关注概念教学 落实核心素养

摘要：平面直角坐标系是从一维空间“数轴”到二维空间的发展，是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具.找准对应核心素养的孕育点、生长点，让学生经历概念的抽象过程、概念特征（性质）的探究过程及象限点的分类过程等，在具体的抽象、深究、分类过程中发展数学抽象、数学建模、直现想象的核心素养，并通过数学史的学习提升学生对数学学习的兴趣，在教师引导下形成数学的思维方式，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习能力.

关键词：数学抽象；数学建模；直观想象

1 内容解析

“平面直角坐标系”是冀教版八年级下册第十九章第二节的内容，是本章的核心，是学生已经掌握的“数轴”知识的进一步发展，它的建立使代数的基本元素（数对）与几何的基本元素（点）的位置之间产生一一对应，从而在认识上实现了从一维空间到二维空间的发展，构成更广范围内的数形结合、数形互相转化的理论基础.因此，平面直角坐标系是沟通代数和几何的桥梁，是非常重要的数学工具.本节课的重点就是认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据点的坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标.本节课对学生抽象能力、模型观念、几何直观这三点素养的培养都有极高的价值.在后续的学习中，学生将在此基础上进一步深入研究函数的图象和性质，所以本节课在教材中起到承上启下的重要作用.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过实际问题生成平面直角坐标系和平面直角坐标系的相关概念，以及由点求出坐标和根据坐标确定点的位置.

2 学情解析

八年级学生在七年级上学期已经学习过数轴，能够将数轴与平面直角坐标系联系起来解决问题.由于学生是第一次从一维空间的数轴过渡到二维空间的平面直角坐标系，因此在认知上理解如何建立平面直角坐标系比较困难，理解平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系要求学生有较强的抽象思维能力.

本节课的教学难点确定为：理解建立平面直角坐标系的必要性，以及在平面直角坐标系中点与有序实数对的一一对应关系.

3 教学目标

（1）经历通过实际问题生成平面直角坐标系的过程，理解平面直角坐标系及其相关概念；

（2）能由点的位置写出点的坐标，能根据坐标描出点的位置，并借助所画平面直角坐标系探究点与有序实数对之间的一一对应关系.

（3）了解平面直角坐标系的建立过程与意义，体会平面直角坐标系的价值，感受笛卡儿的探索精神，增强对数学的求知欲.

4 教学过程

4.1 创设情境，引入概念

播放一段视频.

设计意图：与已有认知进行有效衔接.激发学生学习兴趣，调动积极性，让学生体会数学来源于生活，服务于生活，感受到确定点的位置是实际问题的需要，认识到学习平面直角坐标系的必要性，顺势引入平面直角坐标系.

4.2 丝丝入扣，认识概念

活动1通过观看刚才的视频，我们初步感受到了在平面内建立直角坐标系可以确定点的位置，那么如何建立平面直角坐标系呢？

（教师板书定义，带学生一起画坐标系）在平面内，画两条有公共原点且互相垂直的数轴，就构成了平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平方向的数轴叫做x轴（或横轴），用小写字母x表示;竖直方向的数轴叫做y轴（或纵轴），用小写字母y表示;通常x轴取向右为正方向，y轴取向上为正方向.x轴与y轴的公共原点叫做坐标原点，用大写字母O表示.两条数轴统称为坐标轴.建立了直角坐标系的这个平面叫做坐标平面.

设计意图：通过引领学生学习，促使学生进一步明确平面直角坐标系的相关概念.

追问：你会画一个平面直角坐标系吗？试一试.（教师先在黑板上画出平面直角坐标系，然后巡视指导，把学生有问题的坐标图形进行投影，让其他学生找出错误，并纠正.）

设计意图：让学生在自画、自纠中，加深对概念的理解，培养学生良好的画图习惯.

活动2由点写出坐标.

问题1你能写出图中平面内点A的坐标吗？怎么找到的？（用PPT呈现图形.）

由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是x0，垂足在y轴上的坐标是y0，有序实数对（x0，y0）就是点A的坐标.

设计意图：由点写出坐标，让学生理解平面内点的坐标意义，渗透由“形”到“数”的思路.

追问：在平面直角坐标系中，点B，C，D，E，O，F，G的坐标分别是什么？

师生活动：学生独立写出B（2，3），C（-4，1），D（-3，-3），E（5，-4），O（0，0），F（4，0），G（0，-2）.

设计意图：学生在确定这些点的坐标时，初步建立用数表示点、由数找点的数形结合思想.

4.3 再析情境，明晰概念

师生活动：如果把每个城市看作一个点，在所给平面直角坐标系中，请试着说出你喜欢的城市的坐标.

由学生抢答完成，之后让学生观察x轴和y轴上点的坐标，并说出坐标的特点；最后提问从嘉峪关到西安的图上距离，既考查了勾股定理，又为下一节学习点到x轴、y轴的距离打下基础.

设计意图：由点写坐标，由学生抢答完成，这样可以极大地激发学生的学习积极性；之后让学生观察x轴和y轴上点的坐标，并说出坐标的特点；最后提问从嘉峪关到西安的图上距离，既考查了勾股定理，又为下一节学习点到x轴、y轴的距离打下基础.

4.4 探究合作，理解概念

问题2前面我们解决了由点写坐标，反过来，现在给出坐标你能找到点的位置吗？请在平面直角坐标系中描出下列各点，再把它们依次连接成封闭图形，看看你得到的图形像什么？

（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，-1），（2，-1），（1，-3），（0，-1），（-1，-3），（-2，-1），（-1，-1），（-3，0），（-3，2），（-2，3），（-1，3）.

师生活动：

（1）自主完成.

（2）小组交流：组内成员互相检查描点是否正确，并交流确定这些点的位置的方法.

