 让学生在说生活问题的过程中推进小组合作交流，有效促进其对生活问题的数学化认识，使学生逐步形成自主思考问题、寻求解决思路、构建数学模型的能力.

教学片断5：说应用——图象信息的获取.

生活问题往往会以不同的形式展现在我们面前. 一方面，要注重对生活问题进行分析，寻求合理地解决问题的方法；另一方面，应该关注生活问题本身所蕴含的数学信息.

例2 某医药研究所研发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图7所示. 当成年人按规定剂量服药后，解决下列问题.

[6][3][O][2][5][x / 时][y / 微克][图7]

（1）服药后 小时后，人体血液中含药量最高时，达到每毫升 微克，接着逐步减弱.

（2）服药5小时后，人体血液中含药量为每毫升 微克.

（3）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 .

让学生说一说成年人服药后每毫升血液中含药量y随时间x的变化情况.

生1：人体血液中的含药量随着时间的增加而减少，直到血液中的含药量减少到0.

生2：从图象可以看出，人体血液中的含药量先增加，然后逐渐减少.

【设计说明】学生通过自主思考，可以较快地从图象中获取相关信息解决第（1）（2）小题. 对于第（3）小题的解决，则需要理解药物在人体血液中含量的变化情况，在此基础上获取图象中时间与人体血液中含药量之间的关系.

生3：当人体血液中的含药量逐渐增加时，y关于x之间的函数表达式为y = 3x[0≤x≤2]；当人体血液中的含药量逐渐减少时，y关于x的函数表达式为y = -x + 8[2<x≤8].

师：小组合作交流，求出药物有效的时间范围.

生4：在人体血液中含药量逐渐增加的阶段，当y = 3时，对应的时间是x1 = 1；在人体血液中的含药量逐渐下降的阶段，当y = 3时，对应的时间是x2 = 5. 所以药物有效的时间范围为5 - 1 = 4（时）.

【设计说明】解此例题的关键在于学生对题意的理解和对图象信息的获取. 通过让学生自主挖掘信息、分析处理信息，探索形成解决问题的方案是数学教学的最终目标，也是学生学习数学过程中呈现深度学习成果的关键部分. 因此，通过让学生说应用可以有效呈现学生将生活问题数学化的过程. 结合小组内的合作交流，思维碰撞，加速推动其从学数学到用数学的转变与提升.

四、说感悟，呈现学生对数学理解的内化程度与生成能力

建构主义学习观认为，学习者在获取知识的过程中是主动参与者，学习是学习者基于自身经验构建意义和理解的过程. 因此，学生的数学学习只有借助已有的知识经验并通过自身的操作活动和主动参与才可能是有效的，而学生对学习的感悟就是其内化新知、理解本质后的生成能力，是学生开展深度学习、形成高阶思维的核心环节.

在“一次函数复习课”的最后，笔者设计了如下两项内容.

1. 说一次函数主要的知识网络和蕴含的数学思想

让学生自主建构一次函数的知识脉络图，小组合作，交流完善，然后说说各自的感悟. 学生建构的知识结构图如图8所示.

[一次函数][概念][表达式：y = kx + b（k ≠ 0，k，b为常数）][性质：当k > 0时，y随x增大而增大

当k < 0时，y随x增大而减小] [方程（组）][不等式][数][形] [O][x][y] [O][x][y][一次函数图象] [图8]

虽然学生对一次函数的表述简洁，但说出了一次函数、方程、不等式与一次函数图象之间的联系与转化，还呈现了其对知识点及函数本身的理解. 学生的感悟展现了对知识建构后新知识的生成，是在原有认知基础上整合新知并将其内化为自身数学核心素养的过程. 因此，在数学教学过程中，让学生有所感悟，说说自身的学习感受，不仅是检测学生数学学习的成果的手段，更是强化其思维生成、完成深度学习的重要一步.

2. 说一次函数学习过程中自己出现的典型错误和原因

反思自身学习过程中出现的错误，剖析错误发生的原因，则是学生对所学数学知识全面认识并掌握的重要体现，是学生在后续的学习过程中避免走弯路，直入核心的有效方法. 在求解“当x > 0时，y = 2x + 6的函数值的取值范围是多少”时，笔者发现多名学生将y = 2x + 6变形为[x=y+62]，然后解不等式，得y > -6. 在此过程中，学生通过自查发现了错误，找到了错误根源是移项时忘了变号. 在其他学生表达了借助数形结合思想直接由图象得出y > 6的结果后，这部分学生对此问题的解答有了更深刻的感悟. 相信学生会在今后的数学学习过程中更加注重知识点之间的转化及对解题过程中细节的把握.

五、结束语

让学生在学习数学过程中说出自己所学的数学知识，以及对知识、方法的理解，使其主动探索知识的发生发展过程，体现了“以学为中心”的教学理念，是学生达成数学深度学习的有效路径.《标准》在“实施建议”中指出，教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控，努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动. 在“说数学”的“一次函数复习课”的教学过程中，笔者真正感受到了学生在整个教学活动中的自主思考、探索、梳理、归纳、总结，进而建构出具有个性的一次函数知识脉络及对数学思想的理解. 因此，让学生说一说数学知识、解法、应用、感悟，可以从不同层面呈现学生对数学知识、技能、思想的掌握程度，为教师进一步诊断学生的学习程度和挖掘学生个体潜能提供了更全面、更真实的支撑，是对深度学习目标的教学方式探索的有效实践.

参考文献：

［1］刘月霞，郭华. 深度学习：走向核心素养［M］. 北京：教育科学出版社，2018.

［2］张爱平. 经历过程 渗透思想 发展能力：以沪教版“一次函数的概念”的教学实践为例［J］. 中国数学教育（初中版），2015（6）：35-38.

［3］陈德前. 题组反馈 梳理建构 质疑反思 分层提高：“代数式（复习课）”课堂实录与思考［J］. 中国数学教育（初中版），2015（10）：21-25.

作者简介：张加林（1986— ），男，高级教师，主要从事中学数学教学研究；

沈顺良（1965— ），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.