提高统计素养 发展数据观念

“统计与概率”是义务教育阶段数学学习的重要领域之一，是培养学生数据素养的重要知识载体，不过因其在评价中分值少、试题总体难度不高经常不被教师和学生重视.对比新旧课标，不难发现，《义务教育数学课程标准（2022年版）》从整体上提高了对该领域的要求，确立了从数据意识到数据观念的阶梯式培养目标[1]，特别指出要让学生感悟数据分析的必要性，形成和发展数据观念和模型观念[2].那么该如何在实际教学中落实这一培养目标，提高学生的统计素养呢？下面谨以笔者的一节市级公开课“频数分布表和频数分布直方图”为例，谈谈自己的理解.

1 教材分析

“频数分布表和频数分布直方图”这一课安排在苏科版八年级下册“数据的收集、整理、描述”这一章.在这之前，学生已经了解了数据收集的方式，会根据不同需要选择不同的统计图（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）来描述数据.本节内容则是在学习了频数和频率概念的基础上，研究如何用频数分布表和频数分布直方图来描述连续型统计量的数据分布情况，并利用这两个工具来解释数据中蕴含的信息，从而对实际问题作出简单的判断和预测.

2 初步设想

本节课的教学难点是分组的必要性以及如何确定分组.为了突破难点，基于课本上研究50名学生身高分布情况的问题，笔者设计了如下问题串：

（1）综合分析这50个数据，你得到了哪些信息？

（2）用什么方法来描述这个样本体现出的学生身高范围和整体分布情况？

（3）生活中是否有对数据分组的例子？

（4）如果分组研究数据，你想将数据分成多少组？如何分？

3 改进思路

根据初步设想试讲后，发现这样设计存在很大的问题：

（1）分组的必要性真的讲清楚了吗？其实，根据学生的反应，大部分学生对“整体分布”一词的理解并不深刻，还不明白为什么要分组就在教师的“指挥”下开始尝试了.

（2）在“分组”环节师生讨论过久，导致后面留给学生自己制表、绘图的时间较短，而且因为没有明确分组方法，学生在自主制表、绘图环节大多没有选择“加一位小数”的分组方法.

（3）教师的展示并不能代替学生的学习，比如制表中划记的过程，根据表来绘图的过程都应让学生经历.因此学生在自主绘图时普遍感到困难.

试讲之后笔者重点思考了如下问题：

（1）为何要研究本节内容？分组的必要性这一难点该如何突破？

（2）有了频数分布表，为什么要绘制频数分布直方图？它们的意义、作用分别是什么？

（3）作为一节统计课，如何让学生感受到进行数据整理、描述和分析的重要性，从而发展数据观念？

之前学生已经学习了利用三种统计图来直观描述数据，但对于连续型的统计量，学生根据已有的经验绘制出的统计图不能清楚地呈现数据的分布特征和规律，这也是本节课学习的必要性.为了让学生能体会到这一点，不妨以问题“为了了解身高的整体分布情况，能否用我们学习过的统计图进行描述？”顺应学生的思维，启发学生思考.

同时，新课标中指出对于“抽样与数据分析”的教学应当以现实生活中的实例为背景，引导学生通过对实际问题中数据的分类，感悟数据分析的必要性，形成和发展数据观念和模型观念[2].因此，在课堂中创设真实的问题，使用真实的数据很有必要，让学生经历完整的统计活动.

基于以上思考，笔者重新设计了教学思路：提出问题（创设问题情境）—整理数据（引出分组的必要性）—讨论分组（如何合理分组）—制表（读表、理解意义）—绘图（读图、理解意义）—解决问题（形成判断和决策）.

4 课例呈现

4.1 提出问题

问题现我校八年级要举行班级广播操比赛，准备从本班43名同学中挑选身高差不多的30名同学参加比赛，该如何确定这30名学生呢？

学生提出为解决这个问题，需要收集全班同学的身高数据，并且要了解身高数据的整体分布情况.这时展示课前刚刚收集到的43个身高数据.（现场测量学生的身高，一边测量一边录入到excel表格里.）

教学说明：首先让学生回忆一个完整的统计活动需要经历的过程，即“提出问题—收集数据—整理、描述数据—分析数据—解决问题”；然后抛出上述问题，对于这个问题，同样地，需要先收集数据，再对其进行整理和描述，为了解身高数据的整体分布情况，就需要分组整理数据，初步引出分组的必要性.在该活动中，以真实的情境为载体，现场收集43名学生的身高数据，体现统计活动的真实性，调动学生积极性.

4.2 整理数据

问题1观察这些数据，你能从中获得哪些信息？

问题2前面我们已经学过三种统计图，是否可以用其中一种统计图来描述数据，从而获得整体分布情况？

对于问题1，学生从两方面作了回答.一是观察到数据中的最大值是182，最小值是150，即能够求出这组数据的范围；二是估计出身高在160～170之间的人数较多，但并不确定.接着教师追问“那怎么才能更直观并且相对准确地描述数据呢？”，进而抛出问题2.学生普遍认为可以用学过的条形统计图进行描述，横轴是每个身高的数据，纵轴是对应身高的人数.教师现场利用excel工具绘制出学生想要的条形统计图（如图1）.

问题3观察这个条形统计图，你有怎样直观的感受？这说明什么？

对于问题3，学生表示这个条形统计图中的长方形“多且乱”，不能较好地描述数据的整体分布情况.

