自然生长促真学，真教优导助发展

人民教育出版社中学数学室主任章建跃博士提出，理解数学知识的三重境界为知其然、知其所以然、何由以知其所以然——启发学生，示以思维之道耳！在几何教学中注重怎样让学生想到，也就是要求教师理解研究几何的一般方法，教学要注重生成自然，符合学生的认知.笔者以人教版七年级下册第五章“5.1相交线”教学为例，探讨如何用自然生长促真学，用真教优导助发展.

基于上述构思，笔者设计了教学案，并尝试执教本课，力求让学生学透悟足.

1 “相交线”教学设计

1.1 教学环节一：初步感悟

问题1（1）观察图1，图中包含了哪些基本几何图形？

（2）同一平面内，两条直线有哪些位置关系？

设计意图：通过回顾基本几何图形，唤醒学生对点、直线、射线、线段、角的回忆，归纳研究几何图形的基本途径.

1.2 教学环节二：新知探究

问题2（1）上述研究都是基于一条直线进行的，下面我们可以研究什么？

（2）尝试画出同一平面内两条直线的关系.（小组合作探究，然后集体交流汇报.）

（3）这两种位置关系的区别是什么？你能尝试描述吗？

设计意图：通过问题2引导学生思维自然过渡到本节课要研究的知识点.基于对小学知识的认知，学生会画出平行、相交、垂直三种情况的直线，然后进行合作学习，共同探究，找到正确的分类，辨析清楚垂直是相交的一种特殊情况.通过找寻两种位置关系的区别，尝试给相交线下定义——两条不同的直线有唯一的公共点时，我们称这两条直线相交，这个公共点叫交点.用符号语言描述为直线AB，CD相交于点O，点O为交点.

问题3（1）我们给相交线下了定义，那么下面研究什么？

（2）如图2，两条直线AB，CD相交于点O，O为交点，具体可以研究什么？

（3）如何探究两条直线相交形成的四个角之间的关系？

（4）请尝试给角命名.

（5）你能找出对顶角吗？如果不能，请说出理由.

设计意图：学生借助已经学过的直线、射线、线段和角的研究过程，清楚研究定义之后可以探究相交线的性质.那么对于具体问题，如何选择研究的对象，这就要把握相交线研究的内涵，即几何图形组成的元素之间的相互关系就是性质.确定具体研究内容为研究角之间的关系.但是两条相交直线小于平角的角共有4个，可能会存在四个角、三个角、两个角的研究方向，靠学生单独研究效率太低，故借助小组合作学习，共同发现.对于四个角之间的关系学生可以发现其和为360°，而三个角之间没有确定的关系.其中比较难探究的是两个角之间的关系，可以引导学生首先找出共有几对角，如选择一组角∠AOD和∠BOD，从几何研究的内容出发，发现对于两个角可以研究其数量和位置关系，但是位置关系如何有效描述，需要引导学生从角的定义出发找到研究的方向.然后学生共同探究剩余的几组角，根据探究发现进行分类，尝试命名，进一步加深对邻补角、对顶角的理解.通过例题，检验学生是否真正理解了相关概念，强化学生对对顶角的认知.

例1图3中，∠1与∠2是对顶角的是（）.

A B C D

设计意图：学生通过辨析，加深对概念的理解.

问题4两条直线相交，在其中一条直线绕交点转动的过程中，邻补角和对顶角具有特定的数量关系吗？

设计意图：学生通过问题4的研究，充分认识到直线运动过程中的变与不变，特别是通过对顶角相等的推理，进一步加深对对顶角性质的理解.然后通过规范对顶角性质的符号语言，进一步明确数学概念.

1.3 教学环节三：学以致用

例2如图4，直线AB，CD相交于点O，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数.

变式1如图5，已知直线a，b相交，∠2是∠1的3倍，求∠2，∠3，∠4的度数.

变式2如图5，已知直线a，b相交，∠2-∠1=120°，求∠2，∠3，∠4的度数.

例3如图6，直线AB，CD相交于点O，请找出∠AOE的邻补角及对顶角.若没有，请画出.

例4如图7，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOC的对顶角是_______，∠AOE的邻补角是_______.

设计意图：学生从实例出发，经历探究的过程，进一步加深对相交线相关知识的理解，提升知能.

1.4 教学环节四：拓展提升

问题5（1）我们已经研究了两条直线相交的情况，那么三条直线相交于同一点会形成多少组对顶角和邻补角呢？

（2）你能解决4条直线相交于同一点的问题吗？10条直线相交于同一点呢？

设计意图：通过归纳总结两条直线相交于同一点形成对顶角和邻补角的特征，建立“基本图形”，在探究三条直线相交于同一点对顶角和邻补角特征的时候，有意识将其转化为两条直线相交时的“基本图形”来解决问题.学生在探究4条、10条直线，以及n条直线（可以放在课后研究）相交于一点的问题时也就有了思路.

