基于深度学习的探究性教学活动设计

摘要：在深度学习理论的指导下，充分整合人教版、沪科版初中教材中“不等式及其基本性质”的相关教学内容，借助几何画板软件，以数轴为主线创设问题背景，将数轴上的线段AB或左右平移，或以原点O为位似中心进行同向（反向）缩放来设计教学活动，引导学生进行“探究性学习”.

关键词：深度学习;数轴;探究实践

1 研究背景

沪科版初中数学教材将“不等式及其基本性质”安排在第七章第一节〔七年级（下））〕，它建立在“等式的基本性质”及“实数的大小比较”等基础上，为后续“解不等式（组）”等知识的学习提供理论支撑，故本节课学习内容具有承上启下的作用，合适的教学可以帮助学生建立更为整体的知识结构.

教材首先以学生熟悉的天平为问题情境让学生体会不等式的性质1与性质2，然后借助数轴直观地表示出不相等的两数a，b（a>b）的相反数－a，－b，并进行大小比较，以体会不等式的的性质3.

如此设计，尊重了学生的知识经验，注重了知识的形成过程，符合学生的认知规律.但是，笔者认为，如此编写，似乎缺少一条将它们串为一体的主线，有浮于浅层学习之嫌，故需要引导学生对不等式的基本性质进行深度学习.笔者通过实践发现，巧借数轴创设问题情境来引导学生对不等式的基本性质进行探究，更好地渗透数形结合思想，帮助学生理解性质，强化其探究意识，提升发展性学力.

2 探究实践

“探究性学习”（又称发现性学习）是指教师创设一定的问题情境后便放手让学生经历观察、讨论、猜想、验证和推理证明等探究活动，从而引导学生发现规律、认识新知和挖掘思想方法的学习活动，意在培养学生的发展性学力，是一种较为受到推崇且具有较强可塑性与发展性的学习方式.

2.1 不等式性质1的探究性学习

提出问题：我们知道“等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立”，那么，不等式是否也具有类似的性质呢？

实践操作：（1）4_____1，4+3_____1+3，4－3_____1－3（用“＞”或“＜”填空）；（2）由上述结果，你发现了什么规律？请说出你的猜想.

讨论猜想：（性质1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.用式子表示为“若a<b，则a+c<b+c”.

再次验证：利用教材中的天平实验加以验证.

深入探究：你能借用数轴说明不等式的性质1吗？（虽然学生知道“任意实数都可用数轴上的点来表示，而且数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数”，但对如何用数轴来说明不等式的基本性质1缺乏应用的认知经验，可能比较茫然，甚至无从下手，教师不妨通过如下驱动问题引导学生大胆尝试.）

问题1-1如图1，将数轴（1）上的线段AB沿着数轴正方向平移m个单位长度得到数轴（2）上的线段A1B1.

说明：为了便于学生观察，笔者将线段AB在数轴上移动前后的位置用互相平行且原点对齐、单位长度相同的两条数轴（1）（2）表示，下同.

由于没有指定线段AB在数轴上的具体位置，学生的构图一定会丰富多彩，教师可选用几种有代表性的图在黑板上展示（如线段A1B1相对于线段AB的位置有重叠仍位于右侧、有重叠位于左侧、全部位于左侧等）.

问题1-2线段AB与A1B1两端点表示的数之间有什么关系吗？〔意在引导学生观察出线段A1B1两端点表示的数比线段AB两端点表示的数增加（或减少）的值相同.〕

问题1-3你能借用图2说明不等式的基本性质1吗？（启发学生完成表1，并思考借用数轴说明不等式基本性质的本质与依据.）

其本质就是在数轴上将线段AB进行左右平移，平移后线段两端点所表示的数之间的大小关系不变，依据为在数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数.

2.2 不等式性质2与性质3的探究性学习

问题2-1我们类比等式的基本性质1得到了不等式的性质1，那么，还能得到不等式的其他性质吗？

类比等式性质2“等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不为零）或同一个整式，等式仍然成立”，学生常常会直接猜想“不等式的两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），不等号的方向不变；用式子表示为：若a<b，c≠0，则ac<bc”.

此时，通过反例引导学生反思，需对c的符号进行分类讨论，进而得出不等式的性质2与性质3.

