基于整体性视角 促进结构化建模

《义务教育数学课程标准（2022年版）》着重指出要对课程内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟，是小学阶段数学核心素养的表现之一，能够引导学生在现实生活中感悟数学模型，增强学生对数学的应用意识。北师大版四年级上册《运算律》单元是学生第一次正式接触运算律，对于提升学生的运算能力以及后续学习小数、分数应用运算律进行简便计算，增强模型意识具有突出作用。

本文结合对《乘法分配律》教学的思考进行实践，探讨如何准确把握教材的整体结构，实现有结构的“教”、有关联的“学”，建立有意义的思维框架，多维并进突破学生的认知困境，促进学生深度学习发生，实现减负提质。

一、丰富背景，感知模型结构

《乘法运算律》的学习过程就是引领学生建模的过程。学习是一个从模糊到逐渐清晰的过程，是从凭借直觉到系统学习、主动运用的过程。在这个过程中设计有趣的、现实的、蕴含乘法分配律意义的情境，尽可能多地给学生概念的具体样例，多角度呈现乘法分配律的外延特征，有利于学生积累感性经验，多视角认识乘法分配律。例如，教材提供的贴瓷砖情景，行列观察顺序不同，蓝白颜色不同，侧面和正面瓷砖位置不同。在感受方法的多样化后，教师应引导学生梳理个性化的思路，寻找联系紧密的算式，感受等值变形的特点。面积模型也是直观认识分配律的重要途径，如教师可以提供各种长方形，引导学生探究什么样的长方形可以拼成更大的长方形，尝试用不同的方法计算新长方形的面积。还可以让学生在活动中体会乘法分配律的意义，可以结合购物情境，如购买合唱队的服装就可以成为学生感受乘法分配律的素材。在这些丰富多样的素材中不断对比，乘法分配律的模型就更加直观、清晰，从而帮助学生更好地归纳和理解乘法分配律，实现建模。

二、多元表征，建立模型结构

同一事物有不同的表征方式。在数学学习中既有内隐的心理层面的知识整合与建构，也有外显的能够呈现认知过程和认知结果的多元化的数学表达。研究发现，对于难度较大的数学学习内容，多元表征能够起到减轻认知负荷的良好作用。乘法分配律抽象复杂，变式多，又与乘法结合律互相干扰，对于部分学生来说是难以理解的，因此教师要围绕表征展开教学，让乘法分配律的建构可感、可见。教学时，教师要安排大空间的探索活动，让学生用自己喜欢的方式解释所写等式的合理性，通过可视化的方法验证乘法分配律是成立的。

（一）操作表征

儿童的思维发端于手指，有效操作是数学发现的前提。只有在有序的操作中建构数学概念，才能让学生更深刻地积累活动经验：哪些图形可以拼成更大的长方形？怎样求出新图形的面积？学生在将长6宽4和长4宽3的两个长方形，以及长8宽5和长5宽2两个长方形进行拼接后，会质疑为什么有的图形可以拼成新图形，而有的却不能。通过互动交流以及正例和反例的对比，学生能够迅速聚焦到必须有条相同公共边的特征上。这样的操作直观表征出乘法分配律与其他运算律的不同属性，即两个乘法算式必须有一个相同的因数。

（二）情境表征

联系现实生活寻找生活事例，发现解释规律。比如，面对6×3+4×3=（6+4）×3，可以理解成五年级有6个班级，四年级有4个班级，每个班级领到3个篮球，可以用6×3+4×3先分别算出四、五年级领到的篮球，再算出两个年级一共领到的篮球，也可以先算一共有（6+4）个班级，再算一共领到多少个篮球。这样，以后学生再遇到抽象的算式时，都可以还原到现实的情景中，通过融入事例编故事，用故事中的数量关系支撑抽象算式中蕴含的规律。

（三）几何表征

点子图和方格图非常重要。例如，将两个长方形拼成一个大长方形，计算面积。虽然算法不同，但是通过同求一物，学生可以找出相等的原因，从而得到等式，更好地理解乘法分配律左右两边的算式相等的原因。之后在画一画、涂一涂、圈一圈活动中再次体会规律。这种数形结合的方式可以帮助探索建构乘法分配律。

