综合训练（四）

一、单选题

1.已知集合[U=1，2，3，4，5，A=2，3，B=x∣x=2k，k∈Z]，则[B⋂∁UA=]（ ）

A. [4] B. [2，4] C. [1，2] D. [1，3，5]

2.复数[i-1i3]的虚部为（ ）

A. 8 B. -8 C. [8i] D. [-8i]

3.已知向量[a=0，-2，b=1，t]，若向量[b]在向量[a]上的投影向量为[-12a]，则[a⋅b=]（ ）

A. 2 B. [-52]   C. -2 D. [112]

4.在[△ABC]中，“[C=π2]”是“[sin2A+sin2B=1]”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.过点[0，-2]与圆[x2+y2-4x-1=0]相切的两条直线的夹角为[α]，则[cosα=]（ ）

A. [104] B. [-14] C. [154] D. [14]

6.[A，B，C，D，E]五人站成一排，如果[A，B]必须相邻，那么排法种数为（ ）

A. 24 B. 120 C. 48 D. 60

7.若系列椭圆[Cn：anx2+y2=10<an&7xMApwix+4sJncu/MFb6Iw==lt;1，n∈N*]的离心率[en=12n]，则[an=]（ ）

A. [1-14n] B. [1-12n]

C. [1-12n] D. [1-14n]

8.已知双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F]为左焦点，[A1，A2]分别为左、左顶点，[P]为[C]右支上的点，且[OP=OF]（[O]为坐标原点）.若直线[PF]与以线段[A1A2]为直径的圆相交，则[C]的离心率的取值范围为（ ）

A. [1，3] B. [3，+∞]

C. [5，+∞] D. [1，5]

二、多选题

9.已知一组数据：[12，31，24，33，22，35，45，25，16]，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（ ）

A. 中位数不变 B. 平均数不变

C. 方差不变 D. 第40百分位数不变

10.双曲线[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]，左、右顶点分别为[A，B，O]为坐标原点，如图1，已知动直线[l]与双曲线[C]左、右两支分别交于[P，Q]两点，与其两条渐近线分别交于[R，S]两点，则下列命题正确的是（ ）

A. 存在直线[l]，使得[AP][∥][OR]

B. [l]在运动的过程中，始终有[PR=SQ]

C. 若直线[l]的方程为[y=kx+2]，存在[k]，使得[S△ORB]取到最大值

D. 若直线[l]的方程为[y=-22x-a，RS=2SB]，则双曲线[C]的离心率为[3]

[图2][图1]<D：＼1＼加急＼语数外学习·高中版下旬＼语数外学习·高中版下旬202404＼2_2024年高中12期数学＼Image＼image71.png><D：＼1＼加急＼语数外学习·高中版下旬＼语数外学习·高中版下旬202404＼2_2024年高中12期数学＼Image＼image70.png>

11.如图2，在棱长为1的正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，M为底面[ABCD]的中心，[D1Q=λD1A1]，[λ∈0，1]，N为线段AQ的中点，则（ ）

A. CN与QM共面

B. 三棱锥[A-DMN]的体积跟[λ]的取值无关

C. [λ=13]时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为[42+2134]

D. [λ=14]时，[AM⊥QM]

三、填空题

12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.

13.已知函数[fx=lnx+1-axx+1]，若[fx≥0]恒成立，则[a=]__________.

14.已知抛物线[C：y2=2px（p>0）]，点[P]为抛物线上的动点，点[A4-p2，0]与点[P]的距离[AP]的最小值为2，则[p=]__________.

四、解答题

15.在[△ABC]中，[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，已知[b=2，c=4，acosC+b=0].

（1）求[a]；

（2）已知点[D]在线段[BC]上，且[∠ADB=3π4]，求[AD]长.

16.甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为[0.7，0.2，0.1]，乙击中8环、9环、10环的概率分别为[0.6，0.2，0.2]，且甲、乙两人射击相互独立.

（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；

（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求[X]的分布列与数学期望.

17.如图3，圆台[O1O2]的轴截面为等腰梯形[A1ACC1，AC=2AA1=2A1C1=4]，[B]为底面圆周上异于[A，C]的点.

（1）在平面[BCC1]内，过[C1]作一条直线与平面[A1AB]平行，并说明理由.

（2）设平面[A1AB⋂]平面[C1CB=l，Q∈l，BC1]与平面[QAC]所成角为[α]，当四棱锥[B-A1ACC1]的体积最大时，求[sinα]的取值范围.

