例析类比法在解题中的应用

摘要：类比法是一种重要的教学方法，其在提高学生思维理解能力，培养学生自主学习能力，发展学生数学素养等方面有突出的作用.在实际教学中，教师应创造机会引导学生对相似、相关的内容进行类比，以此充分发挥类比法的优势，提升教学的有效性.本文中以典型例题为载体，将数学知识与实际问题相结合，充分展示类比法在揭示问题本质，提高学习效率，构建良好解题思维等方面的作用.

关键词：类比法；典型例题；解题思维

类比法在数学教学中比较常见，无论是在新知教学中，还是在复习教学中，亦或是在解题教学中，都随处可见.类比法中的“比”是基础，既要关注相同点，也要关注不同点，借助“比”认清问题的本质，提高学生分析和解决问题的能力.类比与归纳是重要手段，其在加深知识理解，锻炼学生思维能力，提升学生数学素养等方面有重要的作用.在实际教学中，教师要有意识地引导学生对一些相似或相关的内容进行类比，以此突出问题的本质，优化学生的知识结构，帮助学生形成良好的思维习惯，提高学习效率[1].以下笔者以一些典型例题为例，阐述类比法在解题中的作用，以期通过类比帮助学生形成良好的解题思维，提高解题效率.

1 案例分析

1.1 “数”与“形”的类比

众所周知，数缺形时少直观，形缺数时难入微，可见数与形之间有着密切的联系.数形结合既是一种重要的数学思想方法，也是一种重要的解题策略.在解题教学中，通过“数”与“形”的类比可以推测相关性质，从而将抽象的性质以直观化的形式呈现出来，提高解题效率.

例1求x2+4+25+（7－x）2的最小值.

分析：该题是初中阶段比较常见的函数求最值问题，此类问题的解法很多，不过对于该题来讲，若通过配方法、函数的单调性、换元法等来求解显然运算比较复杂，为此在解题时不妨从“形”出发，通过“数”与“形”的类比寻找解题的突破口，有效降低运算难度.认真分析不难发现，原式是两个带根号的数之和，且根号里的式子为两数平方之和，于是易联想到勾股定理，这样不妨将问题转化为三角形问题来解决.根据以上分析，求最小值的问题可以转化为求最短路径的问题.题目如下：图1如图1，已知BD=7，过点B作AB⊥BD，截取AB=2，过点D作DE⊥BD，截取DE=5.若C是线段BD上一点，试求AC+CE的最小值.这样将问题以几何图形的方式呈现出来后，学生根据“两点之间线段最短”可以轻松地解决问题.可见，通过数”与“形”的类比，降低了运算难度，提高了解题效率.

例1获解后，教师可以进行适度的拓展，让学生尝试应用该方法解决一些同类型的题目，以此通过实际运用进一步体会数形结合的优势，促使学生学会运用“数”与“形”的类比解决问题.如问题求解后，教师可以让学生继续求x2+4+9+（13－x）2的最小值.

题目给出后，教师提供时间让学生进行“数”与“形”的类比，由此加深对此类方法的理解.这样通过此类方法的深度分析，不仅提高了解题效率，而且拓宽了学生解决最值问题的思路，以此帮助学生积累丰富的解题经验，促进解题效率的提升和思维能力的发展[2].同时，通过类比可以凸显最值问题的本质，增强学生解题信心.

1.2 相似知识点的类比

虽然数学知识是丰富多彩的，数学题目是灵活多变的，但是很多题目考查的知识点是相同的.教学中，通过对相似知识点的类比，可以加深对相关知识点的理解，这样学生在解题时可以知道考查的要点是什么，从而快速形成解题策略，高效地解决问题.

例2如图2，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，E是AB边上一个动点，∠DEF=90°.

（1）求证：△ADE∽△BEF；

（2）若AB=4，AE=x，BF=y，当y最大时，x的值是多少？

例3如图3，在△ABC中，AB=AC=BC，点D，E分别在边BC，AC上，且∠ADE=60°.