（四）意义表征

这些表征方式虽然不一样，然而万象归一，殊途同归。教师以问题“这些表征方式有相同点吗”引发学生的认知冲突，让其站在数学应有的理性角度进行深入思考，从而发现不管用哪种形式表征，6个3和4个3合在一起都有（6+4）个3。以多种表征为载体，在对比分析中能够启发学生思维从形式上的交流聚集到算理的追溯。挑战性的问题使学生不仅能基于独立思考表达自己的独特想法，还能跳出自我框架，脱离现实情境，借助算式的意义理解模型的本质，以更开阔的视角叩问乘法分配律的本质，从而跳出固有的封闭认知。这样的学习过程就是从“自我”走向“他人”，从“个体”走向“协同”，发展了学生的分析与综合能力、评价与创造能力。

（五）符号、语言表征

语言表征让数学思考听得见。教师应创设让每个学生将自己的发现表达出来的机会，使学生对乘法分配律的认识越来越清晰，完成从几个特例的共性特点归纳出一般性的结论，形成建构。在意义表征和语言表征后，符号表征也就水到渠成，学生能够轻而易举地用字母来表征乘法分配律了。在学习过程中每个学生都应有试一试的机会，独立自主完成用语言到数学符号表达的过程，解释乘法分配律。

相同的对象采用不同的表征方式，使得模型结构在学生的头脑中不断加深。通过情境表征、图形表征，学生有形可检；通过意义表征学生探寻关联、抓住本质，借助乘法的意义完成对乘法分配律的数学表征，从而剖析乘法分配律外在的“形”，深入理解乘法分配律的“魂”，凸显乘法分配律的本质；通过符号、语言表征学生可以实现模型的内化。这样的学习从单一到多元、从具体到抽象、从现象到本质，从不同视角、不同维度对数学本质进行视觉化或体验化的阐述，逐层建构乘法分配律的概念和意义。

三、新旧内联，融通模型结构

教材是静态文本向动态思维转化的载体，也是探索新知的途径。教师要重视整体分析教学内容，了解乘法分配律的产生与来源，从哪里来，到哪里去，为新知的形成奠定结构化的基础。

（一）纵向拉伸

教师将单元间、跨年级、跨学段的同类知识内容进行勾连，进行调整、增补，将割裂、散状分布的知识内容串联修复，使学生清晰地认识到知识间的纵向关联。乘法分配律的学习必须基于乘法意义的理解，学习前要开展孕伏性的训练。如6×5，学生可以借助点子图、方格图等理解为5 个6或6 个5。不仅如此，教师还要找到已有的知识体系并对其进行结构化。例如，从二年级学习乘法口诀，到三年级探索两位数、三位数乘两位数，再到三年级关于周长的不同计算方法中也运用到乘法分配律……在解决简单的实际问题时，学生会自然地凭直觉运用乘法分配律，从而形成一定的体验。教师可以通过问题，如“你在哪里见过乘法分配律”引发学生思考，唤醒学生记忆。学生基于已有经验进行梳理、归纳、迁移、整合，站在整体化、系统化、结构化的视角整合素材，融通建构乘法分配律，实现高效学习。

（二）横向贯通

教学时，教师要从单元整体视角出发，形成对整体结构脉络的认知，建立思想、方法上的联系。教材将这些运算律作为一个独立单元系统地讲解，有利于学生感悟到算式等值变形的数学思想，根据运算律寻找到更加合理、简便的运算途径。几个运算律的编排结构基本是一致的，即观察算式——仿写算式——解释规律——表述规律。教材更加重视学生自主能力的培养，让学生通过迁移和类比，自主探究。对于交换律和结合律，教材注重从课内到课外的延展，以及从加法、乘法的运算律到减法、除法运算律的拓展。因此，学习乘法分配律也要有结构化的眼光，如“关于乘法分配律，你还想探究什么”的思考，将学生的目光引向更广阔的空间，探究乘减分配律、除法分配律是否也成立，以及乘法分配律在小数、分数里是否也适用，从而培养学生的推理能力。

教师引导学生建立学习结构体系，除了要找到这些知识之间的联系，还要进行区别，融会贯通。乘法交换律只涉及乘法这一级的运算，运算次数和运算顺序没有改变，只是改变了乘数的位置。乘法结合律相对复杂，涉及3个数，但是仍然只有乘法这一级的运算，数字的位置没有改变，但是改变了运算顺序。而乘法分配律涉及乘、加两级的运算，不但数的位置和运算顺序发生了变化，左右两边数字的个数也不一样，因此，乘法分配律比乘法结合律更复杂，变式更多。学生常出现这样的错误：25×12=25×