18.已知函数[fx=lnx+x2+ax+2]在点[2，f2]处的切线与直线[2x+3y=0]垂直．

（1）求[a]；

（2）求[fx]的单调区间和极值．

19.已知抛物线[C：y2=4x]的焦点为[F]，过[F]的直线[l]交[C]于[A，B]两点，过[F]与[l]垂直的直线交[C]于[D，E]两点，其中[B，D]在[x]轴上方，[M，N]分别为[AB，DE]的中点．

（1）证明：直线[MN]过定点；

（2）设[G]为直线[AE]与直线[BD]的交点，求[△GMN]面积的最小值．

参考答案与解析

一、单选题

1.【答案】A

【解析】[∵U=1，2，3，4，5，A=2，3，∴∁UA=1，4，5]，又[B=x∣x=2k，k∈Z]，

[∴B⋂∁UA=4]. [∴]选A.

2.【答案】B

【解析】因为[i-1i3=（i+i）3=-8i].故选B.

3.【答案】C

【解析】由题[b]在[a]上的投影向量为[b⋅cosθ×aa=a⋅ba|a|2=0，t]，又[-12a=0，1，∴t=1]，即[b=1，1，]

[∴a⋅b=0×1+-2×1=-2]. [∴]选C.

4.【答案】A

【解析】在[△ABC]中，[A+B+C=π]，则[B=π-C-A]，

充分性：当[C=π2]时，[B=π2-A，sinB=sinπ2-A=cosA]，

[sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=1]，所以“[C=π2]”是“[sin2A+sin2B=1]”的充分条件；

必要性：当[sin2A+sin2B=1]时，取[A=π12，B=π12+π2=A+π2]，

此时[sin2A+sin2B=sin2π12+cos2π12=1]，但[C=π3≠π2]，

所以“[C=π2]”是“[sin2A+sin2B=1]”的不必要条件.

综上所述，“[C=π2]”是“[sin2A+sin2B=1]”的充分不必要条件.故选A.

5.【答案】B

【解析】圆[x2+y2-4x-1=0]的圆心[C2，0]，半径为[r=5]；

设[P0，-2]，切线为[PA]、[PB]，则[PC=22+22=22，]

在[△PBC]中，[sinα2=BCPC=522]，

所以[cosα=1-2sin2α2=-14].故选B.

6.【答案】C

【解析】将[A，B]捆绑起来，[A，B]有[A22]种排列方法，然后将[A]和[B]当成一个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，有[A44]种不同的排列方式，根据分步计数原理可知排法种数为[A22A44=48]，故选C.

7.【答案】A

【解析】椭圆[Cn]可化为[：x21an+y21=1].

因为[0<an<1]，所以离心率[en=ca=1an-11an=12n]，解得：[an=1-14n].故选A.

8.【答案】D

【解析】设双曲线的右焦点为[F1]，则[|OP|=|OF|=|OF1|]，

则[∠FPF1=90°]，[P]为[C]右支上的点，取[PF]的中点为B，连接[OB]，则[OB⊥PF]，

设[|OB|=t]，则[|PF1|=2t]，则[|PF|=2a+2t]，

在[Rt△FPF1]中，[2a+2t2+2t2=2c2]，

即[2t2+2at+a2-c2=0]，

又直线[PF]与以线段[A1A2]为直径的圆相交，故[0<t<a]，

设[f（t）=2t2+2at+a2-c2]，则[f（0）=a2-c2<0]，

则需使[f（a）=2a2+2a2+a2-c2>0]，解得[ca<5]，

即双曲线离心率的范围为[1<e<5]，

即[C]的离心率的取值范围为[1，5]，故选D.

二、多选题

9.【答案】AD

【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为[12，16，22，24，25，31，33，35，45]，其中位数为25，平均数是[12+16+22+24+25+31+33+35+45÷9=27]，方差是[19×（-15）2+（-11）2+（-5）2+（-3）2+（-2）2+42+62+82+182]

[=8249]，

由[40%×9=3.6]，得原数据的第40百分位数是第4个数24.

将原数据去掉12和45，得[16，22，24，25，31，33，35]，

其中位数为25，平均数是[（16+22+24+25+31+33+35）÷7=1867]，

方差是[17×-7472+-3272+-1872+-1172+]

[3172+4572+5972=191649]，

由[40%×7=2.8]，得新数据的第40百分位数是第3个数24，

故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.

故选AD.

