构建起数学学习的基石

因为方程与函数二者联系紧密，可以相互转化来求解，所以熟练掌握与方程有关的知识对数学学习来说至关重要。本文将聚焦人教版小学数学五年级上册“简易方程”教学中的环节设置与落实情形，观察简易方程作为方程或者说函数的基础知识是怎样产生的，见证方程思想是如何帮助学生解决数学问题。

一、教材分析

“简易方程”是学生初次接触方程这个概念，所学的都是一元一次方程，其中最关键的部分是对于方程使用原理的理解以及应用过程的步骤。在初中阶段，学生开始接触二元一次方程和一次函数等有关知识，这些方程与函数知识都是在简易方程的基础上进行细分和延伸的。

“简易方程”这一单元主要分为三个部分，第一部分理解用字母表示数的意义和作用，发展符号意识，学会在具体情境中发现它们的数量关系；第二部分则是初步了解方程的概念及意义，能够根据实际情境列出具体的方程式；第三部分是利用等式关系尝试寻找简易方程的方法步骤，培养学生解决问题的能力。三个部分环环相扣，形成完整的思维过程，有助于学生形成探究思维。

二、学情分析

“简易方程”的学习是在学生已经具备一定的算术知识、数量关系储备的基础上进行的，同时在之前的学习中，大家也接触了少量的代数知识，如用字母表示运算规律、用符号表示数等。另外，学生在日常过程中也会接触用字母表示数的知识，如在扑克牌中我们会使用A、J、Q等来表示不同的数字。这就是学生初步建立简易方程探究思维的第一步。

同时，应用等式性质来寻找简易方程的解决方法。在之前的学习中，学生已经对等式有了一定的了解。本单元的授课就是将之前的知识与新知识联系起来，使学生构建起相关的知识网络。

学生在数学学习中已经具有观察、归纳、迁移、类推、合作探究等认知体验，积累了大量的实际操作经验。所以，在授课时，我们要在之前的基础上，扩大学生对“数”的认识和运算范围，在较为抽象的水平上进行探究和渗透，为初中阶段函数思想的形成做准备。

三、教学目标

1.借助生活中的实例，初步认识用字母表示数的意义和作用。能够用字母表示学过的运算规律和计算公式，能够在具体情境中用字母表示常见的数量关系，学会根据字母所取的值求出含字母式子的值，培养符号意识。初步了解方程的概念及作用，学会应用等式的基本性质解简易方程。

2.在探索现实世界数量关系的过程中体会归纳猜想、数形结合的数学思想，学会建模思想、化归思想。

3.能够发现生活中的数量关系及问题，体会两个量之间的联系与变化，用数学的方式解决问题。

4.感受数学来源于生活、应用于生活，积累数学探究活动经验，培养解决问题的能力和模型思维。

四、教学重难点

教学重点：学会用字母表示数，利用数量关系写出简易方程，知道简易方程的解题方式。

教学难点：体会符号意识，形成代数思维，建立方程思想，注意模型渗透。

五、教学过程

★第一部分 用字母表示数

学生需要在教师的引导下通过现有的字母表示数的现象联系生活中不同的数学现象，尝试用一个字母表示数学问题中的未知数，通过不同的问题情境发现用字母表示数字在解决问题中的广泛应用。

▲环节一：尝试用字母表示数

师：同学们，大家好！最近小红在和爸爸讨论年龄，爸爸说他比小红大30岁，你知道爸爸和小红的年龄各是多少岁吗？

生：从这个场景中我可以知道爸爸和小红年龄之间的关系，可是不知道小红具体的年龄，爸爸的年龄也无法确定。要是我们知道小红的年龄就好了。假设小红的年龄，相对应就可以得出爸爸的年龄。我们可以使用列表法进行回答。（学生出示假设的表格，表格略）

师：表中的这些式子，都只能表示某一年爸爸的年龄。你能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗？

生1：我知道，爸爸的年龄等于小红的年龄+30岁。

生2：我觉得在式子中有两部分都用汉字表示太麻烦了，能不能找到一个简洁的式子来表示它们呢？

生3：我在扑克牌里见到过用一个英文字母表示数字。我们也可以用字母来表示这个式子中小红的年龄。例如，我们用a表示小红的年龄，这个式子就可以表示为爸爸的年龄是a+30。