1.5 教学环节五：总结反思

（1）这节课我们是如何研究相交线的？

（2）如何看待两条直线垂直？

（3）邻补角、对顶角有什么共同特点？

（4）下一步我们可以研究什么？

设计意图：通过总结反思（1），学生能厘清研究相交线的思路，这对今后研究其他几何图形有更多的帮助.通过总结反思（2），帮助学生进一步理解一般与特殊的关系.通过总结反思（3），学生找到对顶角的共同特征是共顶点.通过总结反思（4），学生可以明悟研究方向，从一般到特殊研究相交的特殊情况——垂直，从共顶点的角拓展到不共顶点的角（“三线八角”问题）.总结反思不但促使学生巩固了本节课学习内容，更启发了学生“联系旧知，明悟新知”的学习方法.

2 教学思考

（1）让知能在学生已有知识体系上再生长

相交线的知识点掌握并不困难，困难在于如何去发现、串联这些知识点，学生在小学阶段已经初步认识了相交线，知晓几何研究的对象是物体的形状、大小和位置关系.初中阶段应在小学已有的知识体系上进一步生长，在学生知晓定义的前提下，引导学生去探寻相交线的性质.但具体探究相交线的什么性质学生却是很难想到的，教师引导学生从几何图形研究的角度去观察，发现两条直线相交形成的角的数量和位置关系.但是两条直线形成了4个小于平角的角，引导学生逐步探究4个角、3个角、两个角的关系.相交线的性质探究之后，引导学生理解相交线的判定方法，以及简单的应用.后续的拓展角度不少，如从一般到特殊的研究角度——从一般相交到特殊相交即垂直；如从研究对象以及几何要素相交直线（共顶点）的数量研究——三条、四条到n条直线相交于一点会生成多少对对顶角；如从研究对象以及几何要素对顶角和邻补角（共顶点）到不共顶点的角（“三线八角”）的探究，等等.

教学不能只停留在知识点本身，而在于引导学生发现知识，逐步建构相交线及后续几何图形研究的思想和方法.让学生从知其然到知其所以然，增强学习的内驱力，激发学习兴趣，让知能再生长.

（2）让数学思维在教学过程中不断升华

数学教学要使学生会学，并不是脱离数学知识孤立地去教方法，而要像“在游泳中学游泳”那样，在用一定方法教学的过程中让学生学方法，这就对教师教学的关注点提出了新的要求［1］.本节课学生在经历完整的学习过程中不断地探索、归纳，从相交线的定义到邻补角与对顶角的定义再到对顶角的性质，不断地概括，最终掌握和应用知识解决问题.这个过程非常有意义，在概括的过程中发展了思维.从学生学习角度出发，学生希望学习的内容不是枯燥无味的，或者是大致都掌握了的，也希望在学习过程中遇到的问题有意义、有趣味、有挑战、有成就感，因此教师设计的问题要相对开放，但是却又不能超出学生当前的认知.如对于两条直线相交我们该研究什么，这个问题切入口过大，学生不知道从何入手，因此设计了问题串引导学生去学习，学生数学思维在教学过程中不断发展和升华.

（3）让“教”和“学”从混沌走向秩序

《义务教育数学课程标准（2022年版）》依据学生终生发展和社会发展的需要提出了义务教育数学课程的统领性目标：会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界［2］.对于课堂教学，肯定要让学生成为学习的主体，教师做好引导学习的工作.这节课的教学教师基于理解数学、理解教材、理解学情的前提，进行教学内容的重组、设计，让学材能够最大化发挥作用.指导学生学习同样也很重要，在课堂教学进程中，要注意将个人自学、小组合作、大班展示相结合，不同的教学组织形式相机运用；课堂教学要以学生为主体，让学生充分参与课堂、发表观点，通过师生对话、相机追问，促进课堂生成［3］.概括下，即教学主线要清晰，能有序引导学生学习探究.本节课围绕学生核心素养的发展，不占用学生自主学习或合作学习的时间，不替学生思考或得出结论，当学生遇到困难及时为学生搭桥，由学生绘制思维导图展示学习成果，真正体现了授之以鱼不如授之以渔，教学贴近了学生的最近发展区，每个学生都学有所获.正所谓真教优导提效率，自然生长促真学.

参考文献：

［1］涂荣豹.数学教学设计原理的构建：教学生学会思考［M］.北京：科学出版社，2019.

［2］孙晓天，沈杰.义务教育课程标准（2022年版）课例式解读：初中数学［M］.北京：教育科学出版社，2022.

［3］李庾南，刘东升．“三学”课堂：聚焦核心素养，指向数学育人——以“研究平行四边形”课堂片段为例［J］．中学数学，2020（20）：19-21．