10.【答案】BD

【解析】对于A：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A错误；

对于[B]：设直线[l：y=kx+t]，与双曲线联立[y=kx+t，x2a2-y2b2=1，]得：[b2-a2k2x2-2a2ktx-a2t2+a2b2=0]，

设[Px1，y1，Qx2，y2]，由根与系数关系得：[x1+x2=2a2ktb2-a2k2，x1x2=-a2b2+a2t2b2-a2k2]，

所以线段[PQ]中点[Nx1+x22，y1+y22]，即为[a2ktb2-a2k2，a2k2tb2-a2k2+t]，

将直线[l：y=kx+t]，与渐近线[y=bax]联立得点[S]坐标为[Satb-ak，btb-ak]，

将直线[l：y=kx+t]与渐近线[y=-bax]联立得点[R]坐标为[R-atb+ak，btb+ak]，

所以线段[RS]中点[Ma2ktb2-a2k2，a2k2tb2-a2k2+t]，

所以线段[PQ]与线段[RS]的中点重合，所以[PR=PQ-RS2=SQ]，故B正确；

对于C：由B项可得[R-2ab+ak，2bb+ak，S△ORB=12OB×yR=12OB2bb+ak]，因为[OB]为定值，

当[k]越来越接近渐近线[y=-bax]的斜率[-ba]时，[2bb+ak]趋向于无穷，

所以[S△ORB]会趋向于无穷，不可能有最大值，故C错误；

对于D：联立直线[l]与渐近线[y=bax]，

解得[Sa22b+a，ab2b+a]，

联立直线[l]与渐近线[y=-bax]，

解得[Ra2-2b+a，ab2b-a]由题可知，[RS=2SB]，

所以[yS-yR=2yB-yS]即[3yS=yR+2yB]，

[3ab2b+a=ab2b-a]，解得[b=2a]，

所以[e=3]，故D正确.

故选BD.

11.【答案】ABC

【解析】在[△ACQ]中，因为[M，N]为[AC，AQ]的中点，所以[MN//CQ]，

所以[CN]与[QM]共面，所以A正确；

由[VA-DMN=VN-ADM]，因为[N]到平面[ABCD]的距离为定值[12]，且[ΔADM]的面积为定值[14]，

所以三棱锥[A-DMN]的体积跟[λ]的取值无关，所以B正确；

当[λ=13]时，过[A，Q，M]三点的正方体的截面[ACEQ]是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为[l=2+23+2×1+49=42+2133]，所以C正确；

当[λ=14]时，可得[AM2=1，AQ2=1+916=2516，][T]为[AD]的中点，[U]为[A1D1]的中点，

[QM2=QT2+MT2=QU2+TU2+MT2=12+（14）2+（12）2=2116]，

则[AM2+AQ2>QM2]，所以[AM⊥QM]不成立，所以D不正确．

故选ABC.

三、填空题

12.【答案】3920

【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是[101，111，121，…，291]，是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为[S20=20×101+2912=3920].

13.【答案】1

【解析】由题意得[fx=1x+1-a（x+1）2=x-a-1（x+1）2]，

①当[a⩽0]时，[f′x>0]，所以[fx]在[-1，+∞]上单调递增，

所以当[x∈-1，0]时， [fx<f0=0]，与[fx≥0]相矛盾；

②当[a>0]时，当[x∈-1，a-1]时，[f′x<0， fx]单调递减，

当[x∈a-1，+∞]时，[f′x>0，fx]单调递增，

所以[f（x）min=fa-1=lna-a-1]，

因为[fx⩾0]恒成立，所以[lna-a-1⩾0]，

记[ga=lna-a-1，g′a=1a-1=1-aa，]

当[a∈0，1]时，[g′a>0，ga]单调递增，

当[a∈1，+∞]时[g′a<0，ga]单调递减，

所以[g（a）max=g1=0]，所以[lna-a-1⩽0]，

又[lna-a-1⩾0]，所以[lna-a-1=0]，所以[a=1].

14.【答案】[2-2，4，12]

【解析】设[Px，y， |AP|2=x-4-p22+y2=] [x-4-3p22+8p-2p2]，

（i）当[4-3p2⩾0]，即[0<p⩽83]时，[|AP|2]有最小值[8p-2p2]，即[AP]有最小值[8p-2p2=2]，解得[p=2±2]，由于[2+2>83]，故[p=2-2].

（ii）当[4-3p2<0]，即[p>83]时，[|AP|2]有最小值[4-p22]，即[AP]有最小值[4-p2=2]，解得[p=4]或12，综上可知，[p]的值为[2-2，4，12].