师：同学们的思维非常迅速，可是用字母表示的这个数字，我们可以取任意的数值吗？

生：在我们的式子里，这个数字不是一个特定的数字，小红的年龄并不是确定的，所以字母表示的数值不确定。

师：那a可以是200吗？

生：用字母表示的数字取值也要根据实际情况进行调整，我们虽然使用字母表示了数字，但这并不意味着它能够取任意的数字，需要结合实际情境。

师：我们在加减法式子中可以用字母表示数字，在乘除法中也能这样使用吗？让我们通过宇航员叔叔的疑惑进行探究吧！在月球上，人能举起的物体质量是地球上的6倍。你能用含有字母的式子表示人在月球上能举起的物体质量吗？

生：我们利用在加减法中的经验可以通过列表法表示出一部分物体的质量（如表1）。

表1

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通过观察表1发现这个等量关系中的未知数是在地球上能举起的物体质量，根据它的数值变化，在月球上的物体质量也会发生变化，所以我们用x来表示这个未知数，即人在地球上能举起的物体质量，那么在月球上能举起的物体质量为x×6。所以在乘除法中字母也能发挥出它应有的作用。

师：其实在乘法表示时，我们通常会省略乘号进行表示，同时将数字写在字母前面，即6x。通过两个具体事例的探究，我们可以发现式子中的字母既可以在加减法中使用，也可以在乘除法中发挥相同的作用。

▲环节二：用字母表示运算规律和计算公式

师：在之前的学习中，我们已经知道了字母能够表示数字，关于数字间的运算规律也可以利用字母进行表示吗？请你试一试。（学生根据表2内容尝试填表）

表2

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生：在小红和爸爸的年龄问题中，我只使用了一个字母进行表示，如果两个都用字母表示，我就能够得到一个等式。就像表2中的运算规律一样，使用字母表示数，可以将运算规律更加简洁直观地展示出来，方便记忆。

师：对于数字间的运算规律可以使用字母表示出来，那图形的计算公式也可以吗？一起用正方形的有关知识来试一试。

生：我们使用字母a表示正方形边长，用S表示面积，用C表示周长。那么正方形的面积和周长公式可以写成S=a×a和C=a×4。

师：为了方便我们记忆公式，可以将它们进行简化，例如S=a×a可以利用平方形式写成S=a2，而在公式中出现数字的话，通常会把数字写在前面，中间的乘号省略不写。

生：那这样的话，C=a×4就转变为C=4a。

师：让我们一起来计算边长为6厘米的正方形面积吧？

生：我们使用字母来表示正方形面积的计算公式为S=a2，即在本题中，a的取值为6，所以正方形面积为S=62=36平方厘米。所以在使用字母后的等式或者说等量关系时，我们可以快速根据题目中的条件变化，找到需要代入数值的未知数，从而得到想要的答案，字母的使用能帮助我们清晰地分辨出已知条件以及结果，简明易记，便于应用。

★第二部分 简易方程

学生通过前一部分中字母可以表示的范围的具体探究过程，了解到使用字母表示数可以帮助我们在面对数学问题时化繁为简，将文字表现的数学问题通过简洁的数学语言表示，从而得到一个含有字母的式子，同时与其有联系的条件也可以使用字母，极大地帮助学生理清现有条件以及内在联系。

▲环节三：尝试代数关系

师：如果现在我们已经知道字母，你能够根据数量关系写出含字母的式子吗？

1大杯果汁1200 g，从中倒出3小杯。如果每小杯果汁x g，你能用含有字母的式子表示大杯里的果汁还剩多少克吗？

生：首先我们知道1杯果汁的克数，现在有3杯果汁被倒出，也就是3x g，我们一共有1200 g，剩余的果汁就是（1200-3x） g。此时根据得到的式子，只要我们确定字母的取值，就可以得到剩余的果汁克数了！

师：在实际问题中，我们还需要怎么做？

生：进行验证，我们的果汁数量是一定的，如果每杯的克数为400时，倒出3杯后，杯中就无剩余了，所以400就是我们可以取的最大值。

师：那在整个过程中，式子中的字母可以表示哪些数呢？

生：在整个表示过程中，字母既表示了一小杯果汁的克数，同时利用现有的等量关系，字母还表示出剩余果汁的克数，所以式子中的字母表示的数范围有很多，小数、分数均有可能。另外，复杂的数量关系用字母表示会更加清晰，方便我们梳理不同数值间的关系。

