解答数列最值问题的三种方法

数列最值问题常与函数、导数、不等式等知识相结合.常见的数列最值问题有：（1）求数列的最大项、最小项；（2）求数列通项公式的最大值、最小值；（3）求数列和的最大值、最小值.本文将结合几道例题，来谈一谈如何解答数列最值问题.

一、利用函数的性质

数列是一类特殊的函数，具有单调性.一般地，若数列单调递增，则当n越大时，第n项越大；若数列单调递减，则当n越大时，第n项越小.在求解数列最值问题时，可以将目标式视为关于n的一次函数式、二次函数式、指数函数式，即可利用一次函数、二次函数、指数函数的性质来求最值.

例1.已知数列[an]为等差数列，[a2=-31，a5=-22].

（1）求数列[an]的通项公式；（2）求数列[an]的前[n]项和[Sn]的最小值.

解：（1）数列[an]的通项公式为[an=3n-37]（过程略）；

（2）由（1）知[a1=-34，d=3，]

由等差数列的前n项和公式可得：

[Sn=-34n+nn-12×3=32n-7162-504124]，

因为[n]为正整数，所以当[n=12]时，[Sn]有最小值，计算得：[S12=-210].

将等差数列的前n项和视为关于n的一元二次函数，对函数式进行配方，便可根据二次函数的性质求得函数的最小值.在求解数列最值问题时，需注意自变量n为自然数，千万不能忽视此隐含条件，否则会得出错误的结果.

二、放缩法

要求数列的最值，通常需求得目标式的取值范围.在解题时，我们不妨根据目标式的结构特征进行合理的变形，利用不等式的可加性、可减性、可乘性等将目标式进行适当的放缩，如去掉一些多余的项或者是增加一些项，从而将目标式化成更为简便的形式，以顺利求得目标式的最值.

例2.已知数列[an]的每一项都是正数，其前[n]项和[Sn=n（n+3）4].若不等式[1S1+1S2+⋅⋅⋅+1Sn<M]恒成立，求[M]的最小值.

解：因为[Sn=n（n+3）4]，所以[1Sn=43（1n-1n+3）].

则[1S1+1S2+⋅⋅⋅+1Sn=43×[（1-14）+（12-15）+⋅⋅⋅+（1n-1n+3）]=43×（116-1n+1-1n+2-1n+3）<229]，

所以[M≥229]，故实数[Mmin=229].

我们先将[1Sn=4n（n+3）]进行裂项，便可运用裂项相消法顺利求得数列[1Sn]的前n项和；再舍弃[-1n+1]、[-1n+2]、[-1n+3]三项，便可利用放缩法求得数列的最值.

三、利用基本不等式

基本不等式[a+b≥2aba>0，b>0]是解答最值问题的常用工具.利用数列的性质和通项公式将目标式化简后，即可尝试通过代数变换配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，为使用基本不等式创造条件，便可顺利求得最值.

例3.已知正项等比数列[an]满足[a7=a6+2a5]，若存在两项[am和an]，使得[aman=22a1]，其中[m∈N*， n∈N*]，求[1m+1+4n]的最小值.

解：因为[a7=a6+2a5]，则[a1q6=a1q5+2a1q4]，且[q>0]，

得[q2-q-2=0]，解得[q=2或-1（舍去）].

又因为[aman=22a1]，则[a1×2m-1×a12n-1=22a1]，

可得[m+n=5，m+1+n=6]，

所以[1m+1+4n=16（1m+1+4n）（m+1+n）]

[=16[4（m+1）n+nm+1]+56].

由基本不等式可得：

[4（m+1）n+nm+1≥24（m+1）n⋅nm+1=4]，

当且仅当[4（m+1）n=nm+1]时取等号，此时[m=1，n=4]，

则[1m+1+4n]的最小值为[32].

在运用基本不等式求最值时，要注意对取等号时的条件进行检验，看其是否满足题意.若不满足，则需要另外进行讨论.

总的来说，解答数列最值问题，关键在于先利用数列的性质和题目中的已知条件对目标式进行化简、变形；再根据目标式的结构特点选择合适的方法来求最值.在解答的过程中，要将数列知识与函数知识、不等式知识等结合起来，以寻找到最佳的解题方案.