四、解答题

15.【解析】（1）[acosC+b=0]，由余弦定理得：

[a⋅a2+b2-c22ab+b=0]，

即[a2+3b2-c2=0，∵b=2，c=4]，可得[a=10]；

（2）由余弦定理[cosC=b2+a2-c22ab=2+10-162×2×10=-55]，[∴sinC=1-cos2C=255，]

[∵∠ADB=3π4，][∴∠ADC=π4]，

在[△ADC]中，由正弦定理可得[ADsinC=ACsin∠ADC]，

[∴AD=AC⋅sinCsin∠ADC=2×25522=455].

16.【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件[B]，

则事件[B]包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，

则[PB=0.2×0.6+0.1×0.6+0.1×0.2=0.2].

（2）由题可知[X]的所有可能取值为[0，1，2，3]，

由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，

则[X∼B3，0.2]，

所以[PX=0=C03×0.20×（1-0.2）3=0.512，]

[PX=1=C13×0.2×（1-0.2）2=0.384]，

[PX=2=C23×0.22×1-0.2=0.096，]

[PX=3=C33×0.23×（1-0.2）0=0.008]，

故[X]的分布列为：

[[X] 0 1 2 3 [P] 0.512 0.384 0.096 0.008 ]

所以[EX=3×0.2=0.6].

17.【解析】（1）取[BC]的中点[P]，作直线[C1P]，直线[C1P]，取[AB]中的点[H]，连接[A1H，PH]，

[∴][PH][∥][AC，PH=12AC]，如图4，在等腰梯形[A1ACC1]中，[A1C1=12AC].

[∴HP][∥][A1C1，HP=A1C1，]

[∴]四边形[A1C1PH]为平行四边形.

[∴C1P][∥][A1H]，又[A1H⊂]平面[A1AB，C1P⊄]平面[A1AB]，

[∴C1P][∥]平面[A1AB;]

<D：＼1＼加急＼语数外学习·高中版下旬＼语数外学习·高中版下旬202404＼2_2024年高中12期数学＼Image＼image361.png> <D：＼1＼加急＼语数外学习·高中版下旬＼语数外学习·高中版下旬202404＼2_2024年高中12期数学＼Image＼image362.png>

图4 图5

（2）由题意作[BO⊥]平面[A1ACC1]，即[BO]为四棱锥[B-A1ACC1]的高，

在Rt[△ABC]中，[∠ABC=90°，BO=BA⋅BCAC≤BA2+BC22AC=12AC]，当且仅当[BA=BC]时取等号，此时点[O′]为[O2]重合，

[∵]梯形[A1ACC1]的面积[S]为定值，[VB-A1ACC1=13S⋅BO]，

[∴]当[BO]最大，即点[O]与[O2]重合时四棱椎[B-A1ACC1]的体积最大，

又[BO2⊥AC，BO2=2]，以[O2]为原点，射线[O2A，O2B，O2O1]分别为[x，y，z]轴建立空间直角坐标系，如图5所示.在等腰梯形[A1ACC1]中，[AC=2AA1=2A1C1=4]，此梯形的高[h=3]，显然[A1C1]为[△OAC]的中位线，

[∴O0，0，23，A2，0，0，B0，2，0，C1-1，0，3，]

[BC1=-1，-2，3，AB=-2，2，0]，[BO=0，-2，23，] [O2A=2，0，0]，

设[BQ=λBO，λ∈R]，

[∴][AQ=AB+BQ=AB+λBO=-2，2-2λ，23λ]，

设平面[QAC]的一个法向量[n=x，y，z]，

[∴][n⋅O2A=2x=0，n⋅AQ=-2x+2-2λy+23λz=0，]

取[n=（0，3λ，λ-1），∴sinα=cosn，BC1=n⋅BC1|n|BC1=3|λ+1|22×4λ2-2λ+1]，

令[t=λ+1]，[∴][sinα=3t22×4t2-10t+7]，

当[t=0]时，[sinα=0]，

当[t≠0]时，[0<sinα=322×7t2-10t+4]

[=322×71t-572+37≤144]，

当且仅当[t=75]，即[λ=25]时取等号，综上可知[0⩽sinα⩽144].