（10+2）=25×10+2，25×12=25×（4×3）=25×4+25×3，这是因为乘法结合律和乘法分配律之间的相似之处互相干扰，因此出现了各式各样的错例。在单元学习时，教师引领学生探究25×12的算法，进行深度思考、深度探究、深度建构，促进学生的深度学习。

四、多维应用，理解模型结构

（一）发散思维

还是借助方格图以形释数，进行数学探究活动。活动有两个层次。首先，长是8、宽是5和长是5、宽是2的两个长方形拼起来后，面积一共含有几个方格？还可以继续拼吗？请根据图形写出等式。在图形的拼加中再一次深化学生对规律的理解，只要图形拥有相同的边就可以无限拼起来，所有等式两边都含有相同的几个几；其次，利用丰富的直观加持数学学习，渗透极限思想，发展学生的数感，使其感悟乘法分配律的模型。

第二个探究活动：淘气、笑笑计算两个图形的面积时分别写了两个等式，分别是9×7+9×3=（7+3）×9，12×7-2×7=（12-2）×7，请你猜猜这两个图形是什么样子的，想一想，画一画，验证你的想法。通过计算变化中的长方形面积，让学生明白乘法分配律的模型既有加又有减，既可以顺又可以逆，“凑整”思想的渗透在不经意间水到渠成，同时还能引发学生对乘法分配律的思考，激发学生的探索欲望。

（二）聚合思维

聚合思维与发散思维相对应，将学生广阔的思路聚集成一个焦点，将问题涉及的各种信息结合起来，从而可以对于出现的众多可能性迅速做出判断，找到最佳的结论或解决问题的最好路径，是一种有方向、有范围、有条理的收敛性的思维方式。例如98×13+（）×13，你渴望（ ）里的数是几？学生紧扣两个乘法算式中必须有一个相同的因数这一特征发散思考，（）里答案可以是不唯一的，但是学生还能快速找出（）里的最佳答案为“2”，并用乘法的意义进行解释，98个13再加上2个13，合起来有（98+2）个13，等于100个13。这样的探究活动一环扣一环，具有较强的连续性，使得原有发散的思维浓缩聚拢，形成思维的纵向深度和强大的穿透力，顺利解决了问题，体现了学习乘法分配律的意义——使运算更加简便。学生对乘法分配律的认识达到质的飞跃，体现出数学学习的价值。

（三）系统思维

数学是一个整体，掌握数学知识需要系统思维，教师要引导学生将乘法分配律的学习看作一个系统进行研究，用整体、全局的眼光进行学习，使学生具备强大的逻辑抽象能力，拥有合情的推理能力。本课在回顾“你在哪里应用了乘法分配律”时，让学生自然地探究1.2×4可以怎样算。尽管学生并未系统地学习小数乘法，但是能够从12×4的算法中得到启发，将乘法分配律推广到小数范围，将新问题化归为旧问题，从整数到小数，在陌生的学习环境中感受数学研究的“味道”，培养数学素养。学生带着“乘减分配律，除法分配律是否也成立”的思考在课外探究，通过观察、思考、仿写、解释和表述的学习活动发现问题、提出问题，归纳和总结规律，积累合情推理的数学活动经验，提升思维能力，实现方法的迁移。这样的学习找到了《乘法分配律》前后相关的知识点，帮助学生更清晰地了解了乘法分配律的范围深度，注重内在联系和层次结构，形成完整的知识体系，培养学生用系统思维学习数学、全面思考问题的习惯。

五、结语

在概念教学中，教师需要对素材进行数学化的思考，从数学意义上建构，才能实现对抽象数学概念的深度理解。教学时，教师以形释数统整运算定律，利用几何直观构建规律模型，多维度拓展演绎定律，立足生本经验，精选认知素材，优化认知路径，丰富论证策略，尊重共性学情，引导学生在多元表征中让思维可视化，有效建构乘法分配律模型；勾连前后知识间的联系，从整体上把握教材，关注知识的整体性，把握知识形成与发展的脉络，使数学知识系统化、结构化；用结构化思维整合教材，为学生提供结构化的学习材料，引领学生展开结构化的建模，实现结构化教与学的深度发生。

注：本文系福建省泉州市基础教育教学改革专项课题“‘双减’背景下小学数学探究性作业设计实践研究”（课题编号：QJYKT2022—71）的阶段性研究成果之一。