▲环节四：列出简易方程

师：观察图1，如果老师摆了x个三角形和x个正方形，你能知道老师一共用了多少根小棒吗？

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图1

生1：首先我们需要知道一个三角形是3根小棒，一个正方形是4根小棒。

生2：如果有x个三角形，说明三角形一共使用3x根小棒，x个正方形就是4x根小棒。

生3：一共使用的小棒就是（3x+4x）根。我们就可以利用加法结合律将式子进行简化为3x+4x=（3+4）x=7x，所以，一共用了7x根小棒。

师：在整个过程中，你发现了什么呢？

生：我发现数字运算规律，在用字母表示的式子中也同样适用，这样就可以帮助我们对列出的多个含有字母的式子进行化简。

★第三部分 解简易方程

教师引导学生明白方程的含义，使用含有字母的式子列出简易方程，并理解解简易方程的原理，学会解简易方程的方法。

▲环节五：等式与方程

师：在实验中，我们使用了一种工具“天平”，它是一个公平审判官，只有左右两个托盘中的物品重量相等才会平衡。（演示讲解）现在老师进行一次测量，你能够根据实验写出一个式子吗？

生：50+50=100，这是一个等式。

师：你还能说出这样的式子吗？

生：我进行了空杯子的测量。天平一边是杯子，另一边是砝码。当有两个砝码在托盘中时，二者平衡，也就是杯子重100克。

师：现在老师往杯子中加入水，你观察天平发生了什么样的变化？（不平衡）你知道杯子中水的质量是多少吗？

生：不清楚，是一个未知数，可以用字母x表示。

师：不平衡的关系你可以用一个式子表示出来吗？（100+x>100）这样的式子叫做不等式。无论天平是否平衡，我们都可以用相应的式子来表示。当天平平衡时，我们可以用“＝”表示，天平不平衡时，可以用“＜”或“＞”表示。老师接着往托盘中加入了砝码，你发现了什么？（天平平衡了）此时怎么表示它们之间的关系？

生：杯子的质量和水的质量与砝码的质量相等了，用含字母的式子进行表示就是100+x=250。这是一个等量关系。看来我们想要写出等式，就要找到它们之间的等量关系！

师：根据等量关系列出的含有未知数的等式就是我们所说的方程。

生：在天平引导下的等量关系中，我们可以将物体的质量作为未知数，根据它们之间的数量关系，列成满足条件的等式，这个等式就是我们所说的方程。

师：观察方程的概念，我们可以发现一个关键条件就是含有未知数，这是在等式的基础上所必须的条件，也就是说等式的范围要大于方程所覆盖的部分，等式在只有自身含有未知数时才是方程。

▲环节六：解方程

在进行解方程前，学生已经学习了等式的两个性质。

师：老师手中一共有9个球，其中盒子里有x个，盒子外有3个，你能知道盒子里有几个球吗？

生：我可以根据等量关系列出一个方程：x+3=9。

师：你可以通过数学方法尝试解出这个字母的数字取值吗？

生：我发现x+3=9中，我们可以使用等式的性质，等式两边同时减去3，等式左右两边仍然相等，这样等式左边化简后就会变成只有一个未知数x，右边就是它的取值。所以等式可以写成x+3-3=9-3=6，即x=6。此时x的取值可以使方程成立。

师：我们把使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。在本题中就是方程的解。而这个求方程的解的过程叫作解方程。在尝试解方程的过程中，我们有两个关键点需要注意，你知道是什么吗？

生：第一个关键点是需要找到问题中的等量关系，这是我们能够列出方程的关键。第二个关键点就是我们需要熟练掌握等式的基本性质，这是我们解方程的关键。

师：所有的等式性质在方程求解中都适用吗？将数量扩大到原来数量的2倍、3倍、4倍甚至更多呢？请同学们分小组对不同等式的性质在方程中是否可以使用进行讨论。

生：原来等式的所有性质均可以在方程中进行使用，这对于我们方程的求解方法拓宽了更多的思路，在求解时的方法也就更加多样化。

“简易方程”是学生接触数学方程思想的第一步，学生通过用字母表示数、简易方程、解简易方程三个部分环环相扣的学习，在教师的引导下认识了解方程、掌握解方程的基本方法和技巧，最终建立方程模型，体会数学建模的过程，形成数学抽象思维，为之后的数学学习与生活打下坚实的基础。

（作者单位：甘肃省张家川县平安乡马塬小学）

编辑：温雪莲