例谈证明多元不等式的三种思路

若不等式中含有两个或两个以上的变量，则称之为多元不等式.相较于一元不等式问题，多元不等式问题较为复杂，且难度较大.证明多元不等式的方法很多，那么如何选用合适的方法进行求证呢？下面我们一起来加以探讨.

一、构造向量

向量法是解答数学问题的重要方法.在证明多元不等式时，可以将代数式与向量的加法、减法、数量积、模的公式等关联起来，构造出向量，便可根据向量不等式[a⋅b≤a⋅b]、[a⋅b≤a⋅b]来证明不等式.

例1.若[a，b∈R+]，且[a+b=1]，试证明：[a+12+b+12≤2].

证明：设[m=1，1]，[n=a+12，b+12]，

则[m⋅n=a+12+b+12]，

[m=2]，[n=a+b+1=2]，

因为[m⋅n≤m⋅n]，所以[a+12+b+12≤2].

将[a+12+b+12]看作向量[m=1，1]、[n=a+12，b+12]的数量积，便可将问题转化为向量问题，根据向量不等式[a⋅b≤a⋅b]证明不等式.

例2.已知[x+y+z=1]，证明：[3x2+y2+z2≥1].

证明：设[m=1，1，1]，[n=x，y，z]，

则[m⋅n=x+y+z=1]，

[m=3]，[n=x2+y2+z2]，

因为[m⋅n2≤m2⋅n2]，

所以[1，1，1⋅x，y，z2≤1，1，12⋅x，y，z2]，

因此[3x2+y2+z2≥1].

由[x2+y2+z2]可联想到向量的模的公式，于是构造向量[m=1，1，1]，[n=x，y，z]，那么[m⋅n=x+y+z=1]，便可以直接根据向量不等式[a⋅b2≤a2⋅b2]得出结论.

二、借助基本不等式

若[a、b>0]，则[a+b≥2ab]，当且仅当[a=b]时等号成立，该式被称为基本不等式.运用基本不等式证明多元不等式，往往要先将不等式进行合理的变形，通过“1”的代换、凑系数、凑分母、添项等方式配凑出两式的和或者积，并使其中之一为定值；然后运用基本不等式求最值；最后需检验两式相等时等号是否成立.

例3.若[fx=3x-1+x+1]的最小值为[m2+4n2]，其中[m，n∈R]，求证：[1m2+1n2+1≥32].

证明：[fx=3x-1+x+1=-4x+2，x≤-1，-2x+4，-1<x<1，4x-2，x≥1，]

则当[x=1]时， [fx]取得最小值[f1=2]，

可得[m2+4n2=2]，即[m2+4n2+1=6]，

则[1m2+1n2+1=1m2+1n2+1m2+4n2+1×16]

[=165+4n2+1m2+m2n2+1≥165+24=32]，

当且仅当[4n2+1m2=m2n2+1]，即[m2=2]，[n2=0]时等号成立，

所以不等式[1m2+1n2+1≥32]成立.

由题意可知[m2+4n2+1=6]，可得[m2+4n2+1×16=1]，于是将[1m2+1n2+1]乘以1，将[m2+4n2+1×16]替换“1”，通过“1”的代换配凑出两式[4n2+1m2、m2n2+1]的和，而这两式的积为定值，即可运用基本不等式求得最值.

例4.设[a>0]，[b>0]，[c>0]，求证：[a2b+b2c+c2a≥a+b+c].

证明：因为[a>0]，[b>0]，[c>0]，

故[a2b>0]，[b2c>0]，[c2a>0]，

而[a2b+b≥2a2b⋅b=2a]，

[b2c+c≥2b2c⋅c=2b]，

[c2a+a≥2c2a⋅a=2c]，

则[a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c]，

可得[a2b+b2c+c2a≥a+b+c]，当且仅当[a2b=b，b2c=c，c2a=a]，即[a=b=c]等号成立.

本题中a、b、c均大于0，根据基本不等式[a+b≥2ab]得出[a2b+b≥2a2b⋅b]，[b2c+c≥2b2c⋅c]，[c2a+a≥2c2a⋅a]，便可利用不等式的可加性证明不等式.

三、运用函数思想

对于较为复杂的不等式，如含有多个单项式、高次幂等，通常可以利用函数思想来证明不等式.首先将不等式进行变形，并构造出函数，使其形如[fx>0]、[fx<0]、[fx>gx]、[fx<gx]；然后讨论函数的单调性，求得函数的最值，证明[fxmin>0]、[fxmax<0]、[fxmin>gxmax]、[fxmax<gxmin]，即可证明不等式.

例5.已知[a，b，c∈-1，1]，求证：[ab+bc+ca>-1].

证明：设函数[fx=b+cx+bc+1]，

则[fa=b+ca+bc+1=ab+bc+ca+1]，

而[f1=b+c+bc+1=b+1c+1>0]，

[f-1=-b-c+bc+1=b-1c-1>0]，

因为函数[fx]的图象是一条直线，

所以当[-1<a<1]时，[fx>0]，即[fa>0]，

所以[ab+bc+ca>-1].

本题若采用常规方法求解，较为困难，于是先根据不等式的结构特征，构造函数[fx=b+cx+bc+1]，那么[fa=ab+bc+ca+1]；然后根据一次函数的单调性证明当[-1<a<1]时，[fx>0]，即可证明[fa>0]，从而达到证明不等式的目的.

例6.当[b>a>e]，证明：[ab>ba].

证明：在不等式[ab>ba]的两边同时取对数，可得[blna>alnb]，

变形可得[1alna>1blnb]，

令[fx=1xlnx]，

可知函数[fx]在[e，+∞]内连续且可导，

则[f′x=-1x2lnx+1x⋅1x=1x21-lnx<0][x>e]，

所以[fx]在[e，+∞]上单调递减，

因为[b>a>e]，所以[fa>fb]，即[1alna>1blnb]，

可得[blna>alnb]，故不等式[ab>ba]成立.

先在不等式[ab>ba]的两边同时取对数，得到同构式[1alna>1blnb]；然后构造函数[fx=1xlnx]，将问题转化为证明[fa>fb]；再对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可证明不等式.

向量法、基本不等式法、构造函数法都是证明不等式问题的常用方法.同学们在证明不等式时，要将不等式进行合理的变形、化简，根据新不等式的结构特征构造出向量、函数，配凑出基本不等式，即可根据向量之间的不等关系、基本不等式的积式与和式之间的大小关系，利用函数的单调性证明多元不等式.