（3）成果展示.

学生展示内容：以其中的一个点为例，说出确定点的位置的方法.在组内交流中，学生掌握怎样去找一个点的位置.教师以点（1，3）为例先在x轴上找出表示1的点，再在y轴上找出表示3的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点（1，3）.完成练习后教师找到出错的学生，用实物投影仪投影出问题后，由学生比较发现错误，并纠正.在确定画图正确后再引导学生体会纵坐标相同时描出的点一样高，这些点依次连接形成的图形很像一个蝴蝶（图1）.

设计意图：让学生体会由坐标描点的方法，并从感性上体会由坐标到点的对应.在这个活动中，采用小组合作学习的方法，是为了让数学学习活动告别单纯的模仿与记忆，让学生在动手实践、自主探索与合作交流中，既掌握知识，又培养能力.

师生活动：在坐标平面内，任意一点都能用一对有序实数来表示吗？任意一对有序实数都能在坐标平面内找到一个对应的点吗？

师生活动：实数与数轴上的点具有一一对应关系.由此可知，坐标平面内的点与有序实数对具有一一对应关系，即坐标平面内任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示，反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面内唯一一个点.教师板书.

设计意图：通过作图加深对概念的理解和落实；通过借助在同一平面直角坐标系中由点来确定坐标并由坐标确定点，探究点与有序数对之间的对应关系.

4.5 拓展提高，应用概念

下面我们来做一个小游戏：“我”的位置是……

每位同学表示平面内的一个点，老师点一人为原点，并规定向右和向前的方向分别为x轴和y轴的正方向，相邻两位同学之间的距离为1个单位长度.

（1）请在坐标原点及x轴和y轴上的同学举起你的右手.

（2）老师点一位同学名字让该同学说出自己所表示的点的坐标，然后该生再叫其他同学的名字，依次进行接龙游戏.

（3）请坐标是（2，1），（-1，1），（-1，-2），（1，-3）的同学起立.

设计意图：寓整节课概念及趣味游戏于一体，让学生放松，在激发兴趣的同时也高效合理地复习巩固了整节课的重点，寓教于乐，互动性强，学生热情高涨.

问题3象棋是我国传统益智类游戏，其中马走日，象走田.现在就让我们在棋盘中比一比谁的棋艺更高吧.如图2，大家试着找一下棋盘中马下一步可能走到哪？并写出它的坐标.

师生活动：在棋盘中“马”走“日”，学生在坐标平面内画出“马”可能在的位置，并写出坐标.让学生感受中国象棋中马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说.

设计意图：通过下象棋这个活动，学生能够感知数学的乐趣，经历在平面直角坐标系中由点找坐标和由坐标找点的过程，体验成功的喜悦.对个别学生进行表扬及肯定，更能发挥集体智慧，鼓励学生挑战自己.

4.6 感悟延伸，总结概念

本节课我们需要确定平面内点的位置，建立了平面直角坐标系.我们学习了平面直角坐标系及其有关概念，并且掌握了两项技能：给点求坐标，给坐标描出点.我们得出坐标平面内点与有序数对一一对应.这种数形结合研究问题的方法非常重要，为我们将来学习函数打下了基础.

设计意图：引导学生梳理知识系统，提炼重点内容，同时，培养学生的语言表达能力.

4.7 研究型作业

研究型作业：如图3是植物园的平面图，请建立适当的坐标系，写出下列各景点的坐标.

设计意图：让学生在运用所学知识找坐标的同时进行拓展，感受坐标原点的位置不同其他点的坐标也随之变化，为下一节根据实际问题建立平面直角坐标系打下基础.

4.8 了解史实，拓展概念

笛卡儿是法国著名数学家，在生病卧床期间，他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？某一天，他看见屋顶角上有一只蜘蛛顺着丝爬上爬下，来回拉丝.他想能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？于是在蜘蛛的启示下，笛卡儿创建了直角坐标系，发表了《几何学》，实现了用代数方法解决几何问题的目的，使“数”与“形”得到完美结合.

设计意图：通过介绍笛卡儿的故事，挖掘教材中的人文教育因素，丰富学生的内心世界，激励学生探索真理，让学生树立“做一个创造者和发明家”的雄心.同时让学生经历平面直角坐标系产生的过程，体会到新知识产生的必要性与合理性，从而激发他们的学习内驱力.

5 教学反思

5.1 关注学生的认知发展水平

美国教育心理学家奥苏伯尔说过：“影响学生学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学.”《义务教育数学课程标准（2011年版）》也强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上［1］.本节课以学生已知的“数轴”的“一维空间”向“平面直角坐标系”的“二维空间”发展为线索，关注学生的认知发展水平.

5.2 关注数学核心素养的落实

本节课以平面直角坐标系的相关概念、坐标的意义为知识脉络，培养学生动手操作能力和空间观念，让学生深入理解了数形结合、一一对应等数学思想，极大地关注到了学生抽象能力、模型观念、几何直观这三点核心素养的培养［2］.

5.3 关注数学知识的发生、发展过程

本节课通过平面直角坐标系的建立过程，帮助学生理解和认识数学知识的发生和发展过程；同时，把数学知识与现实生活紧密结合起来，进一步让学生认识和体会数学知识的重要用途，立足于知识和情感的教育，在知识教学的同时，结合小视频和数学家的故事激发学生的学习兴趣［3］.

在这节课的设计过程中，笔者存在一些困惑.本节课注重了知识的产生发展过程，又有意识地渗透了一些数学文化，因此占用的时间较多，使得学生巩固训练的时间相对偏少.相信以后再上这节课的时候对这节课的不足之处应该会有所改进，努力提高自己的教学水平，使学生愿学乐学.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［3］曹才翰，章建跃.中学数学教学概论［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.