说明：此处没有沿用性质1的处理方式，主要基于两点.其一，通过开放的问题放手让学生自己探究，以充分发挥学生的主体作用，让他们经历性质的生成过程，不仅能学会类比迁移，更能完善认知问题的思维方式；其二，性质2与性质3是一对关联性极强的性质，同时研究有利于学生对比学习，厘清二者之间的关系，并优化思维的严谨性.

再次探究：你能仿照性质1的探究方式，也借用数轴来说明不等式的性质2与性质3吗？

说明：有不等式性质1的探究经历，对于当c是正整数且a，b均为正数时，学生易想到构图，取c=3，即将线段AB上每一个点的横坐标都扩大为原来的3倍构出图2来说明不等式的性质2.

类似地，当a，b异号或均为负数时，学生也不难理解与构图，但当c为正分数时，学生处理起来又稍感棘手了.

问题2-2什么是分数？它与整数之间有什么关系？

说明：通过正分数c可以表示为n/m（m，n均为正整数且互质）形式引导学生思考，当不等式a<b两边同乘正分数c时，实际上就是先把a，b分别进行m等分，再把靠近原点的一份扩大到原来的n倍（当然也先可扩大到原来的n倍，再把结果m等分）.现以c=23为例构造出图3，并借助图3解读不等式的基本性质2.

试根据图3完成表2.

问题2-3如何借助数轴来说明不等式的基本性质3呢？

说明：通过负数c可以表示成－1×（－c），引导学生思考，当不等式a<b两边同乘－1，实际上就是在数轴上找出数a，b的相反数（即在数轴上找到表示数a，b的点关于原点的对称点），再运用不等式的性质2（－c可以是正整数，也可以是正分数），以c=－2为例不难构造出图4.

试根据图4完成表3.

2.3 不等式性质4的探究性学习

类比猜想：我们知道等式具有传递性，即“若a=b，b=c，则a=c”，不等式是否也有类似的性质呢？（学生会直接猜想到“若a<b，b<c，则a<c”.）

再次探究：你还能借用数轴说明不等式的性质4吗？

说明：学生经历了用数轴探究不等式的基本性质1～3，已积累了一定的认知经验，对用数轴探究不等式的性质4几乎没有困难，因此教师放手让学生设计问题自主探究.并选派代表到黑板上进行成果展示.

问题3-1如图5，已知点A，B在数轴上所对应的数分别是a，b，且满足a<b.现有数c满足b<c，试确定数a所对应的点C在数轴上的大致位置.

说明：由于b<c，那么表示数c的点总在表示数b的点的右边，因此数a，b，c分别对应数轴自左向右依次排列着的点A，B，C，如图5.

问题3-2点A，B，C所表示的数a，b，c之间有何大小关系？（意在引导学生观察，根据数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，判断出点A，B，C所表示的数a，b，c之间的大小关系.）

不等式性质5——不等式的对称性，因简单易理解，本文不再赘述.

3 教学反思

“深度学习”是指学习者在理解的基础上批判性地学习新的思想和事实，并把它们融入原有的认知结构中，且能够在众多思想间建立联系，进而迁移到新的情境中，作出决策和解决问题.它不仅给学生提供了更多自主探究的空间，而且还丰富了学生的知识结构和学习过程，既强调了对基础知识的掌握，也强调了学生的思维能力和创新能力的发展[1].2022年版新课程标准教材编写建议指出“……有利于引发学生思考，素材选取要贴近学生的现实，真实可信……”；教学建议指出“……选择能引发学生思考的教学方式，……，注重信息技术与数学教学的整合”［2］.本探究性教学活动的设计是在充分整合人教版与沪科版七年级教材的前提下，借助几何画板软件，以数轴为主线创设问题背景，将数轴上的线段AB或左右平移，或以原点O为位似中心进行同向（反向）缩放，引导学生经历观察、思考、交流、验证、归纳、总结等探究活动，将“深度学习”与“探究性学习”有机整合.这样不仅可以让学生体会类比、分类、数形结合等数学思想的合理运用及研究不等式基本性质的新思路、新方法，加深对性质的理解，拓宽思维视角，培养探究能力；同时，借助线段在数轴上的左右平移、放大或缩小、已知点关于原点中心对称等操作活动，创设灵动课堂，为学生的的动手操作能力及直观想象能力的培养发挥了积极的作用.

参考文献：

［1］刘华为.基于深度学习的初中数学课堂教学[M].上海：华东师范大学出版社，2020.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.