教学说明：为了了解数据的分布特征和变化规律，需要对数据分组，但学生的体会并不深刻，甚至不明白何为“整体分布”.所以考虑从学生的经验出发，已学的统计图是否能够实现目标？呈现出不理想的统计图，通过发现“长方形多而乱”体现出这样的条形统计图并不能直观描述数据的整体分布情况，学生才能理解何为“整体分布”以及寻找更恰当的方式.考虑到条形统计图的绘制不是本节课的重点，绘制也比较繁琐，所以选择现场用excel生成.

4.3 分组

问题1要想了解这组数据的整体分布情况，怎么办？

追问：在我们以往的学习生活中，有没有这样处理数据的例子？

问题2那该如何分组呢？请大家自己试一试，将你认为合理的分组结果写在学习单上.

问题3请根据讨论修改你的分组.

学生提出需要分组处理数据，并从对考试成绩分段研究的实际例子中再次感受到研究的意义.学生的初步分组主要有以下错误：（1）对于同一个数据，同时存在两组中；（2）分界值不连续，导致有的数据无法分组.针对学生的错误，教师以“如果有一个数据是159.5该放在哪一组？”追问引发讨论.学生认为可以取近似值，四舍五入当作160，这也是一种处理办法，但如果不能取近似值呢？学生接着说就在每一分组后面备注不包含上限值.“那可不可以用数学符号来表示呢？”从而得到用不等式来确定分组的方法.

还有学生提出因为这里身高数据都是整数，所以分组的分界点可以精确到十分之一，这样就能保证每一个数据有唯一分组.如果数据中出现小数呢？那就让精确度再提高一位，共同讨论出“加一位小数”的方法.

对于是先确定组距还是组数，其实都可以.因为组数＝极差÷组距，所以为了计算的方便，往往会选择先确定组距.分多少组合适取决于想要的分布精确度，组数越多，数据分布越精细.

教学说明：如何恰当分组是本节课的难点，分组的关键是分几组、组距多大及如何确定分点，分组的结果要确保每一个数据都有“家”，且有唯一的“家”.在这里，笔者并没有把分组的流程格式化地教给学生，而是希望学生在尝试、比较、反思的过程中体会得出分组的方法.

4.4 制表

问题1接下来要统计每一个组有多少数据，请大家采用划记的方法进行统计并填入表中.

问题2表1就是我们今天要学的频数分布表.你觉得这个表有什么作用？

问题3根据表1，你能描述我班学生身高的整体分布情况吗？

4.5 绘图

问题1你能根据频数分布表设计相应的统计图来描述数据吗？

问题2比较同学们画的这两幅图（图2，图3），你觉得哪幅图更准确？为什么？

问题3问题2中绘制的图有什么用？

受条形统计图的负迁移影响，不少学生绘制的图如图2，教师选取学生的不同作品进行投屏展示，学生指出频数分布直方图的条形之间应该是没有间隙的，因为分组的数据是连续的，进而归纳出频数分布直方图与条形统计图的区别和联系.从频数分布直方图中，可以较为直观地看出身高数据的整体分布情况.

4.6 解决问题

问题1该如何确定参加广播操比赛的30名学生呢？

问题2观察频数分布表和频数分布直方图，你还能作出怎样的推断和估计？你觉得估计的方案科学吗？

教学说明：从实际问题中抽象出数学问题，再回归到解决问题，让学生经历一个完整的统计活动，获得对统计全过程的理性思考，形成统计思维.在解决问题的过程中，感受用样本估计总体的统计思想，体会频数分布表和频数分布直方图的实用性.

5 教学思考

5.1 以现实问题为背景，经历统计全过程

统计教学如何让学生感受到其重要性与实用性，重点在于让学生经历统计活动的全过程.创设真实的情境，对真实的数据进行处理，经历“提出问题—收集数据—整理、描述数据—分析数据—解决问题”的完整过程，更能激起学生研究的兴趣，提高学生的参与度.学生在解决问题的过程中，知道数据蕴含着信息，能根据问题的背景和所要研究的问题确定数据收集、整理和分析的方法，感受到分组、制表、绘图每一步的意义和作用.

5.2 立足新知与旧知差异，体会新知适用性

通过不理想的条形统计图促使学生感受到利用旧知不能解决新问题，即如果一个数据一组，不能较好地描述数据的整体分布情况，从而为了解数据的总体分布特征和变化规律需要进行分组研究，分组整理就需要用到频数分布表，为了更直观呈现，就需要利用频数分布直方图.

自主绘图时让学生再次体会频数分布直方图与条形统计图的联系与区别，频数分布直方图的横向指标是连续的，是特殊的条形统计图.在对比中，明确对于连续型统计量，需要使用频数分布表和频数分布直方图.

5.3 形成合理判断与决策，感悟统计思想

由本班学生的身高分布情况去推断全年级身高的分布情况，是在用样本的频数分布去估计总体的分布情况，是进一步的统计推断，是对统计结果作出预测.决策是否合理，关键取决于样本是否具有代表性，由此从中体会数据分析的重要性，感悟通过样本特征估计总体特征的思想.

根据图表呈现的数据分布情况，学生能感悟到数据分析的必要性，能够理解数据的意义与价值，会用数据的分析结果，形成合理的判断或决策，发展数据观念.

参考文献：

[1]宋乃庆，刘彩霞，陈婷.义务教育新课标“统计与概率”领域的发展变化——基于数据素养培养的视角[J].课程5教材5教法，2022，42（9）：27-34.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.