新课标下初中数学综合题解题教学的实践探究

摘要：综合题解题教学应立足学生最近发展区，以理解为核心，以生长为目的，提供时间和空间让学生思考、探究、感悟，逐步培养学生分析和解决问题的能力.在具体实施过程中，教师要以基础知识和基本方法为重点，引导学生把问题与模型、模型与知识进行融通，培养学生乐于思考、敢于创新、勇于挑战的良好思维品质，切实提高综合题解题教学质量，促进学生全面发展.

关键词：综合题解题教学；理解；生长

中考数学综合题具有知识点多、知识面广、解法灵活等特点，其重点考查学生对核心知识、重要数学思想方法的理解和掌握水平及分析问题和解决问题的能力.解决这些数学综合题需要学生具有扎实的基础知识和基本技能，并能灵活应用联想、分析、转化、类比、归纳等多种数学思想方法.在日常教学中，教师有必要针对这些数学综合解答题进行有效教学，从而帮助学生消除畏难情绪，提高学生解题的信心.那么在具体实施过程中，到底如何处理综合题解题教学呢？笔者结合教学实践谈谈自己的几点粗浅认识，供参考.

1 认真审题，挖掘条件

审题是解题的第一步，也是关键的一步.中考数学综合题的题型多变，关系复杂，条件隐蔽，审题至关重要.教学中，教师要引导学生逐字、逐句阅读，并认真分析题目中的每一个条件和结论，对于一些关键词、关键句要适当进行标记.同时，教师应重视引导学生挖掘题目中那些隐含条件，以便结合那些显性条件作出合理的推测，确定解题手段，形成解题策略，确保解题效果.

例1已知△ABC是等腰三角形，其周长为20 cm，设腰AB的长为x cm，底BC的长为y cm，试写出y与x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围.

分析：由题意可得y=20－2x.根据三角形的三边关系定理，可知x+x>20－2x，且x+（20－2x）>x，解得5＜x<10.故y关于x的函数表达式为y=20－2x（5<x<10）.

从以上解题过程不难看出，三角形的三边关系是隐性条件，若解题时中忽视背后的隐藏条件，很容易出现错误.在日常教学中，教师应重视审题训练，充分挖掘各种显性、隐性条件，从而获取尽可能多的信息，以便快速找准解题方向，提高解题效率和准确率.

2 拆分图形，构造图形

学生之所以感觉中考数学综合题难，其中一方面的原因就是学生的读图、识图能力相对较弱，不能从复杂图形中拆分或构造出基本图形，从而在面对复杂的图形问题时常常受挫.综合题的图形一般较为复杂，解题时一般需要从中找出或构造出熟悉的基本图形，以此达到化生为熟、化繁为简的目的，从而快速形成解题策略.

例2如图1，点B在反比例函数y=8/x（x>0）上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点C，A.点M是线段OB的中点，且在反比例函数y=k/x（x>0）的图象上.点D，E分别为反比例函数y=k/x（x>0）的图象与AB，BC的交点，连接DE，并延长DE，使其与x轴交于点F.在x轴上取一点G，使得OC=GC，连接BF，BG.

（1）求k的值；

（2）求△BDF的面积；

（3）求证：四边形BDFG是平行四边形.

分析：第（1）问较为简单，设点B的坐标为（s，t），则st=8.由点M为OB的中点，得点Ms/2，t/2，则k=s/2·t/2=2.这样从代数的视角出发，利用设而不求思想顺利解决了问题.对于第（2）问，解法灵活多样.若从代数视角出发，可以分别求出点的坐标及线段的长度，在求解过程中可以设而不求.若从几何角度出发，可以添加辅助线OD，则问题由求S△BDF转化为求S△BDO（同底等高面积模型），得到S△BDO=S△BAO－S△DAO=1/2×8－1/2×2=3.第（3）问要证明四边形BDFG是平行四边形，其中BD∥FG是已知，这样若能证明BD=GF，问题即可迎刃而解.根据题意易得OC=CG=AB，问题转化为求CF的长度.利用“8字模型”相似，易证△DEB∽△FEC，所以BD/CF=BE/EC，由此可以表示出CF的长度，问题得以获证.

