转换等角巧求圆中线段长

近年来的中考试题中，结合圆考查锐角三角函数的求值问题日渐升温，成为中考的新亮点.这类问题，通常已知一个锐角的三角函数值，不能直接加以应用，但一般可通过这个锐角的等角将其转化，由已知三角形来了解未知三角形，达到求解的目的.下面介绍几种通过等角进行有效转换的策略，供同学们复习时参考.

1 运用“同角的余角相等”转化

点评：本题第（2）问的解题特点是运用“同角的余角相等”（即∠BDH的余角是∠DBH和∠ODH），进一步得出这两个角的正弦值相等，在不同的直角三角形中表示出线段间的比值关系，并用含有同一未知数的式子表示某些线段后，利用已知条件，结合△ABF的面积是确定的数值，建立一个方程即可解决问题.

2 运用“同弧所对的圆周角相等”转化

点评：本题第（2）问的显著特点是运用同弧所对的圆GemBISnXbnn/mzkNmN7sj4UP5EJ7QCEsoDEcAGH4eas=周角将∠BAC转化成直角三角形的一个角，并用三角函数值求得有关线段OC的长，再利用相似三角形的对应边成比例，求得相关线段OD的长，线段OC＋OD之和即是所求线段CD.这种先分解整体再求解问题的各个部分的解题方式，值得借鉴，也是常见的解题模式.

3 运用“等角的三角函数值相等”转化

点评：本题的第（3）问两次用到平行线产生相等的内错角，并用等角的正切值得出比例式，为求线段提供了有力的保障.

通过以上几例可以看出，锐角三角函数与圆联袂的几何试题，将已知条件中的锐角通过几何图形的性质转换成它的等角，这是转化思想的重要体现，是一种重要的解题技能，运用这种方法，可以沟通各已知条件与结论的关系，使隐含的联系显露出来，从而使问题巧妙而简洁获解.