题源：生成 应用 拓展

试题千变万化，但有些类型的试题有着相同的源头，我们称之为“题源”.以下笔者通过线段和的最值问题，说明题源的生成、应用与拓展.

1 题源的生成

问题如图1，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？

分析：这个问题的本源是在直线l上找一点P，使它到点A，B的距离之和最小，如图2所示，即在l上求作一点P，使得PA+PB的值最小.我们知道，两点之间，线段最短.为了找到点P，可以将A，B中的一个点用它的对称点来代替，连接对称点与另外一个点，这两个点的连线与直线l的交点就是求作的点P.

解：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短.

理由如下：在直线l上任取一点E，连接AE，BE，A′E.

因为点A，A′关于直线l对称，所以AP=A′P.

同理，AE=A′E.

因为AP+BP=A′P+BP=A′B，

AE+BE=A′E+BE＞A′B，

所以AP+BP＜A′E+BE.

因为E是l上的任意一点，所以AP+BP最短.

总结反思：要求一动点到两个定点距离之和的最小值，应采用“化折为直”的方法，先作其中一个定点的对称点，再将对称点与另一个固定点连线，这条连线与已知直的交点就是要寻找的点.

2 题源的应用

从上述题源问题可以发现，此类试题应具备两定点一动点和一固定直线，当动点在固定直线上运动时，题源的解题思路才可以应用，问题的关键在于找出问题的四个要素，即两定一动一定.

应用一：先作图再求值.

如图3，已知有A，B两村庄在公路l的同侧，A村到公路的距离AC=1 km，B村到公路的距离BD=2 km.现要在公路边修一个公交车站，使其到A，B两村的距离之和最短.若CD=4 km，则该公交车站到两村的最短距离之和为_____.

分析：如图4所示，直接应用题源的方法，即先作点A关于l的对称点，再连接对称点与另一固定点B，找到符合题意的公交车站位置后，构造直角三角形，根据勾股定理求得斜边长.

分析：本题的固定点为F和B，动点为P，固定直线为线段AE所在的直线.因为菱形ADEF是轴对称图形，对角线所在的直线就是对称轴，所以固定点F的对称点不用作图，经分析就是点D.因此直接连接BD，BD与AE的交点就是求作的动点P，此时线段BD的长就是PF+PB的最小值.

3 题源的拓展

综上，教学中教师要引导学生挖掘典型题源，提取问题的本质.同时，反思题源的解题思路与方法，明确题源的模型特点.唯此，才能让数学教学具有鲜活的味道.