结合以上分析过程不难发现，本题是一道知识非常丰富、解法非常灵活的综合题，重点考查学生的模型意识，若学生能够熟练把握基本图形，就能顺利地确定解题方向，快速解答.

3 展示分享，优化策略

新课标提倡人人学有价值的数学.有价值的数学应该是与学生的现实生活和以往的知识体验有着密切关系，是能够吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，并对学生终身学习有帮助的.教学中，教师要放权给学生，鼓励学生大胆尝试、敢于创新，让每个学生都能获得相应程度的发展.

例3已知一次函数y=2/3x－2与x，y轴分别交于A，B两点，过△AOB某个顶点的直线将△AOB的面积分成相等的两部分，求该直线的解析式.

分析：根据已知易求A，B两点的坐标分别为（3，0），（0，－2），由此可以得到图2所示的△AOB.结合已知，若过三角形顶点的直线将三角形的面积分成相等的两部分，则该直线为三角形的中线所在的直线，而△AOB的中线有三条，所以符合条件的直线有三条.其中过点A的中线l1和过点B的中线l2易求，该题的焦点主要集中在过点O的中线l3上.为了充分发挥学生的主体作用，激发学生的潜能，让每个学生都能有所发展，教师让学生交流、分享.

方法1：若要求直线l3的解析式，易想到明确直线l3上的两点，然后利用待定系数法求直线的解析式.已知直线l3过原点O（0，0）.又该直线过线段AB的中点，这样若能求出中点的坐标，问题即可获解.如图3，令C为AB的中点，分别过点C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E，F，问题可转化为求CE和CF的长度.利用中线定理易得OF=1/2OB=1，OE=1/2OA=32，所以点C（1.5，－1），得到点C的坐标后，利用待定系数法可以求出直线l3的解析式.

方法2：根据三角形中线的性质可知，三角形的三条中线相交于一点，所以直线l必过直线l和直线l的交点，这样得到直线l和直线l的解析式后，将两方程联立即可求出交点的坐标，进而得到直线l的解析式，大大优化了解题过程.

方法3：分别过点A，B作x轴和y轴的垂线，使其交于一点M，于是可以构造出一个矩形OAMB，根据矩形对角线性质可知点M必在直线l上，点M的坐标易求，由此可求直线l的解析式.

方法1是大多数学生的选择，属于常规解法；方法2是从几何角度思考，利用三角形中线的性质得到直线l3上又一点的坐标；方法3与方法2具有异曲同工之妙，都是从几何图形的角度思考，灵活应用相关几何性质解决问题.这样通过一题多解的展示，引导学生多角度、多层次、全方位思考问题，可以使学生的思维层次得到深层开拓，有利于激发学生的无限潜能[1].

4 分而治之，各个击破

面对中考数学综合题时，很多学生容易出现畏难情绪，部分学生面对综合题时选择直接放弃.其实，纵观各市历届的中考题不难发现，大多综合题会设计多个小问.第（1）问重点考查基础知识，大多数学生都能顺利解答的；第（2）问难度虽然略有提升，但是并不是高攀不起，如果认真分析也能有所突破；第（3）问一般难度较大，题目中会涉及较多的障碍，解法也会比较灵活，解题时可量力而行.这样学生若能树立解题信心，分层思考，分而治之，定能有所成长，有所突破.

总之，初中数学是培养学生思辨能力、应变能力和理解能力的关键，因此在综合题解题教学中，教师要立足学生，引导学生追本溯源，认清问题的本质，帮助学生树立解题信心，以此更好地提高综合题的教学效果和学生的数学综合应用能力.

参考文献：

［1］贾永亮.开拓思路 一题多解——谈初中数学一题多解的教学研究[J].数理化解题研究，2021（26）：14-15.