（1）若AB=AC=BC=4，DC=x，AE=y，试写出x与y的函数关系式.

（2）当y取最小值时，△AED是何种三角形？

分析：以上两题虽然图形不同，已知条件不同，但是认真分析不难发现，两道题有个相似之处，就是题目中均有“一线三等角”模型.一般情况下，一条直线上有三个等角，就会存在相似三角形，如例2中由动点E引出的△ADE与△BEF相似，例3中由动点D引出的△CED与△BAD相似.这样通过对相似点的深入剖析，往往给解题带来更多的思路，有利于拓宽学生的视野，提高解题效率.

1.3 相似解法的类比

数学题目虽然千变万化，但是很多题目的解题方法相似，因此在解题过程中，教师要有意识地将这些具有相似解法的题目进行类比，以此发现不同题目中的内在联系，通过合理的迁移顺利地形成解题思路，提高解题效率[3].

例4如图4，△ABC和△ECD均为等边三角形，且B，C，D三点在同一直线上.AD分别交BE，CE于点O和点F，BE交AC于点G，则∠BOD=______.

例5如图5所示，P为等边△ABC内一点，连接AP，BP，CP，若∠APC=150°，∠APB=90°，PC=1，则PB=______.

分析：通过类比不难发现，例5实则是例4的变式，两题的解题思路基本相同，属于同一类题，这样在解决例4后，可以将例4的解题思路迁移到例5的求解中，继而快速解决问题.

教学中，教师引导学生将具有相同解题思路的题目进行类比，可以帮助学生抽象概括出解决一类问题的方法，提高学生举一反三的能力.同时，通过类比引导学生多角度审视问题，以此加深对基本解题方法的理解，积累基本活动经验，切实提高学生的解题能力.

1.4 同类题型的类比

在专题复习时，教师会引导学生对同类题型题目进行类比，让学生理解和掌握解决一类题的方法，这样学生日后再遇到同类题型时，可以快速找到解题的突破口，形成正确的解题策略.

例6如图6，A，B两点在直线l的上方，且到直线l的垂直距离分别为1和3，P是直线l上一点，说一说当点P在何位置时，可以使PA+PB的和最小.请在图6中标出点P的位置，并求出PA+PB的值.

例7如图7所示，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，P是AC上一动点，求△BPE周长的最小值.

分析：例6是学生非常熟悉的“将军饮马”问题，可以通过作对称点的方法确定点A或点B的对称点A′或B′，连接A′B或B′A，即可确定点P的值，从而轻松求得PA+PB的值.对于例7，虽然题目背景由直线变成正方形，但是“换汤不换药”，其解题方法与例6相同.

许多数学题看似形式有所不同，但是其考查的知识点往往是相同的，那么为了在不同中理解相同的本质，就要创造机会类比，通过“比”找到问题的本源，掌握解题的方法，从而提高学生举一反三的能力.

2 结束语

通过对以上典型例题的分析，充分展示了类比法在解题中的价值.在数学教学中，教师要运用好类比法，通过对问题的内涵、形式、思路等进行类比，帮助学生认清问题的本质，掌握解决问题的方法，优化学生的认知结构，继而让学生在解题时可以快速获得解题的突破口，形成正确解题策略，高效解决问题.同时，通过类比可以让学生在解题思维、解题方式上做出创新，这对锻炼学生思维能力，提高学生分析和解决问题的能力都是有益的.

总之，教师作为课堂教学的组织者、启发者和引领者，要充分发挥主导作用，认真研究教学内容、认真研究学生，有意识地将相同的、相似的知识点、解法、性质等进行类比，帮助学生构建良好的数学解题思维，提高学生分析和解决问题的能力.

参考文献：

［1］陈拾英.巧妙运用类比法 高效解答数学题[J].数理化解题研究，2021（35）：46-47.

［2］沈宇华.初中数学类比法教学的运用和思考[J].数学教学通讯，2020（2）：69-70.

［3］郑天顺.类比法在初中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2022（18）：21-23.