例谈两类分段函数问题的解法

分段函数是对不同自变量的取值范围有着不同解析式的函数，通常用几段表示.相较于常规函数，分段函数较为复杂，我们通常需灵活运用分类讨论思想来求解分段函数问题.下面主要谈一谈两类分段函数问题的解法.

一、求值问题

分段函数的求值问题主要有求自变量的值、求函数的值、求参数的值.解答这类问题，需找准各个自变量对应的函数式，将相应的值代入函数式中进行运算、求解.在求得问题的答案后，要注意检验所求的值是否满足已知条件、自变量的取值范围，以确保推理的严谨、结果的正确.

例1.已知函数[f（x）=2x2+x，x≤0，-2x2，x>0，]若[f（f（a））-f（a）+1=0]，则a的值为_____.

解：令[f（a）=t]，因为[f（f（a））-f（a）+1=0]，

所以[f（t）-t+1=0];

当[t≤0]时，[2t2+t-t+1=0]，即[2t2+1=0]，该方程无解；

当[t>0]时，[-2t2-t+1=0]，

解得[t=12]或[t=-1]（舍去），即[f（a）=12].

当[a≤0]时，[2a2+a=12]，整理得[4a2+2a-1=0]，

解得[a=-1-54]或[a=-1+54]（舍去）.

当[a>0]时，[-2a2=12]，该方程无解.

所以a的值为[-1-54].

已知关系式中涉及了复合函数，需先令[f（a）=t]，通过换元、解方程求得[f（a）]的值；然后通过分类讨论求关于a的方程的解，即可得到参数a的值.

例2.已知函数[f（x）=4x， x≤0，2f（x-1）-2f（x-2）， x>0，]则[f（2023）]的值为____.

解：当[x>0]时， [f（x）=2f（x-1）-2f（x-2）]①.

令[x=x+1]，则[f（x+1）=2f（x）-2f（x-1）]②.

由①②可得[f（x+1）=2f（x-1）-4f（x-2）]，

令[x=x+1]，则[f（x+2）=2f（x）-4f（x-1）]③，

将①代入到③中得到[f（x+4）=-4f（x）].

则[f（2023）=f（4×506-1）=（-4）506f（-1）=4505=21010.]

解答本题，需先仔细研究当[x>0]时函数的解析式，通过代换得出[f（x+4）=-4f（x）]，即可根据该结论找出函数值与自变量之间的变化规律；然后将x=2023、-1代入，即可快速获得问题的答案.

二、求分段函数零点的个数

求分段函数零点的个数，需分别讨论每个区间段上函数与x轴的交点，或方程[f（x）=0]的根的个数.我们可以令每个区间段上的函数为0，通过解几个方程来求零点的个数；也可以画出函数在每个区间段上的图象，通过数形结合，找出零点.

例3.已知函数[f（x）=x+1x，x<0，lnx，x>0， ]若函数[g（x）=f（x）+a]有2个零点，求函数[h（x）=f（f（x）+a）+a]零点的个数.

解：根据函数的解析式画出函数的图象，如图所示.

因为当[x<0]时，[x+1x≤-2]，则当[a=2]时，函数[f（x）]的图象和直线[y=-a]有2个交点，此时[h（x）=f（f（x）+2）+2].

令[h（x）=0]，

则[f（f（x）+2）=-2].

令[t=f（x）+2]，则[t<0，t+1t=-2，]或[t>0，lnt=-2，]

解得[t=-1]或[t=1e2].

则[f（x）+2=-1]或[f（x）+2=1e2]，

可得[f（x）=-3]或[f（x）=1e2-2>-2.]

由图可知当[f（x）=-3]时，[h（x）=f（f（x）+a）+a]有3个零点；当[f（x）=1e2-2]时，[h（x）=f（f（x）+a）+a]有1个零点，则总共有4个零点.

我们根据函数的解析式画出函数的图象，便可通过研究函数的图象，确定函数[f（x）]的图象和直线[y=-a]的交点，通过研究临界情形：[a=2]，求得问题的答案.

由上述分析可知，分段函数问题中往往会涉及多种类型的函数，较为复杂.同学们要学会灵活运用分类讨论思想，将问题拆分为每个区间段上的函数求值问题、零点个数问题来求解.