怎样求解含有根式的函数最值问题

含有根式的函数往往较为复杂.由于函数式中含有根式，所以通常很难采用常规方法求得函数的最值.解答此类问题的关键是将含有根式的函数最值问题转化为常规的函数最值问题来求解，常用的方法有平方法、导数法、三角代换法.下面结合实例作详细的介绍.

一、平方法

对于含有根式的函数式，我们通常可以采用平方法来求其最值：将函数式平方，以去掉根号.再研究去掉根号后的新函数的单调性，即可根据其单调性求得最值.若一次平方后无法去掉全部的根号，则需进行二次平方，或直接研究根号下的式子，求得其最值即可解题.

例1.函数[y=1-x+x+3]的最大值为[M]，最小值为[m]，则[mM=]_____.

解：由[y=1-x+x+3]可知函数的定义域为[[-3，1]]，

将其平方得[y2=4+2-x2-2x+3]，

令[t=-x2-2x+3，x∈[-3，1]]，

则该函数的对称轴为[x=-1]，且函数在[[-3，-1]]上单调递增，在[（-1，1]]上单调递减，

则当[x=-1]时，[tmax=4]，

当[x=1]时，[tmin=0]，所以[y2∈[4，8]]，

所以[ymax=M=22]，[ymin=m=2]，因此[mM=22].

用平方法可以将函数式转化为至多只含有一个根式的函数式，这样便能化繁为简.在求得新函数的最值后，要注意其与原函数之间的等价性，有时需将所得的最值开方.

二、导数法

若含有根式的函数在某个区间内是可导的，就可以利用导数法来求函数的最值.首先根据求导法则和求导公式对函数求导；然后判断出函数的单调性，探寻其极值点，即可得到最值.

例2.求函数[fx=1-x+x+3-1]的最值.

解：根据[fx=1-x+x+3-1]可得函数的定义域为[-3，1]，

则[f′x=1-x-x+321-x⋅x+3]，由[f′x>0]可得[x<-1]，

则函数在[-3，-1]上单调递增，

同理可得，函数在[-1，1]上单调递减，

所以函数在[x=-1]处取得极大值，

而[f-1=22-1，f-3=1，f1=1]，

故函数的最小值为1，最大值为[22-1].

在运用导数法求得函数的极值后，往往需将所得的极值与函数定义域上的端点值相比较，较大的为最大值，较小的为最小值.

三、三角代换法

三角代换法是指将函数式中的变量用三角函数来替换，之后利用三角函数的有界性和单调性来求函数最值.在运用三角代换法解题时，要选取合适的式子进行换元，并且要关注新旧自变量的取值范围.

例3.求函数[f（x）=x+4-x2]的最值.

解：由题意可知函数的定义域为[[-2，2]]，

设[x=2sint，t∈[-π2，π2]]，

则[y=2sint+2cost=22sin（t+π4）].

而[t+π4∈[-π4，3π4]]，所以[sin（t+π4）∈[-22，1]].

则[y∈[-2，22]]，即函数[f（x）=x+4-x2]的值域为[[-2，22].]

所以函数的最大值是[22]，最小值为[-2].

令[x=2sint，t∈[-π2，π2]]，便可通过三角换元，将目标式化为三角函数式.再将其化简，即可运用正弦函数的有界性和单调性求得函数的最大值、最小值.一般地，可以根据同角的三角函数关系式[sin2θ+cos2θ=1]或完全平方公式进行三角代换，这样便可以去掉根号，将函数式化为常规的三角函数式.

上述三种方法的特点和应用情形均不相同.同学们在解题时要仔细观察函数式，对其进行合理的变形、化简、构造，这样才能根据根式函数的结构特点找到最佳的解题方案.