谈谈函数值域的几种求法

函数的值域是函数值的集合.求函数的值域问题比较常见，这类问题侧重于考查同学们的直观想象和运算能力.解答函数的值域问题的方法很多，如分离常数法、反函数法、换元法、图象法、判别式法、函数性质法等.下面结合实例谈一谈求函数值域的几种方法.

一、分离常数法

若题目中给出的函数式为分式，如[y=cx+dax+b（a≠0）]，通常可采用分离常数法来解题.首先将函数式变形为[y=m+nax+b]的形式，这样便可以将常数分离出来，只需根据基本不等式、反比例函数的单调性求得分式[nax+b]的取值范围，就能顺利求得函数的值域.

例1.求函数[y=2x-1x+3]的值域.

解：由函数的解析式可知[x+3≠0，]所以[x≠-3，]

而[y=2（x+3）-7x+3=2-7x+3]，

因为[7x+3≠0]，所以[y≠2].

所以函数的值域为[y∈-∞，2⋃（2，+∞）].

先将函数式中的分子化为分母的倍数；然后通过约分将函数式简化，使得常数被分离出来；再求得[7x+3]的取值范围，即可解题.

二、反函数法

原函数中的y即为反函数中的x，相应的，原函数中的x即为反函数中的y.在求原函数的值域较为困难时，我们不妨采用反函数法，求出反函数及其定义域，即可求得原函数的值域.须得注意，运用反函数法解题的前提条件是原函数存在反函数.

以例1为例.

解：由[y=2x-1x+3]可知其反函数为[y=-3x-1x-2]，

其定义域为[x≠2]，所以原函数的值域为[y≠2].

所以函数的值域为[y∈-∞，2⋃（2，+∞）].

在运用反函数法解题时，往往要根据整式的性质，如根号下的式子大于或等于0、绝对值大于或等于0、分式的分母不为0，等等来求得反函数的定义域.

三、函数性质法

函数性质法是解答代数问题的常用方法.在求函数的值域时，我们经常要用到函数的性质，如单调性、有界性.

1.利用函数的单调性

利用函数的单调性求函数的值域，要先确定函数的定义域；然后根据函数单调性的定义、简单基本函数的单调性、复合函数单调性的判断法则“同增异减”，来判断出函数的单调性；再根据函数的单调性来求函数的值域.一般地，若函数在[a，b]上单调递增，则函数的值域为[f（a），f（b）]；若函数在[a，b]上单调递减，则函数的值域为[f（b），f（a）].

例2.求函数[f（x）=x-4-x2]的值域.

解：因为[4-x2≥0]，所以[-2≤x≤2].

由[f（x）=1+x4-x2≥0]得[-2≤x≤2]，

则[f（x）]在该区间上单调递增.

由[f（x）=1+x4-x2≤0]得[-2≤x≤-2]，

则[f（x）]在该区间上单调递减.

所以[f（x）max=f（2）=2]， [f（x）min=f（-2）=-22].

所以[f（x）]的值域为[-22，2].

解答本题，需先根据函数的解析式求得函数的定义域；然后对函数求导，根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数在定义域上的单调性，进而确定函数的极大值、极小值，从而求得函数的值域.一般地，若在某区间上[f（x）>0]，则函数在该区间上单调递增；若在某区间上[f′（x）<0]，则函数在该区间上单调递减.

2. 利用函数的有界性

我们知道，函数具有有界性，如当[0≤x≤π2]时，[0≤sinx≤1]，[0≤cosx≤1]；当[x∈R]，[a∈R]时，[sinα≤1，x2≥0，ax>0].在求函数的值域时，我们可以直接根据函数的定义域和有界性来解题.

例3.求函数[f（x）=sinx+1cosx-2]的值域.

解：令[f（x）=sinx+1cosx-2=t]，则[tcosx-sinx=2t+1].

由辅助角公式可得[t2+1cosx+ϕ=2t+1]，

所以[cosx+ϕ=2t+1t2+1].

所以[cosx+ϕ=2t+1t2+1≤1]，解得[-43≤t≤0].

所以[f（x）]的值域为[-43，0].

求三角函数的值域，往往要先利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等将函数式化为只含一种函数名称的式子；再根据三角函数的有界性求最值.

四、换元法

求函数的值域常用的换元方法有整体换元、局部换元、三角换元.对于形如[y=ax+b±cx+d]、[y=ax+bcx+d]、[y=cx+dax+b]（a、b、c、d为常数，[ac≠0]）的无理函数式，通常可以采用换元法，将根式或根号下的式子用新元替换，如令[cx+d=t（t≥0）]，即可将函数式转化为简单基本函数式，利用简单基本函数的性质求得函数的值域.

以例2为例.

解：令[x=2sinθ，θ∈-π2，π2]，

则[f（x）=f（θ）=2sinθ-2cosθ=22sin（θ-π4）]，

因为[θ-π4∈-3π4，π4]，

所以[f（x）max=22sinπ4=2]，

[f（x）min=22sin-π2=-22]，

所以[f（x）]的值域为[-22，2].

在求无理函数的值域时，可以根据同角的三角函数关系式[sin2θ+cos2θ=1]进行换元，从而将函数式中的根号去掉，便可以将问题转化为正余弦函数的最值问题.

五、图象法

若容易画出函数的图象，或根据函数式的几何意义画出相应的图形，则可以运用图象法，通过研究图形中的点、曲线的位置关系来找到函数式取最值的临界情形，从而求得问题的答案.

以例3为例.

解：如图，设[A2，-1]，[B（cosx，sinx）]，则点B在单位圆[x2+y2=1]上，函数[f（x）=sinx+1cosx-2]可视为定点A与单位圆上任意一点B的连线的斜率.由图可知，当直线AB与单位圆相切时直线AB的斜率取得最值.

由于AB1∥x轴，所以[kAB1=0]，[kAB2=-tanB1AB2=-2tanB1AO1-tan2B1AO.]

而[tanB1AO=12]，所以[kAB2=][-43].所以[f（x）]的值域为[-43，0].

将函数式视为定点[A2，-1]到单位圆上的点B的连线的斜率，即可将问题转化为求直线的斜率的取值范围问题.我们只需仔细研究图形，移动直线AB，找到AB斜率取得最值的情形，即可解题.

六、判别式法

若分式函数中含有二次项，则可以运用判别式法求解.令函数式为y，并将其视为参数，把函数式变形为关于x的一元二次方程.而方程有实根，则方程的判别式[Δ≥0]，即可通过解不等式求出函RM3MJ4kdHALnk4xRvi0jsw==数的值域.

以例3为例.

解：由万能公式知[sinα=2tanα21+tan2α2，cosα=1-tan2α21+tan2α2]，

令[tanx2=t]，则[f（x）=sinx+1cosx-2=-t2+2t+13t2+1=y].

变形可得[1+3yt2+2t+y+1=0].

当[y=-13]时，[t=-13].

当[y≠-13]时，[Δ=4-4（1+3y）（1+y）≥0]，

解得[-43≤y≤0，]且[y≠-13].

所以[f（x）]的值域为[-43，0].

对于形如[y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2（a1]、[a2]不同时为0）的函数式，通常可以采用判别式法，将函数式转化为一元二次方程，根据判别式[Δ≥0]求解.

总之，求函数的值域，往往需仔细研究函数的解析式、定义域、图象、性质.这就要求我们熟练掌握函数的基础知识，并将其灵活地应用于解题当中.