有关糖水不等式的证法及用法

已知[a]克糖水中含有[b]克糖（[a>b>0]），再添加[m]克糖与m克水[（m>0）]（假设全部溶解），则糖水变甜了.将其用一个不等式表示为[ba<b+ma+m]，这就是糖水不等式.糖水不等式的形式较为特殊，在解题中应用广泛.下面主要介绍一下糖水不等式及其应用技巧.

仔细观察可以发现，糖水不等式左右两侧的式子均为分式，且右边的分子、分母是在左边的分子、分母的基础上增加了同一个正数.我们往往很难根据不等式的性质直接得出这样的分式，而利用糖水不等式便可以快速比较出[ba、b+ma+m]的大小.

根据生活经验可知，若把糖水中的糖与水减掉[m]克，则糖水会变淡，于是得出一个不等式：若[a>b>m>0]，则[b-ma-m<ba]. 由此可知，若[a>b>m>0]，则[b-ma-m<ba<b+ma+m].

糖水不等式主要用来证明分式不等式、比较两个分式的大小.在解题时，只需将分式的分子和分母同时加上或减去一个数（或代数式），那么根据糖水不等式即可快速确定原分式的取值范围，将原分式放大或者缩小.

例1.设[a=log32，b=log43，c=log54]，则（ ）.

A. [a<b<c] &nbsp; B. [c<b<a] C. [a<c<b] D. [c<a<b]

解：由糖水不等式可知[ln2ln3<ln2+ln43ln3+ln43=ln83ln4<ln3ln4]，

即[log32<log43]，同理可得[log43<log54].

综上可知，[log32<log43<log54].故本题选A.

由于[a=log32=ln2ln3]，[b=log43=ln3ln4，c=log54=ln4ln5]，都是小于1的正分数，所以可以利用糖水不等式来比较[log32、log43、log54]的大小，即可轻松解题.

例2.已知[n∈N*]，求证：[21×54×…×3n-13n-2>3n+13].

证明：记[S=21×54×…×3n-43n-5×3n-13n-2]，

则[S>32×65×…×3n-33n-4×3n3n-1]，

[S>43×76×…×3n-23n-3×3n+13n]，

将以上三式相乘，可得[S3>3n+1]，即[S>3n+13].

不等式左侧的式子为n个分式的乘积，且n个分式的通项公式为[3n-13n-2].根据糖水不等式可得[3n-13n-2>3n3n-1、3n-13n-2>3n+13n]，将每个分式的分子、分母都加上1、2，并将三个式子相乘，即可根据不等式的可乘性证明不等式.

例3.证明不等式：[A+a+B+bA+a+B+b+c+r+B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+c+A+aC+c+A+a+b+r]，其中所有的字母都是正数.

证明：易知[A+a+B+bA+a+B+b+c+r>A+aA+a+c+r>A+aC+c+A+a+b+r]，

[B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+cC+c+a+r>C+cC+c+A+a+b+r]，

将两式相加即可得：

[A+a+B+bA+a+B+b+c+r+B+b+C+cB+b+C+c+a+r>C+c+A+aC+c+A+a+b+r].

本题的难度较大，采用常规方法证明的话比较复杂.不等式中的三个单项式均为分式，于是令糖水不等式[b-ma-m<ba<b+ma+m]中的[m]为[B+b]，然后通过放缩，使得其分母等于不等式右边的分母，这样将两式相加即可证明不等式.

例4.设[an=3n-12]，证明：[1a1+1a2+…+1an<32].

证明：当[n≥2]时，[0<23n-1<1]，

由糖水不等式得[1an=23n-1<2+13n=13n-1].

所以[1a1+1a2+…+1an<1+13+132+…+13n-1]

[=1⋅（1-13n）1-13=32（1-13n）<32].

由于[1an=23n-1]，所以[1an]不是等比数列，不能直接求和.但观察其结构可发现，只要根据糖水不等式将数列各项的分子、分母都加上1，即可构成等比数列，便能根据等比数列的前n项和公式进行求和，从而证明不等式.

运用糖水不等式解题，关键要明确题目中分式的结构特征，将其分子、分母同时加上或减去一个数（式子），以将分式放缩.