18.【解析】（1）[fx=1x+2x+a]，

则[f2=12+2×2+a=92+a]，

由题意可得[92+a×-23=-1]，解得[a=-3]；

（2）由[a=-3]，得[fx=lnx+x2-3x+2]，

则[fx=1x+2x-3=2x2-3x+1x=2x-1x-1x]，[x>0]，

故当[0<x<12]时， [fx>0]，当[12<x<1]时， [fx<0]，当[x>1]时， [fx>0]，

故[fx]的单调递增区间为[0，12]、[1，+∞]，[fx]的单调递减区间为[12，1]，

故[fx]有极大值[f12=ln12+122-3×12+2=34-ln2]，有极小值[f1=ln1+12-3×1+2=0].

19.【解析】（1）由[C：y2=4x]得[F1，0]，由直线[AB]与直线[CD]垂直，

故两只直线斜率都存在且不为[0]，

设直线[AB]、[CD]分别为[x=m1y+1]、[x=m2y+1]，有[m1m2=-1]，

[Ax1，y1]、[Bx2，y2]、[Ex3，y3]、[Dx4，y4]，

联立[C：y2=4x]与直线[AB]的方程可得[y2=4x，x=m1y+1，]

消去[x]可得[y2-4m1y-4=0]，[Δ=16m21+16>0]，

故[y1+y2=4m1]、[y1y2=-4]，

则[x1+x2=m1y1+1+m1y2+1=m1y1+y2+2=4m21+2]，

故[x1+x22=2m21+1]，[y1+y22=2m1]，

即[M2m21+1，2m1]，同理可得[N2m22+1，2m2]，

当[2m21+1≠2m22+1]时，

[lMN：y=2m2-2m12m22+1-2m21+1x-2m21-1+2m1]，

即[y=m2-m1m22-m21x-2m21-1+2m1=xm2+m1-1-2m1m2m2+m1]，

由[m1m2=-1]，即[y=xm2+m1-1+2m2+m1=1m2+m1x-3]，

故[x=3]时，有[y=1m2+m13-3=0]，

此时[MN]过定点，且该定点为[3，0]，

当[2m21+1=2m22+1]时，即[m21=m22]时，由[m1m2=-1]，即[m1=±1]时，

有[lMN：x=2+1=3]，亦过定点[3，0]，

故直线[MN]过定点，且该定点为[3，0]；

（2）由[Ax1，y1]、[Bx2，y2]、[Ex3，y3]、[Dx4，y4]，

则[lAE：y=y3-y1x3-x1x-x1+y1]，由[y21=4x1]、[y22=4x2]，

故[y=y3-y1y234-y214x-y214+y1=4xy3+y1+y1y3y3+y1，]

同理可得[lBD：y=4xy4+y2+y2y4y4+y2]，

联立两直线的方程得[y=4xy3+y1+y1y3y3+y1，y=4xy4+y2+y2y4y4+y2，]

有[4xy3+y1+y1y3y3+y1=4xy4+y2+y2y4y4+y2]，

即[4xy4+y2+y1y3y4+y2=4xy3+y1+y2y4y3+y1]，

有[x=y2y4y3+y1-y1y3y4+y24y4+y2-y3-y1]，

由[y1y2=-4]，同理可得[y3y4=-4]，

故[x=y2y4y3+y1-y1y3y4+y24y4+y2-y3-y1=-4y2+y4-y1-y34y4+y2-y3-y1]

[=-1]，

故[xG=-1]，

过点[G]作[GQ//x]轴，交直线[MN]于点[Q]，如图6，

[则S△GMN=12yM-yN×xQ-xG]，

由[M2m21+1，2m1]、[N（2m22]

[+1，2m2）]，

故[yM-yN=2m1-2m2=2m1]

[+2m1≥22m1×2m1=4]，

当且仅当[m1=±1]时，等号成立，

下证[xQ-xG≥4]：

由抛物线的对称性，不妨设[m1>0]，则[m2<0]，

当[m1>1]时，有[m2=-1m1∈-1，0]，则点[G]在[x]轴上方，点[Q]亦在[x]轴上方，

有[1m2+m1=1m1-1m2>0]，

而直线[MN]过定点[3，0]，此时[xQ-xG>3--1=4]，

同理可得，当[m1<1]时，有点[G]在[x]轴下方，点[Q]亦在[x]轴下方，

有[1m2+m1<0]，故此时[xQ-xG>4]，

当且仅当[m1=1]时，[xQ=3]，

故[xQ-xG≥4]恒成立，且[m1=±1]时，等号成立，

故[S△GMN=12yM-yN×xQ-xG≥12×4×4=8].