灵活运用转化思想，提升解答代数问题的效率

转化思想是解答数学问题的常用思想.当遇到一些较为复杂，直接求解较为困难的题目时，可以运用转化思想，通过观察、分析、类比、联想等方式，将问题转化为较为简单、容易求解的问题，从而使问题顺利获解.

一、相等关系与不等关系之间的转化

对于一些等式问题，如代数式的取值范围问题、函数的最值问题，若采用常规方法无法获解，则不妨运用转化思想，将问题转化为不等式问题，利用不等式的性质、基本不等式等来求解.对于一些不等式问题，如证明不等式、不等式恒成立问题等，在解题受阻时，可以将问题转化为等式问题，根据整式的性质进行等量代换变换，从而找到解题的突破口.

例1.已知函数[f（x）=a（ex+a）-x]．

（1）讨论[f（x）]单调性；

（2）证明：当[a>0]时，[f（x）>2lna+32]．

解：（1）当[a≤0]时， [f（x）]在[R]上单调递减；当[a>0]时，[f（x）]在[（-∞，-lna）]上单调递减，在[（-lna，+∞）]上单调递增（过程略）.

（2）由（1）可得，当[a>0]，且[x=-lna]时， [f（x）min=f（-lna）=1+a2+lna]，

要证[f（x）>2lna+32]成立，

即证函数[f（x）]的最小值[f（x）min=1+a2+lna>2lna+32]，

即证[a2-lna-12>0].

令[h（a）=a2-lna-12]，则[h（a）=2a-1a=2a2-1a]，

由[h′（a）=0]得[a=22].

当[a∈（0，22）]时，[h（a）<0]，则[h（a）]单调递减；

当[a∈（22，+∞）]时，[h（a）>0]，则[h（a）]单调递增，

所以当[a=22]时，[h（a）]的最小值为[h（a）min=12+ln22-12=ln22>0]，

所以当[a>0]时，[f（x）>2lna+32].

解答本题主要运用了转化思想，将不等式问题转化为函数[h（a）=a2-lna-12]的最值问题，通过讨论导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，进而确定函数的最小值[h（a）min=ln22]，而[ln22>0]，这样通过等量转换便可证明不等式成立.

二、函数与方程之间的转化

函数与方程之间的关系紧密.在解答函数问题时，我们可以直接令函数为0，通过解方程即可顺利求得函数图象与x轴交点的坐标，也可以将函数图象与x轴交点的横坐标视为方程的根，据此建立关系式.在求解方程问题时，我们可以根据方程构建与之相应的函数，通过研究函数的图象、性质，建立有关方程的根的关系式，从而顺利求得方程的根的取值范围.

例2.若函数[f（x）=alnx+bx+cx2（a≠0）]既有极大值又有极小值，则（ ）.

A. [bc>0] B. [ab>0] C. [b2+8ac>0] D. [ac<0]

解：由题意可知[f（x）]的定义域为[（0，+∞）]，

对函数求导可得[f（x）=ax2-bx-2cx3]，

因为函数[f（x）]既有最大值又有最小值，

所以[f（x）=0]在[（0，+∞）]上有两个不等实根.

令[h（x）=ax2-bx-2c]，

则[h（x）=0]在[（0，+∞）]上有两个不等实根，

所以[Δ>0，x1+x2>0，x1x2>0，]即[b2+8ac>0，ba>0，-2ca>0，]所以[b2+8ac>0，ab>0，ac<0，]

所以[b]与[a]同号，[c]与[a]异号，故[bc<0]，

所以[A]项错误，BCD三项正确.故本题选BCD.

我们根据极值的定义，将问题转化为方程[f（x）=0]在[（0，+∞）]上有两个不等的实根问题，通过讨论方程的根的分布情况建立关于a、b、c的不等式，从而找出正确的选项.

三、特殊与一般之间的转化

一般情形下成立的命题，在某些特殊情形下往往也一定成立.由特殊情形得出的一般性结论、规律通常具有普遍性.因此，对于一些含有较多未知数的问题，我们可以将问题特殊化，通过取特殊值、特殊点、特殊位置等，将问题转化为具体、简单的问题来求解.对于一些较为特殊的情形，我们可以将其推广到一般情形，找出解答问题的一般规律，就可以轻松解题.

例3.设[f（x）=4x4x+2，]求[f（12024）+f（22024）+…+f（20232024）]的值.

解：因为[f（x）+f（1-x）=4x4x+2+41-x41-x+2]

[=4x4x+2+44+2⋅4x=4x4x+2+24x+2=1]，

所以[f（12024）+f（22024）+…+f（20232024）]

[=f（12024）+f（20232024）+f（22024）+f（20222024）][+…+f（10112024）+f（10132024）+f（10122024）]

[=1+1+…+1+f（12）=1011+12=20232].

仔细观察和式，可以发现[12024+20232024=1，22024+20222024=1，…]，且[f（12024）+f（20232024）=1]，[f（22024）+f（20222024）=1]，…，对这些特殊情形进行探究，可以得出一般性的结论[f（x）+f（1-x）=1]，借助该结论，问题就能迎刃而解.

四、数与形之间的转化

数与形之间存在一一对应的关系.在解答代数问题受阻时，可以深入挖掘代数式的几何意义，据此构造出几何图形，利用转化思想将问题转化为几何问题，运用有关三角形、圆、平行四边形的性质和定理来解题.在解答几何问题时，可以根据点、线、面的位置关系，利用勾股定理、正余弦定理、弦长公式等建立代数关系式，通过代数运算来获得问题的答案.

例4.设函数[f（x）]的定义域为[R]，满足[f（x+1）=2f（x）]，且当[x∈0，1]时，[f（x）=x（x-1）]．若对任意[x∈-∞，m]，都有[f（x）≥-89]，则[m]的取值范围是（ ）.

A. [（-∞，94]] B. [（-∞，73]] C. [（-∞，52]] D. [（-∞，83]]

解：因为[x∈（0，1]]时，[f（x）=x（x-1）]，

则函数的图象是开口向上的抛物线在[（0，1]]上的一段.

又[f（x+1）=2f（x）]，所以[f（x）=2f（x-1）].

将[f（x）]的图象向右平移1个单位，并将各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得[f（x）=2（x-1）（x-2）]，[x∈（1，2]]的图象，如图所示.

当[2<x≤3]时，[f（x）=4f（x-2）=4（x-2）（x-3）]，

令[4（x-2）（x-3）=-89]，得：[9x2-45x+56=0]，

所以[3x-73x-8=0]，解得[x1=73]，[x2=83]（舍），

所以要使[f（x）≥-89]，需使[x∈（-∞，73]]，

所以[m≤73]，则[m]的取值范围为[m∈（-∞，73]]，故本题选B项．

此题若从代数的角度去求解恐怕是无从下手，不妨将“数”化“形”，根据函数的解析式画出函数的图象，通过求[f（x）=-89]的解确定临界情形，借助图形找出使[f（x）≥-89]的所有自变量的取值，即可解题.

总之，在解答数学问题受阻时，不妨转换解题的思路，利用转化思想，将相等关系与不等关系、函数与方程、特殊与一般、数与形之间进行合理的转化，即可化“未知”为“已知”、化难为易、化繁为简、化陌生的为熟知的，从而顺利求得问题的答案.